到達不能基数・巨大基数研究

>>351 追加

薄葉バクダン １発目
ホイヨｗ （＾＾

https://tenasaku.com/LWS-2/
Logic Winter School II
ロジック・ウィンタースクール
愛媛県松山市にて, 2023年12月26日(火)〜29日(金)
巨大基数と高次の論理 (薄葉季路)
巨大基数は、可算無限基数がもつ様々な性質を一般化することで得られてきた。可算無限基数は「一階述語論理のコンパクト性が成り立つ最小の基数」という性質を持つが、古典的な巨大基数の一つ、強コンパクト基数は「無限論理」のコンパクト性をもとにして定義されており、他にも「高階論理」のコンパクト性などにも対応する巨大基数が存在する。また、高階論理、無限論理などに対する、ある種のレーヴェンハイム・スコーレム性と巨大基数との対応なども盛んに研究されてきた。この講義では、こういった一階述語論理を超える「高次の論理」と巨大基数との関係について紹介する。
【講義スライド [1] [2] [3] [4]】

https://tenasaku.com/LWS-2/Usuba_202312logic_winter_01_rev.pdf
巨大基数と高次の論理1/4
薄葉季路(うすば としみち)早稲田大学基幹理工学部
2023 年12月26–29日Logic Winter School II@松山

P2
第一回目: 準備,到達不能基数
第二回目: 無限論理とコンパクト基数
第三回目: 二階論理とL¨owenheim-Skolem-Tarskiの性質
第四回目: 再びコンパクト性

P11
Question
Weakly inaccessible cardinal は存在するか?
Answer
存在することは(強い意味で)証明できない(詳しくは後述)

P16
Definition φとx1,...,xn ∈ M に対してφ(x1,...,xn)M が成り立つときφ(x1,...,xn)はMで真であるといい(M;∈) ⊧ φ(x1,...,xn), M ⊧ φ(x1,...,xn),とも書く. {∈} の理論T に対して, すべてのφ∈T についてM⊧φの時MをT のモデルと呼ぶことにする.

P17
基本的にMが集合の時は(2)の意味,クラスの時は(1)の意味で「モデルである」と呼ぶことにする.

P19
Theorem
αがlimit ordinal ならば, (Vα;∈)はZCのmodelになる.

P21
Theorem κがinaccessible cardinal ならば次が成り立つ:
1 x ⊆Vκ, ∣x∣ <κならばx ∈Vκ.
2 (Vκ;∈)はZFCのモデルである.

P22
IC を“inaccessible cardinal が存在する”という命題とする.
Corollary
(ZFC が無矛盾ならば) ICはZFCから証明不可能.

Corollary
(ZFC が無矛盾ならば) “ZFCが無矛盾ならばZFC+ICも無矛盾” を形式化した文Con(ZFC)→Con(ZFC+IC) はZFCから証明不可能.

Ｐ24
κがinaccessible ⇒“Vκ はZFCのモデル”だが, 逆は言えない:

Proposition
κがinaccessible cardinal ならば {α < κ ∣ Vα ⊧ ZFC}はκでcofinal.

Ｐ25
Theorem
基数κに対して次は同値:
1 κはinaccessible
2 VκはZFC2のモデル.

>>357
そもそも、いつものごとく、コピペがトンチンカン

ωを最小の無限基数とした場合
Vω|=「無限基数は存在しない」

κは最小の到達不可能基数とした場合
Vκ|=「到達不可能基数は存在しない」

一般にλを最小の〇〇基数とした場合
Vλ|=「〇〇基数は存在しない」

最小だからそれより小さい基数の中に
同じ性質を持つものが存在しない

わかってしまえば小学生レベルの話だな

>>358
私が今ここで言いだしたことではないよ

ちゃんとKanamoriの「巨大基数の集合論」に書いてある
しかも冒頭の部分　こんなのいわずもがなだけど
初心者が驚きそうだから書いてみた、って感じの文章

分かってしまえば驚かないけど
何も考えない人は驚くかもな

>>357
薄葉バクダン２発目

https://tenasaku.com/LWS-2/Usuba_202312logic_winter_02_rev.pdf
巨大基数と高次の論理2/4
薄葉季路 早稲田大 2023
Ｐ2
巨大基数と高次の論理(薄葉季路)巨大基数は、可算無限基数がもつ様々な性質を一般化することで得られてきた。可算無限基数は「一階述語論理のコンパクト性が成り立つ最小の基数」という性質を持つが、古典的な巨大基数の一つ、強コンパクト基数は「無限論理」のコンパクト性をもとにして定義されており、他にも「高階論理」のコンパクト性などにも対応する巨大基数が存在する。また、高階論理、無限論理などに対する、ある種のレーヴェンハイム・スコーレム性と巨大基数との対応なども盛んに研究されてきた。こういった一階述語論理を超える「高次の論理」と巨大基数との関係について紹介する
第一回目: 準備,到達不能基数
第二回目: 無限論理とコンパクト基数
略

Ｐ8
以下は一階述語論理では特徴づけ不可能だが,適当なLω1,ω-理論で特徴づけ可能:
1 torsion abelian groups;
2 finitely generated groups;
3 non-finitely generated groups;
4 linear orders isomorphic to (Z;<);
5 archimedian field;
6 connected graphs;
7 recursively saturated models of PA;
8 ω-models of ZFC (i.e., models of ZFC where the integers are standard);

Ｐ9
Theorem (コンパクト性定理)
T をLω,ω の理論とする. もしT の任意の有限部分理論がモデルを持てば, T はモデルを持つ.一般にinfinitary logic においてはコンパクト性定理は成り立たない.

P13
Questionでは, inaccessible は weakly compact になるか?
Answerならない. Weakly compactはinaccessibleよりずっと大きい.
Theorem
κがweakly compactならば, {α<κ∣αはinaccessible}はκでcofinal. 特に, weakly compact cardinal κ はκ番目のinaccessible cardinal である.

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cofinality
Cofinality 共終性
(抜粋)
(google訳)
特に順序理論では、半順序集合Aの共終性cf( A ) は、Aの共終部分集合の濃度の最小値である。形式的には、
cf（A）=inf{|B|:B⊆A、（∀x∈A）（∃y∈B）（x≤y）}
この共終性の定義は選択公理に依拠しており、空でない基数集合には最小要素が存在するという事実を利用しています。半順序集合Aの共終性は、 xからAへの関数が存在し、その共終像が となるような最小の順序数 xとして定義することもできます。この 2 番目の定義は選択公理がなくても意味を成します。この記事の残りの部分で想定するように選択公理を仮定すると、2 つの定義は同等になります
共終結性は、有向集合に対しても同様に定義でき、ネットにおける部分列の概念を一般化するために使用されます
例
・最大要素を持つ部分順序集合の共終性は1 です
・特に、ゼロでない任意の有限順序数、あるいは任意の有限有向集合の共終数は1である
・A subset of the natural numbers N is cofinal in N if and only if it is infinite, and therefore the cofinality of ℵ0 is ℵ0.
Thus ℵ0 is a regular cardinal.

