正の実数 x, y が 1/x + 1/y = 1 をみたす時、x + y の取りうる範囲を求めよ

わかりません

y = x/(x - 1)

f(x) := x + y
= x^2 /(x - 1)
= ((x + 1)(x - 1) + 1)/(x - 1)
= x + 1 + 1/(x - 1)
= (x - 1) + 1/(x - 1) + 2
≥ 4 (∵ 相加平均≧相乗平均)

f(2) =4, lim_{x→∞} f(x) = ∞
f(x)はx ≥ 2で連続なので、4以上の任意の値をとる

>>1
単発質問禁止

>>3
自治厨きっしょｗ

x + y = xy =kとおく
x, yは正の実数なので、2次方程式

t^2 - kt + k = (t - k/2)^2 + k(4 - k)/4 =0

は正の実数解を2個 (重複含め) 持つ
そのための条件は、

k/2 > 0
k > 0
k(4 - k)/4 ≤ 0

k > 0なので、k ≥ 4が求める条件。

正の実数 \(x, y\) が \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\) を満たすとき、\(x + y\) の取りうる値の範囲は \(x + y \ge 4\) です。
詳しい求め方は以下の通りです。
1. 与えられた式を整理する
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\) の両辺に \(xy\) を掛けて整理します。
\(y+x=xy\)
\(x+y=xy\)
2. 相加平均・相乗平均の大小関係を用いる
\(x > 0, y > 0\) であるため、相加平均・相乗平均の大小関係（AM-GM不等式）より、次の不等式が成り立ちます。
\(x+y\ge 2\sqrt{xy}\)
両辺は正なので、2乗しても不等号の向きは変わりません。
\((x+y)^{2}\ge 4xy\)
3. 範囲を求める
ここで、手順1より \(xy = x + y\) なので、これを代入します。
\((x+y)^{2}\ge 4(x+y)\)
\(x > 0, y > 0\) より \(x + y > 0\) です。したがって、両辺を \((x + y)\) で割ることができます。
\(x+y\ge 4\)
4. 等号成立の確認
等号（\(x + y = 4\)）が成立するのは \(x = y\) のときです。
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\) に \(x = y\) を代入すると、\(\frac{2}{x} = 1\) となり、\(x = y = 2\) のときに最小値 4 をとることが分かります。
また、\(x + y = k \ge 4\) を満たす任意の正の実数 \(x, y\) が必ず存在するため、取りうる範囲は \(x + y \ge 4\)

1/x+1/y=1はx=1とy=1を漸近線とする直角双曲線である。x=yとおくとx=y=2
よってx+y≥2+2=4 (答え)

x+y=4とx=yを座秒軸に取り直すと意味が分かりやすい。あるいは図形を90度回転させる。

では、
正の実数ｘ、ｙ、ｚがあって　1／ｘ＋1／ｙ＋1／ｚ＝1であるとする。
ｘ＋ｙ＋ｚの値の取り得る範囲を求めよ。

文字は全て正とする。
相加平均≥調和平均より、Σ(1/k)=1の時、
(Σxₖ)/n≥n/(Σ(1/xₖ))=n
∴Σxₖ≥n² 等号成立はx₁=x₂=…=xₙ=nの時

n=2の時、x+y≥2²=4 x=y=2の時、等号成立
n=3の時、x+y+z≥3²=9 x=y=z=3の時、等号成立。

コーシーシュワルツの不等式より
(x+y)=(x+y)(1/x+1/y)≥(1+1)²=4
(x+y+z)=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)≥(1+1+1)²=9

Σ(1/xₖ)=1、全ての文字は正とすると
Σxₖ=(Σ(√xₖ)²)(Σ(1/(√xₖ)²))≥(1+1+…+1)²=n²
等号成立は(√x₁)/(1/√x₁)=…=(√xₙ)/(1/√xₖ)⇔x₁=x₂=…=xₙ=nの時。

ｘ、ｙ、ｚが正の実数であって　1/x+2/y+3/z=1とするとき、
x+y+zの値の取り得る範囲を求めよ。

コーシーシュワルツの不等式より
x+y+z=(x+y+z)(1/x+2/y+3/z)
≥(1+√2+√3)²
等号成立はx=y/√2=z/√3の時。

文字は全て正とする。
Σ(aₖ/xₖ)=1のとき、Σxₖの最小値は
Σxₖ=(Σxₖ)(Σ(aₖ/xₖ))≥(Σ√aₖ)²
等号成立はx₁/√a₁=x₂/√a₂=…=xₙ/√aₙの時

x, y, z を非負の実数とする。
問１）
　x + y + z = 1 であるとき、x^2 + y^2 + z^2 の最小値ｍ、最大値Ｍを求めよ。
問２）
　最小となる場合の組 (x,y,z)と 最大となる場合の組 (x,y,z)をそれぞれ求めよ。

変数が3つになると高校数学では誰にも解けないのかな？