>>351 追加

薄葉バクダン １発目
ホイヨｗ （＾＾

https://tenasaku.com/LWS-2/
Logic Winter School II
ロジック・ウィンタースクール
愛媛県松山市にて, 2023年12月26日(火)〜29日(金)
巨大基数と高次の論理 (薄葉季路)
巨大基数は、可算無限基数がもつ様々な性質を一般化することで得られてきた。可算無限基数は「一階述語論理のコンパクト性が成り立つ最小の基数」という性質を持つが、古典的な巨大基数の一つ、強コンパクト基数は「無限論理」のコンパクト性をもとにして定義されており、他にも「高階論理」のコンパクト性などにも対応する巨大基数が存在する。また、高階論理、無限論理などに対する、ある種のレーヴェンハイム・スコーレム性と巨大基数との対応なども盛んに研究されてきた。この講義では、こういった一階述語論理を超える「高次の論理」と巨大基数との関係について紹介する。
【講義スライド [1] [2] [3] [4]】

https://tenasaku.com/LWS-2/Usuba_202312logic_winter_01_rev.pdf
巨大基数と高次の論理1/4
薄葉季路(うすば としみち)早稲田大学基幹理工学部
2023 年12月26–29日Logic Winter School II@松山

P2
第一回目: 準備,到達不能基数
第二回目: 無限論理とコンパクト基数
第三回目: 二階論理とL¨owenheim-Skolem-Tarskiの性質
第四回目: 再びコンパクト性

P11
Question
Weakly inaccessible cardinal は存在するか?
Answer
存在することは(強い意味で)証明できない(詳しくは後述)

P16
Definition φとx1,...,xn ∈ M に対してφ(x1,...,xn)M が成り立つときφ(x1,...,xn)はMで真であるといい(M;∈) ⊧ φ(x1,...,xn), M ⊧ φ(x1,...,xn),とも書く. {∈} の理論T に対して, すべてのφ∈T についてM⊧φの時MをT のモデルと呼ぶことにする.

P17
基本的にMが集合の時は(2)の意味,クラスの時は(1)の意味で「モデルである」と呼ぶことにする.

P19
Theorem
αがlimit ordinal ならば, (Vα;∈)はZCのmodelになる.

P21
Theorem κがinaccessible cardinal ならば次が成り立つ:
1 x ⊆Vκ, ∣x∣ <κならばx ∈Vκ.
2 (Vκ;∈)はZFCのモデルである.

P22
IC を“inaccessible cardinal が存在する”という命題とする.
Corollary
(ZFC が無矛盾ならば) ICはZFCから証明不可能.

Corollary
(ZFC が無矛盾ならば) “ZFCが無矛盾ならばZFC+ICも無矛盾” を形式化した文Con(ZFC)→Con(ZFC+IC) はZFCから証明不可能.

Ｐ24
κがinaccessible ⇒“Vκ はZFCのモデル”だが, 逆は言えない:

Proposition
κがinaccessible cardinal ならば {α < κ ∣ Vα ⊧ ZFC}はκでcofinal.

Ｐ25
Theorem
基数κに対して次は同値:
1 κはinaccessible
2 VκはZFC2のモデル.