>>360
コピペだけになると、ただの水風船になるね（笑）

>>358
>κは最小の到達不可能基数とした場合
>Vκ|=「到達不可能基数は存在しない」
>わかってしまえば小学生レベルの話だな

ふっ
いまごろかｗ（＾＾
要するに 天下りで 到達不可能基数κを与える ZFC外の公理としてね
そして
　>>323 再録
・>>319 " [EXPONENTIAL POWER SET TOWER] V_(α+1) = 𝒫(V_α)"
　このαは、ZFC内の基数で ω(＝ℵ0＝N) から集合冪を繰返してできる
　ステージ V_(α+1)を表している
　（いま仮に αを証明可能基数と名付ける）
・到達不能基数：λ<κ→2^λ<κ （下記）で
　いま、κ：ZFCでは証明できない（αではない）
　を認めるとする
　下記のように ZFC内に 上記 ZFC内の基数αとその冪が超限列*並んでいる(*無限列の意だが 混乱を避けるため超限列と表現する)
　・・<α<α^2<・・
　κは、この列のどこにも入れない（∵ZFCの証明不可だから αでもα^2でもない。α<κ<α^2 は定義に反する）
　ゆえに、κは、この列の上（列の下は正則性公理により否定される）
補足
・ノイマン宇宙Vは、あくまで ZFCの宇宙で 列 ・・<α<α^2<・・ 内の基数の列内に 順序数を埋め込んで ステージVαたちを集めたものだ
（なお ZFC内では ノイマン宇宙Vは真クラス）
・到達不能基数κは、ZFCの宇宙の 外に基数κを公理として置く
　κは基数で、即ち集合という設定で
　Vκは、ノイマン宇宙の流儀を借用して κ未満の基数や順序数を 全て集めたもの
　当然 Vκ内には ノイマン宇宙V内の全てのステージを含む
　かつ κは基数で集合だから Vκも集合という定義になる
（ノイマン宇宙Vの真クラスを回避し ノイマン宇宙Vを全て包含する集合がVκという設定）
PS
これが、巨大基数の集合論であって グロタンディク宇宙Uも こちらの話
(引用終り)

κは、ZFC内の任意の基数αより大という設定（公理より）
Vκは、κ未満のZFC内の任意の順序数たちのステージVαなど全てを集めたという設定（ノイマン宇宙Vの設定を受け継ぐ）
故に、ノイマン宇宙内のステージVαなど全て含む（κ自身は含まない）
ZFC内では、ノイマン宇宙Vは真クラスだが
ZFC＋κ内では、Vκは集合（到達不能基数公理はそのための公理よ）

Terence Tao “big picture”の境地に達していない人たち
下記を百回音読してねｗ

(参考)
＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao

愛のバクダン

>>362
>ノイマン宇宙Vを全て包含する集合がVκという設定
は、あなたのコピペ
>The Absolute Universe (V)
>Transcendent Sub-Universe (V_κ)
に反しますけど？
VがAbsolute Universe、V_κがSub-Universeって書かれてますけど読めませんか？

（そもそもκ∈Vなのにね）

(ℵ0,2^ℵ0)={κ∈Card::ℵ0<κ<2^ℵ0}はZFCで定義できて
(ℵ0,2^ℵ0)={ }となるという公理がCH
K={κ∈Card::κは非可算・正則・強極限基数}はZFCで定義できて
K≠{ }となるという公理が到達不能基数の存在公理SI（Strong Inaccessible）
宇宙公理Uは∀α.∃κ∈K:α≦κ

彼の人が信奉しているらしいV=L（Vの元はZFCで存在が証明可能なものという独自妄想に最も沿う公理はこれだろう）はUと両立しないのにね
でもUltimate LというものがあるらしくこれはUと両立するらしい（V=Ultimate Lを公理にしてもUを仮定して矛盾にならない）

>>364-367
>>ノイマン宇宙Vを全て包含する集合がVκという設定
>は、あなたのコピペ
>>The Absolute Universe (V)
>>Transcendent Sub-Universe (V_κ)
>に反しますけど？
>VがAbsolute Universe、V_κがSub-Universeって書かれてますけど読めませんか？

ふっ
(ですね)人か（＾＾

・ノイマン宇宙Vと Absolute Universe V、Sub-Universe V_κ の３者の区別がついていないね 君は
・下記 google検索の＜AI概要＞を百回音読して
・その上で宣言するが、ノイマン宇宙Vと Absolute Universe Vと 両者は異なるものである！ｗ（＾＾

(google検索)
what is The Absolute Universe in set theory
＜AI概要＞
Set theory における Absolute Universe（絶対的宇宙） とは、数学のあらゆる集合がその中に存在し、すべての集合論的な問いに「ただ一つの真理値」が客観的に定まるとされる、唯一無二の究極の集合の全体（背景となる世界） のことです。
主な特徴と背景
• 「ユニバース・ビュー（宇宙論）」の核心：
　• 伝統的なプラトニズムの立場（宇宙論 / Universe View）では、集合には絶対的な概念が1つだけ存在し、それを包含する唯一の「絶対的宇宙」があると仮定されます。
　• たとえば、フォン・ノイマン・ユニバース（\(V\)）などがこの絶対的宇宙のイメージに近い候補として語られてきました。
　• この立場では、連続体仮説（CH）のような未解決問題であっても、「この絶対的宇宙の中において、真であるか偽であるかのどちらか一つの確定した客観的事実があるはずだ」と考えます。

・対立概念としての「マルチバース（多元宇宙）ビュー」：
略

・フォン・ノイマン宇宙V や構成的宇宙L：• 集合論の文脈では、絶対的宇宙をモデル化・近似するものとして、全整礎集合のクラスである Von Neumann Universe V や、ゲーデルの Constructible Universe L が研究対象になりますが、これら自体もマルチバースの文脈では「数ある内モデル（inner model）の一つ」として扱われることがあります。

もしよろしければ、次のような点を教えてください：
• どのような文脈（哲学的議論、数理論理学のフォーシング、またはカテゴリー論など）でこの言葉に出会いましたか？
• より詳しく知りたいトピック（例：フォン・ノイマン宇宙、マルチバース論との比較、絶対性（Absoluteness）の定義など）はありますか？
それに応じてさらに分かりやすく解説できます。

>>368
>その上で宣言するが、ノイマン宇宙Vと Absolute Universe Vと 両者は異なるものである！ｗ（＾＾
と、妄想する瀬田爺
妄想でないなら、そのAIに V⊂Vκ かを聞いて結果をコピペしてみ

テンプレ入りですね
>・その上で宣言するが、ノイマン宇宙Vと Absolute Universe Vと 両者は異なるものである！ｗ（＾＾

>>362
>κは、ZFC内の任意の基数αより大という設定（公理より）

到達不能基数の公理からそんなこといえないけど

κが強到達不能基数 (strongly inaccessible)
または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、
λ＜κ⇒2^λ＜κを満たす正則基数であることを言う。

κiがi+1番目に小さい到達不能基数とすると
κj＜κi　(0<=j<i)なので、
Vκi|=κ0〜κ[i-1]が存在する
となる。
また、Vκiではκ0〜κ[i-1]より大きな基数は当然存在する

だから>>358でわざわざ「最小の」って書いてあるじゃん
κ0だったら、それより小さい到達不能基数は存在しない

ωiがi+1番目の無限基数だとすると
ωj＜ωi　(0<=j<i)なので、
Vωi|=ω0〜ω[i-1]が存在する
となる。
無限基数が存在しないといえるのは
最小の無限基数ω0における
Vω0の場合だけ

>>369
参考文献がついている。下記を百回音読しよう！（＾＾

(参考)(google検索に付随）
https://arxiv.org/abs/1108.4223
[Submitted on 22 Aug 2011]
The set-theoretic multiverse
Joel David Hamkins

https://ncatlab.org/nlab/show/universe+of+sets
ncatlab
universe of sets
Contents
1. Idea
2. Categories as universes
3. Universes as classes
4. Grothendieck universes
5. Universes inside SET
6. Reflection
7. Universe of sets in type theory
8. Related concepts
9. References
General
In type theory

(google訳)要約
1. アイデア
集合の宇宙とは、集合に関する数学（その一部、あるいは素朴な見方をすれば事実上すべて）が展開される場とみなせる領域のことである。こうした宇宙は純粋にメタ数学的なものとなり得るが、それらについて考察を加え、数学の対象として取り込むことも可能である。

3. クラスとしての宇宙（注：フォン・ノイマン宇宙 Vはクラス(ZFC公理から)）
数学の宇宙としての大きな圏 SET という考え方には、クラス論における対応物がある。実在的クラス論（material class theory）において、フォン・ノイマン宇宙 V は、すべての整礎的な純粋集合からなるクラスである。

4. グロタンディーク宇宙（注：集合です(ZFC公理ではないので)）
グロタンディーク宇宙とは、以下の性質を満たす集合 Uのことである。

5. 集合論内部の宇宙
集合論が数学の基礎であるならば、上述の宇宙は数学そのものではなく、メタ数学の一部と言えるでしょう。しかし、集合論内部に存在し、宇宙の性質を持つ小さな圏や集合を探すこともできます。

フォン・ノイマン宇宙が構築される階層構造Vα
には、既にその兆候が見られます。αの値によっては、
Vαは通常の数学を行うのに十分な大きさで完全な集合の集合となる可能性があります。
nPOVの観点からは、これらの集合の圏Setα
とそれらの間の関数に着目することもできますが、より一般的には、ある基数 κ
に対するSetκ
を考える方が一般的です。

>>368　◆yH25M02vWFhPへ

Vκj⊂Vκi　(j＜i)　だが

Vの中にκ0〜κ[i-1]があるなら
当然Vκj⊂V　(0<=j<1)

そしてVの中にκ0すらないなら
Vの中にはZFC2のモデルとなり得るVλはない

そしてVκ0はそのようなVになり得る

そういうこと

百遍音読しても考えないなら意味ないから
一回黙読したらその都度考えてな

>>372
>フォン・ノイマン宇宙 V は、すべての整礎的な純粋集合からなるクラス
が
>The Absolute Universe (V)
に
>αの値によっては、Vαは通常の数学を行うのに十分な大きさで完全な集合の集合となる可能性があります。
が
>Transcendent Sub-Universe (V_κ)
に相当すると読み取る学力が無く、あくまで持論が正しいと妄想に溺れる瀬田爺

だからAIに聞いてみろと言ってるのに、聞く耳を持たず、妄想の中で溺死する瀬田爺

そもそもなんでVはZFCから存在証明可能な集合しか持たないって妄想したんだろう
なにひとつ裏付けが無いのに
裏付け無しに妄信するのは瀬田爺の悪い癖

そもそも理論に公理が追加された場合
その公理を充足するという条件が加わるため
宇宙（モデル）は小さくなります
群の公理は
⓪∃μ:μ（μ×1)=μ(1×μ)
�@∃e.∀a:μ(e,a)=μ(a,e)=a
�A∀a.∃b:μ(a,b)=μ(b,a)=e
ですが
�C∀a,b:μ(a,b)=μ(b,a)
を公理として加えると
元々のモデル（通常の群）は大方そのままでは�Cまで充たす可換群にはならないため
非可換性を持つような元はそぎ落とさなくてはなりません
ZFC+Uの宇宙はそのままZFCの宇宙ですが
（可換群はそのまま群ですが）
ZFCの宇宙がZFC+Uの宇宙になるとは限らないのです
（群が可換とは限らないわけです）
Vの場合具体的には
Uを公理として追加することにより
K={κ:到達不能基数]
というクラスが{ }でないと示されるため
K→{ }という写像が存在できなくなります
Kは真のクラスですから
K∩Vα→{ }という写像がすべてのα∈Ordについて存在しなくなると言うべき？

>>375
>VはZFCから存在証明可能な集合しか持たない

これをきわめるとVの集合の個数は可算　とか言いだしそう
証明は可算個だから

まあ、ZFCの可算モデルって存在するけどね　
一階述語論理上の体系として考えれば

彼の人が良く例に出す
ユークリッド幾何と射影幾何ですが’
ユークリッド幾何をZFCに当たるものだと考えているようです
どなたかが指摘していましたが
ユークリッド幾何には無限遠点が存在しないため
ZFC+¬Uに当たるものなのですよね
射影幾何がZFC+Uに当たるもの
（双曲幾何もあるのでホントは正しくない例示ですけど）
ユークリッド幾何に無限遠点を「付け加えて」双曲幾何にしているわけではないのです
ユークリッド幾何と射影幾何は別物
両立も出来ません

>>378
射影幾何で無限遠直線を不変とする射影変換に制限して
さらに無限遠直線以外で起きることだけ述べるとアフィン幾何になる
（ユークリッド幾何にするにはもっと制限が必要）

射影幾何である円を不変とする射影変換に制限して
さらにその円内で起きることだけ述べると双曲幾何になる

・・・とかいう話はクラインがしたんだっけ？知らんけど

>>371
(引用開始)
>κは、ZFC内の任意の基数αより大という設定（公理より）
到達不能基数の公理からそんなこといえないけど
κが強到達不能基数 (strongly inaccessible)
または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、
λ＜κ⇒2^λ＜κを満たす正則基数であることを言う。
κiがi+1番目に小さい到達不能基数とすると
κj＜κi　(0<=j<i)なので、
Vκi|=κ0〜κ[i-1]が存在する
となる。
また、Vκiではκ0〜κ[i-1]より大きな基数は当然存在する
だから>>358でわざわざ「最小の」って書いてあるじゃん
κ0だったら、それより小さい到達不能基数は存在しない
(引用終り)

Terence Tao “big picture”（下記）を軽視しているｗ
さて
１）有名なAkihiro Kanamori氏の本より
　”PXV Large Cardinals”と”PXVI (strongly) Large Cardinals”との ２ページを抜粋紹介する
２）1930年ころ 集合論ZFCの黎明期 ZFCはメジャーでなく
　その無矛盾性が 疑われていた。そこで、ZFCをさらに発展させた理論を考える必要があった
　その一つが (strongly) Large Cardinals
　λ＜κ⇒2^λ＜κにおいて λはZFC公理で存在が証明できる基数である
　到達不能基数 (inaccessible)κは、λより上(λ＜κ)で かつ λの冪より上(2^λ＜κ)
　つまり この意味は、2^λ＜κ→ 2^2^λ となり またその冪より大・・と 限りなく続く
　限りなく続く ZFC公理内で存在が証明できる いかなる基数よりも大を意味する！■

Akihiro Kanamori氏の本を 百回音読してｗ（＾＾

(参考)（有名なAkihiro Kanamori氏の本）>>340 より
https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/xbooks/The-Higher-Infinite-optimized.pdf
The Higher Infinite (Springer)
Akihiro Kanamori The Higher Infinite Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings Second Edition
北見工業大学
2004/12/13 — existence of inaccessible cardinals cannot be established in set theory: 1.2 Proposition. Suppose that κ is inaccessible. Then: (a) If x ...

・https://i.imgur.com/fDnwxYD.jpeg
PXV Large Cardinals The Higher Infinite Large Cardinals in Set Theory Akihiro Kanamori Springer 2004
・https://i.imgur.com/9ly8kuN.jpeg
PXVI (strongly) Large Cardinals The Higher Infinite Large Cardinals in Set Theory Akihiro Kanamori Springer 2004_page-0001

＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
Career advice Terence Tao

>Terence Tao “big picture”（下記）を軽視しているｗ
big picture なるものを持ち出しても間違いである V⊂Vκ が正しくなることは無い　残念！

>>378-779
あくまで例え話だから
それ違う話を持ち出せばきりがないだろうさｗ
（ストローマンだよ）

当てはまる例として 二つあげる
・複素ガウス平面＋無限遠点→複素リーマン球面
・代数幾何の座標系 無限遠点を加えた射影座標系

(参考)
https://zenn.dev/herumi/articles/projective-coordinate
zenn
楕円曲線暗号のための数学1（射影座標）
2024/03/04
更に、無限遠点
∞ を単位元 O と記号を変えて
・P+O=O+P=P
・−P:=(x1​ ,−y1​ )
・P+(−P)=O
とも定義します

口答えはいいから V⊂Vκ が正しいかAIに聞いて結果を貼れ

V⊂Vκ は当然間違いだけどな。
到達不能基数κが存在するなら基数の定義から κ∈ON であり、定義 V:=∪[α∈ON]Vα より Vκ⊂V は自明。AIに聞くまでもない。
big picture なるものを持ち出せば定義を無視できるとでも思ったの？　馬鹿？

>>55
>まず、そもそも「集合とは何か？」
>カントール素朴集合論では、
>素朴に元があって
>素朴に元を集めたものが集合だった

それは君の感想

ここでは素朴集合論については
全く問題にしてないから無視する

>一方、ZFCなどの公理的集合論では、
>そもそも(集合でない)元（urelement）が存在しない
>そして、
>0に相当する空集合φ＝{} から出発して
>1に相当する集合{0}={{}}を作り、
>2に相当する集合{0,1}={{},{{}}}を作り、
>・・・ 自然数集合Nを作り、有理数を作り、実数を作り 関数を作る・・・
>数学神の天地創造 数学の神は6日間でZFCの宇宙全てを作り 7日目は休まれたという
>この宇宙こそが ノイマン宇宙Vだ

それ（特に最後の行）も君の感想だな
VはZFCで存在が証明できる集合のみの全体ではない
定義を無視してウソを語っても数学は理解できない

>そこにやってきた圏論使いのGrothendieck神は、
>「ノイマン宇宙Vは、おれが圏論やるには狭い」と叫び
>到達不能基数κを導入して
>Gro神が 存分に圏論が可能なように
>ノイマン宇宙Vを広げた

単に集合論では集合ではなくクラスにあたる圏を
集合として扱いたいので、
集合論のモデルとなる集合Vκが存在するように
到達不可能κの存在を認めた
当然Vが広がってるからVκ⊂V

もちろんVκ=VとなるVを考えることもできるが
その場合圏論は集合論の中では扱えない

（つづく）

>>385
>「何が集合か？」は 集合公理系に依存する
>集合とクラスの境目は 神々の力（公理体系）による
　
>そして 神々の作る宇宙でノイマン宇宙Vはクラスだが
>到達不能基数κ を導入したκのステージVκは 集合であり
>ステージVκは、κ未満の順序数や基数のすべてのステージVλの和
>（Vλをλの全てを渡って含む）
>Grothendieck神の作った宇宙Uは、
>ブルバキの証明によれば Vκと同値であることが示されている

到達不能基数κが存在する宇宙と存在しない宇宙は違う

前者では君のいうUが存在するが、
後者では存在しない

それだけのこと
大学一年生前期レベルのたわごと

>>381
>>Terence Tao “big picture”（下記）を軽視しているｗ
>big picture なるものを持ち出しても間違いである V⊂Vκ が正しくなることは無い　残念！

ふっ
上記のTerence Tao “big picture”は
君の理解のために書いただけｗ（＾＾

１）到達不能基数κは ZFC公理系で証明できる如何なる基数λより大（2^λよりも大）
２）そして ステージVκは、κより小のZFCで証明できる基数λのステージVλたちの集合和を含む（もちろん順序数についても同じ）
　即ち Vκ ⊃ ∪λ Vλ
　そして ステージVκは 集合である（ZFCとは公理系が異なる）

一方、ノイマン宇宙Vもまた ZFCで証明できる基数λのステージVλたちの集合和を含む（もちろん順序数についても同じ）
（ZFCでは ノイマン宇宙Vは 集合にはできない）

これが Terence Tao“big picture”
細かい話は Akihiro Kanamoriや薄葉その他にある
それを読め

>>387
なんかショボいbig pictureだな（笑）

さて、Chappy曰く

大学数学では、例えば次のような作業が増えます。
1.定義を正確に読む。
2.その定義が要求する条件を取り出す。
3.条件を満たす具体例を考える。
4.条件を満たさない例を探す。
5.定義だけを使って命題を証明する。
6.定義を別の表現に言い換える。
この一連の作業に慣れていないと、定義を読んだ時点で思考が止まります。

これは、数学の才能がないということではありません。

数学の学び方が、計算中心から定義・論理中心へ移行する際に、
必要な訓練が変わったと考えるほうが適切です。

>>388
学習するとき、何を避けるべきか？

特に避けたいのは、次の3つです。

・分かった気になって先に進むこと。
定義を読んで納得しただけでは、使えるとは限りません。

・解説を読んで理解したつもりになること。
他人の証明を理解することと、自分で証明を組み立てることは違います。

・分からない原因を、すぐに才能の問題にすること。
実際には、量化記号の読み方、集合の扱い方、論理の基礎など、
前提となる概念のどこかで止まっている場合があります。

定義を理解できないときは、いきなり何十分も考え続けるよりも、
定義を構成している要素に分解してみてください。

「どの単語が分からないのか」
「どの記号の意味が分からないのか」
「何が与えられていて、何を示す必要があるのか」

この3点を明確にするだけでも、問題の所在が見えやすくなります。

>>389
私なら、毎日15分の訓練から始めます

一つの数学用語について、次の作業を行います。

定義理解のトレーニング

1.定義を正確に書き写す 2分
2.自分の言葉で説明する 3分
3.具体例を2つ、反例を1つ作る 4分
4.定義を使って簡単な命題を証明する 4分
5.定義の否定を考える 2分

目標は速く終えることではなく、
定義を見ずに説明し、
実際に使えるようになることです。

この訓練を、
集合、写像、同値関係、極限、連続性、線形独立性など、
大学初年次に登場する概念に対して行っていきます。

ただし、順番は重要です。
極限や連続性に進む前に、
集合、論理記号、関数、絶対値など
の基礎を確認すると、後の学習が楽になります。

>>390
数学の学習には、大きく分けて二つの局面があります。

一つは、
すでに意味を理解している道具を使って、問題を解くこと。
もう一つは、
そもそもその道具が何を意味するのかを理解し、その意味から新しい事柄を導き出すこと。

大学初年次の数学では、後者の比重が大きくなります。

そして、後者に慣れていない人は、定義を読むたびに
「何をすればいいのか分からない」
という感覚を抱きやすいのです。

しかし、定義を理解することは、言葉を暗記することではありません。

定義を理解するとは、

・その定義が何を要求しているかを説明できる。
・その条件を満たす例と、満たさない例を区別できる。
・その定義から何が導けるかを考えられる。
・その定義を使って、自分で証明を組み立てられる。

ということです。

私は、ここに数学学習の大きな転換点があると考えます。

数学用語の定義を、覚える対象から、考えるための道具へと変えること。
それができるようになると、大学数学は、単に難しい言葉が次々と登場する世界ではなくなります。
新しい定義を手がかりに、何が成立し、何が成立しないのかを自分で探究する世界になっていきます。

そして、最も大切なのは、定義を読んで分からなかったときに、
その場で立ち止まること自体は悪くない、ということです。

むしろ、定義のどこが分からないのかを正確に突き止めることこそ、
大学数学を学ぶための最初の数学的な仕事なのだと思います。

（自分が例に引いていることをストローマン論法だと認めたようですね）

◆yH25M02vWFhP　は　定義（公理）、定理、証明　という道を通らず
勝手に道でもなんでもないところを通って短絡しようとするので遭難する

みんなそういう経験があるからやめとけといってるのに
◆yH25M02vWFhP　はこう嘯く
「俺様はお前ら凡人とは違う　直感が優れた天才だ！　バカにするな！」

でも実際は我々同様凡人なのでやっぱり失敗する
そして凡人が地道な努力で理解して先に進むと
イライラするがそれでも地道な努力はせず
どうしても短絡したがる　性懲りもない

流石に直線の両端に2点±∞では射影幾何にならないと気が付いて
これを例に引くのはストローマン論法だと言い出したのですね

>>387
VもVκもZFCのモデルなんだからZFCから存在証明可能な集合を持ってることはモデルの定義から自明。何を今さら。
かつ、到達不能基数κが存在するなら基数の定義から κ∈ON であり、定義 V:=∪[α∈ON]Vα より Vκ⊂V は自明。早く間違いを認めなさい。

>ZFCでは ノイマン宇宙Vは 集合にはできない
ZFCに限らずいかなる公理系においても真クラス。
整礎集合の全体Vが仮に集合なら整礎集合2^Vが存在し2^V⊂Vであるはずだがカントールの定理と矛盾。

君、何の進歩も無いね。少しは勉強したら？　そんなに勉強が嫌い？

AI回答コピペを多用するのに、なぜか V⊂Vκ だけはそうしない瀬田爺
本当はAIに聞いたんだろ？　でも見事にダメ出しされたんだろ？　正直に白状しなさい

>>396
でしょうね

>>394
>流石に直線の両端に2点±∞では射影幾何にならないと気が付いて
>これを例に引くのはストローマン論法だと言い出したのですね

確かに
少し私に誤解があった
下記の Projective geometry History より
” As a result, reformulating early work in projective geometry so that it satisfies current standards of rigor can be somewhat difficult. Even in the case of the projective plane alone, the axiomatic approach can result in models not describable via linear algebra.”
だね

だが、そのすぐ後に
”This period in geometry was overtaken by research on the general algebraic curve by Clebsch, Riemann”
とあるぞよｗ（＾＾
つまり、リーマン球面は Projective geometryの一例と解せられる

でな >>382 に書いたが
当てはまる例として
・複素ガウス平面＋無限遠点→複素リーマン球面
を挙げた

即ち、複素ガウス平面 これは(x,y)平面と同一視できるが
複素ガウス平面上で展開できる 複素関数論の定理は
すべて
射影の複素リーマン球面を使っても成り立ち
かつ
射影の複素リーマン球面を使うことで
複素ガウス平面では、おそらく多数の場合分けを必要とする定理を
すっきり述べることができるようになる
そして、複素ガウス平面では述べられない定理もあるだろう 知らんけどｗ

即ち、射影の複素リーマン球面は、複素ガウス平面の非保存拡大なり！（＾＾
同じことが、ZFC vs ZFC＋κ(到達不能基数）でも言える！！
（ノイマン宇宙V　vs　グロタンディク宇宙U）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_geometry#History
Projective geometry
History
(抜粋)
The work of Poncelet, Jakob Steiner and others was not intended to extend analytic geometry. Techniques were supposed to be synthetic: in effect projective space as now understood was to be introduced axiomatically. As a result, reformulating early work in projective geometry so that it satisfies current standards of rigor can be somewhat difficult. Even in the case of the projective plane alone, the axiomatic approach can result in models not describable via linear algebra.
This period in geometry was overtaken by research on the general algebraic curve by Clebsch, Riemann, Max Noether and others, which stretched existing techniques, and then by invariant theory. Towards the end of the century, the Italian school of algebraic geometry (Enriques, Segre, Severi) broke out of the traditional subject matter into an area demanding deeper techniques.

>>396
>AI回答コピペを多用するのに、なぜか V⊂Vκ だけはそうしない瀬田爺
>本当はAIに聞いたんだろ？　でも見事にダメ出しされたんだろ？　正直に白状しなさい

不要
細かい話は Akihiro Kanamoriや薄葉その他にある
きちんと書かれている
あなたがたが読めないだけ（＾＾

>>399
どこにも V⊂Vκ なんて書かれてない
嘘はダメですよ？

瀬田爺、間違いを認めたくなくてとうとう嘘までつき出した
いくら嘘ついてもすぐバレるのに

（まだストローマン論法を続けるつもりみたい）

>>401
彼の人は「0=1」を信奉しているみたいですからね
0=1の宇宙が究極の宇宙なのだそうです
0=1だから嘘しか吐かないのでしょう

>>399 補足
>AI回答コピペを多用するのに、なぜか V⊂Vκ だけはそうしない瀬田爺
>本当はAIに聞いたんだろ？　でも見事にダメ出しされたんだろ？　正直に白状しなさい

逆も可能だ
AI回答：チャッピーでも Grok でも 聞いてみな ｗ（＾＾

だから聞くまでもない自明なことだと言ってるのに君も人の話聞けんね

君のはただの妄想だろ？
こちらは根拠を書いている
>到達不能基数κが存在するなら基数の定義から κ∈ON であり、定義 V:=∪[α∈ON]Vα より Vκ⊂V は自明。AIに聞くまでもない。

君、V⊂Vκ の根拠も出典も一度も書いたこと無いもんな
それどころか
>Akihiro Kanamoriや薄葉その他にある
>きちんと書かれている
と嘘までついた。
嘘つきが何言っても無駄。あきらめな

>>407
ですね

質問者:
Vをノイマン宇宙、κを到達不能基数とします。
ある人物が V⊂Vκ だというんですが、正しいですか？

ChatGPT:
いいえ、通常の集合論の意味では V⊂Vκ は正しくありません。
むしろ、Vκ⊊V です。

理由
フォン・ノイマン宇宙 V と、到達不能基数 κ に対する累積階層 Vκ を考えます。

V=⋃(α∈Ord)Vα

ここで、Vκ=⋃(α<κ)Vα です。

つまり、
Vκ は階数が κ 未満の集合全体からなる集合であり、
V はすべての集合からなる真クラスです。

したがって、Vκ⊊V となります。

なぜ逆向きの包含も成り立たないのか

たとえば、κ 自身を考えます。
rank(κ)=κ
したがって、κ∉Vκ ですが、もちろん κ∈V です。
よって、V⊈Vκ です。

到達不能基数であることの意味

κ が到達不能基数であることから、Vκ は ZFC のモデルになります
（通常の ZFC を仮定し、κ が非可算の強到達不能基数である場合）。

しかし、これは Vκ=V や V⊆Vκ を意味しません。
Vκ は集合ですが、V は真クラスだからです。

結論： その人物が通常の意味で V⊆Vκ と主張しているなら、誤りです。
正しい関係は Vκ⊊V です。

>>400
>どこにも V⊂Vκ なんて書かれてない
>嘘はダメですよ？

話は、グロタンディク宇宙Uから始ったと思う
順に説明するよ
１）タルスキ＝グロタンディーク集合論は、ZFCの非保存的拡大
　つまり、ZFCで証明可能な集合はすべて グロタンディーク宇宙U内にもある
２）ノイマン宇宙Vは ZFCで証明可能な集合を集めたもので
　ノイマン宇宙Vを構成する各ステージVαは すべて
　グロタンディーク宇宙U内にある。つまり Vα∈U
　記号⊂の濫用で V⊂Uとなる
３）独語 de.wikipedia Grothendieck-Universumに
　”U = V_κ (see von Neumann hierarchy)”（英訳）とある■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%EF%BC%9D%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
タルスキ＝グロタンディーク集合論（Tarski–Grothendieck set theory、略称 TG）は、数学者 アルフレト・タルスキ と アレクサンドル・グロタンディーク にちなんで名付けられた公理的集合論の体系である。ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大であり、「各集合に対しそれが属する『タルスキ宇宙』が存在する」と述べるタルスキの公理を含む点で、他の公理的集合論と区別される（後述）。タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。

タルスキの公理は「すべての集合があるタルスキ宇宙に属する」ことを述べている。タルスキ宇宙が推移的集合であれば、それはまた グロタンディーク宇宙 でもある[7]。逆に選択公理を仮定すれば、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙である（すなわちタルスキの公理を満たす）[8]。

集合 u は s にとっての「普遍集合」のように見える。
sの冪集合や s のすべての部分集合を要素として持つだけでなく、その冪集合の冪集合なども持ち、その要素は冪集合を取る操作や部分集合を取る操作で閉じている。ただしもちろん自分自身の要素ではなく、すべての集合の集合でもない。それが保証された宇宙であり、sはこれに属する。
さらに、そのような uは自らも一層大きな「ほぼ普遍的な集合」の要素であり、以下同様に続く。タルスキの公理は ZFC よりはるかに多くの集合の存在を保証する公理なのである。

つづく

つづき

https://de.wikipedia.org/wiki/Grothendieck-Universum
Grothendieck-Universum
Unerreichbare Kardinalzahlen
Für eine Menge U sind folgende Eigenschaften äquivalent:
・U ist ein Grothendieck-Universum
・Es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl κ, sodass eine und somit alle der folgenden äquivalenten Eigenschaften gelten:
　・κ⊆U und für jede Menge X⊆U gilt: X∈U⟺card(X)<κ
　・U=Vκ (siehe Von-Neumann-Hierarchie)
　・U=Hκ={x∣card(TC(x))<κ} (siehe transitive Menge)[2]
Dieses κ ist gerade die Kardinalität von U.

(google英訳)
Grothendieck universe
Inaccessible cardinal numbers
For a set U, the following properties are equivalent:
・U is a Grothendieck universe
・There exists an inaccessible cardinal number κ such that one—and therefore all—of the following equivalent properties hold:
・κ ⊆ U and for every set X ⊆ U applies: X ∈ U ⇔ ⊆card(X) < κ
・U = V_κ (see von Neumann hierarchy)
・U = H_κ = {x｜card(TC(x)) < κ} (see transitive set)[2]
This κ is precisely the cardinality of U.
(引用終り)
以上

質問者:
到達不能基数が存在しない場合のVは、到達不能基数が存在する場合の最小の到達不能基数κにおけるVκと同型ですか？

ChatGPT:
非常に興味深い質問です。結論からいうと、適切な意味での「同型」を考えれば、ある種の対応はありますが、
通常の意味で V と Vκ が同型だとはいえません。 重要なのは、どの理論のモデルとして比較するかです。

モデルとして同型か、という意味ですが、
V(真クラス) と Vκ(集合) を、
同じ集合論的対象として直接同型比較することはできません。

ただし
到達不能基数の存在しない推移的モデル M と、
最小の到達不能基数 κ に対する Vκ は
Mを集合としての推移的モデルとし
V κも同じ外部宇宙で考えた場合
同型になり得ます。

彼の人はグロタンがグロタン宇宙を考えたのは
集合論の各種操作がクラスでは自由に出来ないため
それが自由に出来る集合の
「ミニ宇宙」があるとしたらどうだろうというアイデアだと
認めたくはないみたいですね
なぜかな？グロタンを神格化しすぎて贔屓の引き倒し？

（嘘を吐くか自爆しかしないようです・U = V_κ (see von Neumann hierarchy)）

>>408
>ChatGPT:
>いいえ、通常の集合論の意味では V⊂Vκ は正しくありません。
>むしろ、Vκ⊊V です。

ふっ
つー >>410-411
"独語 de.wikipedia Grothendieck-Universumに
　”U = V_κ (see von Neumann hierarchy)”（英訳）とある"
よね U も V_κも集合だよｗｗ（＾＾

上記は、典型的な AIハルシ！
誤りのカ所
１）” Vκ⊊V ”：V内は ZFCから証明できる集合だが
　到達不能基数κは ZFCから証明できないので 矛盾！
２）”Vκ は集合ですが、V は真クラスだからです”
　は、典型的なロジックの誤り
　つまり、ZFCではクラスだが タルスキ・グロタンディクでは集合になる例がある
　それが、グロタンディクUがノイマンVの非保存拡大の意味
３）おそらく ”フォン・ノイマン宇宙 V ”の定義にも 混乱があるのだろう
　例えば >>319 The Absolute Universe (V)などと フォン・ノイマン宇宙 Vとの混同さん

>>410
>１）タルスキ＝グロタンディーク集合論は、ZFCの非保存的拡大
>　つまり、ZFCで証明可能な集合はすべて グロタンディーク宇宙U内にもある
大嘘。
それが言えるのはZFCのモデルであるVκ以上のグロタン宇宙だけ。
V0やVωもグロタン宇宙だがZFCのモデルではないからそれは言えない。

>２）ノイマン宇宙Vは ZFCで証明可能な集合を集めたもので
大嘘。
V:=∪[α∈ON]Vα

>　ノイマン宇宙Vを構成する各ステージVαは すべて
>　グロタンディーク宇宙U内にある。つまり Vα∈U
大嘘。
V1∈V
Vω+1∈V
Vκ+1∈V
¬V1∈V0
¬Vω+1∈Vω
¬Vκ+1∈Vκ

>　記号⊂の濫用で V⊂Uとなる
大嘘。
任意のUは集合。Vは真クラス。仮に V⊂U ならサイズ制限公理と矛盾。

>３）独語 de.wikipedia Grothendieck-Universumに
>　”U = V_κ (see von Neumann hierarchy)”（英訳）とある■
κが強到達不能基数のときVκはグロタン宇宙。誰もそうでないと言ってない。ストローマン論法。

君、まったく進歩が無いね。少しは勉強したら？そんなに勉強が嫌い？じゃ数学あきらめなよ

>>412
>ChatGPT:

チャッピーのハルシネーションは
　>>415で指摘した
到達不能基数κとVκについては
チャッピーは、正答能力がないだろう
実際 >>411 ”U = V_κ (see von Neumann hierarchy)”は 独語文献で見つけた
いまのチャッピーの基礎論の知識では、正解はムリでは？ｗ（＾＾

>>415
> U も V_κも集合だよｗｗ（＾＾
まったくトンチンカン。
誰も集合じゃないなんて言ってない。ストローマン論法。

>１）” Vκ⊊V ”：V内は ZFCから証明できる集合だが
大嘘。
Vの定義 V:=∪[α∈ON]Vα からそんなことは言えない。

>　到達不能基数κは ZFCから証明できないので 矛盾！
大嘘。
Vの定義 V:=∪[α∈ON]Vα から Vκ⊂V は自明。
定義を無視して「VはZFCから存在証明可能な集合しか持たない」と妄想してるから矛盾に見えるだけ。

>２）”Vκ は集合ですが、V は真クラスだからです”
>　は、典型的なロジックの誤り
>　つまり、ZFCではクラスだが タルスキ・グロタンディクでは集合になる例がある
大嘘。
いかなる公理系でもVは真クラス。
整礎集合全体のクラスVが仮に集合なら整礎集合2^Vが存在し2^V⊂Vであるはずだがカントールの定理と矛盾。

>　それが、グロタンディクUがノイマンVの非保存拡大の意味
大間違い。
非保存拡大とは理論間の特性であって、モデル間の特性ではない。
初歩の初歩から分かってない。

>３）おそらく ”フォン・ノイマン宇宙 V ”の定義にも 混乱があるのだろう
混乱してるのは君ひとり。

>　例えば >>319 The Absolute Universe (V)などと フォン・ノイマン宇宙 Vとの混同さん
それ、君が持ち出したコピペだけどｗ
なんで混乱・混同してると思ったソースをコピペしたんだい？頭だいじょうぶ？

君、相変わらず進歩が無いね。少しは勉強したら？そんなに勉強が嫌い？じゃ数学あきらめなよ

>>417
>実際 >>411 ”U = V_κ (see von Neumann hierarchy)”は 独語文献で見つけた
κが強到達不能基数のときVκはグロタン宇宙。誰もそうでないと言ってない。
なにが「実際」なの？　頭だいじょうぶ？

>>416
>>　記号⊂の濫用で V⊂Uとなる
>大嘘。
>任意のUは集合。Vは真クラス。仮に V⊂U ならサイズ制限公理と矛盾。

ふっ
サイズ制限公理は、下記のように NBG集合論に関する公理であって
ZFC集合論では、サイズ制限公理は採用されないらしいな（＾＾

なお、下記『通常の ZFC集合論 では「集合」しか扱えず、大きすぎる集まりは枠外の概念（メタ概念）になります』
について補足すると、無限公理のないZF公理では 有限集合を集めて｛0,1,2,・・・｝として無限集合N(自然数)とはできない
無限公理のないZF公理から見ると 無限集合N(自然数)は、クラスであって集合にあらず
かように、集合とクラスの境は 公理系に依存します！

あとは、ゴミだから流すねｗ（＾＾

(参考)
(google検索)
サイズ制限公理
＜AI概要＞
サイズ制限公理（Axiom of Limitation of Size）
ジョン・フォン・ノイマンによって1920年代に導入され、現在のNBG集合論（フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論）の基礎となる重要な概念です。

ZFC集合論との違い
通常の ZFC集合論 では「集合」しか扱えず、大きすぎる集まりは枠外の概念（メタ概念）になります。
一方で、サイズ制限公理を含む NBG集合論 では、「集合」と「クラス」という2つの階層をはっきりと公理系の中で区別して扱うことができます。

もしこの公理が関わるNBG集合論の仕組みや、ラッセルのパラドックスとの関係についてさらに詳しく知りたい場合は、お気軽にお知らせください。

パラノイア患者とは会話にならないから
>V内は ZFCから証明できる集合
の根拠だけ答えて
それ以外はいいよ　無駄だから

（ZFCでクラスに言及する場合それはNBGのクラスのことだと知らないみたい）

あるいは
いくつかの集合変数（束縛されていようが自由であろうが）による述語論理式のこと

>>419
>>実際 >>411 ”U = V_κ (see von Neumann hierarchy)”は 独語文献で見つけた
>κが強到達不能基数のときVκはグロタン宇宙。誰もそうでないと言ってない。
>なにが「実際」なの？　頭だいじょうぶ？

だから、グロタン宇宙U = V_κ は、ノイマン宇宙Vの非保存拡大で
つまり どちらの宇宙も

空集合φから 順に 0,1,2,・・と有限自然数を作って
可算無限集合ω＝N を作って
冪2^Nから実数Rを作って・・と
やって 順序数ONを作って、極限基数α、2^α、2^2^α・・・
も作って
ステージVαも作ります

それを集めます V=∪α Vα （注：基数以外の順序数もあるが 簡便に書く）
を考えることができます
考えることはできるがZFCでは V=∪α Vα は集合ではありません！
ZFCではクラスです。V=∪α Vαを集合とする公理がないからです

そこで、裏技の到達不能基数κの出番です
∀α ＜ κ という設定です （∀ 2^α ＜ κ でもある）

κは 基数だから Vκはκ未満の基数のVαたちの和を含む
つまり Vκ⊂ ∪α Vα
つまり ZFCではクラスである ∪α Vα を含む 集合Vκが出来ました！
そのための 裏技の到達不能基数κだってことですｗ（＾＾

テンプレかな？
>V内は ZFCから証明できる集合だが

（ドンドン支離滅裂になってきたぞ）

>>420
>サイズ制限公理は、下記のように NBG集合論に関する公理であって
>ZFC集合論では、サイズ制限公理は採用されないらしいな（＾＾
そもそも不完全性定理より、ZFCのモデルはZFCで語れない。語るにはメタ理論が必要。
君、初歩の初歩から分かってないね。

>無限公理のないZF公理から見ると 無限集合N(自然数)は、クラスであって集合にあらず
はい、大間違いです。
無限集合の存在はZF-無限公理から独立。つまり自然数全体のクラスωは集合であるともないとも言えない。
実際、VωもVもZF-無限公理のモデルだが、¬ω∈Vω ∧ ω∈V。
君、初歩の初歩から分かってないね。

>あとは、ゴミだから流すねｗ（＾＾
間違い指摘を流さない方がよいのでは？ずっと馬鹿のままでいたいの？

>>424
>だから、グロタン宇宙U = V_κ は、ノイマン宇宙Vの非保存拡大で
だから非保存拡大は理論間の特性であってモデル間の特性ではないと言ってるのに君も聞く耳持たないねえ
せっかく間違い指摘してあげてるのに、どうして頑なに馬鹿のままでいようとするの？

>つまり どちらの宇宙も
大間違い。
グロタン宇宙にはノイマン宇宙のような累積的階層はありません。

>空集合φから 順に 0,1,2,・・と有限自然数を作って
>可算無限集合ω＝N を作って
>冪2^Nから実数Rを作って・・と
>やって 順序数ONを作って、
大間違い。
前提と帰結が逆。VはONの存在を前提に定義される。ONがVによって定義されるのではない。

>極限基数α、2^α、2^2^α・・・
ああ、君、極限基数を分かってないね。
GCHを仮定すると、2^ωはωの後続基数であって極限基数ではない。
αは後続順序数⇔アレフαは後続基数。βは極限順序数⇔アレフβは極限基数。

>も作って
>ステージVαも作ります
>それを集めます V=∪α Vα （注：基数以外の順序数もあるが 簡便に書く）
>を考えることができます
>考えることはできるがZFCでは V=∪α Vα は集合ではありません！
ZFCに限らずいかなる公理系でもVは真クラス。

>ZFCではクラスです。V=∪α Vαを集合とする公理がないからです
大嘘。
「公理が無いから真クラス」は間違い。実際ZF-無限公理においてωは集合とも真クラスとも言えない。ωを持つモデル（V）も持たないモデル（Vω）も存在する。
整礎集合全体のクラスVが仮に集合なら整礎集合2^Vが存在し2^V⊂Vであるはずだがカントールの定理と矛盾。それがVが真クラスである理由。

>そこで、裏技の到達不能基数κの出番です
>∀α ＜ κ という設定です （∀ 2^α ＜ κ でもある）
>κは 基数だから Vκはκ未満の基数のVαたちの和を含む
>つまり Vκ⊂ ∪α Vα
>つまり ZFCではクラスである ∪α Vα を含む 集合Vκが出来ました！
>そのための 裏技の到達不能基数κだってことですｗ（＾＾
もうめちゃくちゃ。
妄想もここまで来ると病気。

結局
>V内は ZFCから証明できる集合
は君の妄想であって根拠は皆無ってことかい？
その妄想症治さない限り君に数学は無理だよ

>>429
>>V内は ZFCから証明できる集合
>は君の妄想であって根拠は皆無ってことかい？
>その妄想症治さない限り君に数学は無理だよ

ふっ
下記 フォン・ノイマン宇宙を百回音読してねｗ
特に
”第二に、V の要素は全て整礎集合に限られている。正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合が V に属する。”
な（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙
V とは、遺伝的（英語版）整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。

整礎集合の階数（rank）は、その集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される[1]。特に、空集合の階数は
0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。
V内の集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。

Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vω は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理を持たない集合論モデルである。Vω+ω はordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロ集合論のモデルである。

κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである。

V は二つの理由によって、“全ての集合による集合” とは異なるものである。
第一に、これは集合ではない。各階層Vα がそれぞれ集合でも、その和である V は真のクラスであるからだ。
第二に、V の要素は全て整礎集合に限られている。正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合が V に属する。

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
Applications and interpretations
Often, V is defined as the universe, and then the formula V = ⋃αVα means "the universe of ZF sets is equal to the cumulative hierarchy"—not a definition, but a theorem equivalent to the axiom of regularity.[2][3] Roitman states (without references) that the realization of this equivalence is due to von Neumann.[4]

>>430
>”第二に、V の要素は全て整礎集合に限られている。正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合が V に属する。”
君、A⇒B と B⇒A の違いが分からない？
「ZFCでは全ての集合が V に属する。」とは、「xはZFCから存在証明可能 ⇒ x∈V」のこと。
これは君の持論「x∈V ⇒ xはZFCから存在証明可能」とは異なる命題。
これが分からないってことは君には数学は無理なのであきらめよう。

数学を初歩の初歩から分かってないから勝手読みしてたんですね。
君には数学は無理な理由がはっきりして良かったですね。これできっぱりあきらめられますね。おめでとう。

（ZFCにもZFC+Uにも正則性公理が含まれてるのにね）

（ZFC+いかなる巨大基数公理にも正則性公理は含まれてると知らないのか）

「瀬田爺は馬鹿者」から「馬鹿者は瀬田爺」
は言えない。仮に言えたならこの世に馬鹿者は瀬田爺ただ一人になってしまうが弥勒菩薩という反例がある。

逆が成り立つとは限らない。

必要十分条件は高校で習うんだけどね。君、ほんとうに大卒？それも嘘？

なんかこの話題はもう飽きた
初等的なことしか言ってないから

もちろん、そうなってる理由は明らか
いいだしっぺが初等的誤解に気づいてないから

集合がクラスを包含することはない

初等的誤解の例

１．正規部分群と単なる部分群の区別に関する誤解
２．行列の列ベクトル・行ベクトルの線形独立の必要性に関する誤解
３．集合とクラスの区別に関する誤解

全部、大学１年の前期レベル

定義を丁寧に読まず
定義を満たす例満たさない例を確認しない
そんな人に数学が分かるわけない

口答えも無意味

集合とクラスの最も大きな違いは、「すべての集合はクラスだが、すべてのクラスが集合であるとは限らない」という点です。
1. 集合（Set）とは
①定義: ある条件によって明確にまとめることができ、それ自体を「別の集合の要素（メンバー）」にできるものの集まりです。
②特徴: ラッセルのパラドックスなどの矛盾を防ぐため、公理系（ZF/ZFCなど）によって大きさが制限されています。
③例: 自然数全体の集合、あるクラスの生徒の集合など。
2. クラス（Class）とは
①定義: 何らかの共通の性質や条件を満たすものの集まりで、集合よりも大きな概念です。
②特徴:
・「集合であるクラス」を小さいクラスと呼びます。
・集合としては大きすぎたり自分自身を要素に含んでしまったりして、他の集合の要素になれないクラスを真のクラス（Proper Class）と呼びます。
③例: 「すべての集合全体の集まり（すべての集合の集合）」や「すべての順序数の全体」などは、矛盾を防ぐため真のクラスになります。
☆比較まとめ
項目｜集合 (Set)｜クラス (Class)
関係性｜クラスの一種（小さいクラス）｜集合を含むより広い概念
要素になれるか｜なれる（他の集合の要素になれる）｜真のクラスはなれない（要素として持てない）
パラドックスの回避｜大きさに制限がある｜制限が緩い（または真のクラスとして扱う）
具体例｜自然数の全体｜すべての集合の全体、すべての順序数

>V内は ZFCから証明できる集合だが
やはり彼の人はV=Lを信奉しているみたいね
V=LとSIあるいはUは相容れないのに気が付いてない
または不都合な真実には目を瞑ってるみたい

「Lの元はZFCから存在証明可能」は偽だけどね。
直接的理由として、Lにおける「定義可能」とは「集合論の言語で書ける論理式によって定義可能」ではないから。
間接的理由として、Lは非可算だが証明全体の集まりはたかだか可算だから。

>>443
彼の人の考える最強の証明可能性がどういうものか分かりませんね

>>431-432
(引用開始)
>”第二に、V の要素は全て整礎集合に限られている。正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合が V に属する。”
君、A⇒B と B⇒A の違いが分からない？
「ZFCでは全ての集合が V に属する。」とは、「xはZFCから存在証明可能 ⇒ x∈V」のこと。
これは君の持論「x∈V ⇒ xはZFCから存在証明可能」とは異なる命題。
これが分からないってことは君には数学は無理なのであきらめよう。
数学を初歩の初歩から分かってないから勝手読みしてたんですね。
君には数学は無理な理由がはっきりして良かったですね。これできっぱりあきらめられますね。おめでとう。
(引用終り)

ふっ
１）数学の初歩の初歩は、定義の確認。定義の確認を怠っては 全ての議論が上滑りだよｗ（＾＾
２）いま 下記 Von Neumann universe Definition より
　V:=⋃α Vα.であって さらに Vαは”called stages 略”だという（格好良く ”stage”とするよ）
　で、各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である
３）ところで、全stage Vαを集めた V:=⋃α Vαは ZFCでは 集合とは出来ない（クラス）
　まとめると、Neumann universe Vとは 各stageは ZFCで証明可能な集合だが V自身はクラス
　なお このクラスVの存在 は ZFCでは証明できない。∵ ZFCはクラスを扱えないから
４）到達不能基数κの公理は、このZFCの限界を広げるための公理よ
　つまり、ZFC内のいかなるαより大の基数κ（即ちα＜κ かつ 2^α＜κ）を考える
　κは基数だから ノイマン宇宙の定義を借用して Vk ⊇ ⋃α Vα.
　即ち、ZFCではクラスのノイマン宇宙Vの各ステージ Vαの全てを Vkは包含する
　到達不能基数κの公理は、そういうことを想定した公理だってこと■

あとはゴミだから流すｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:
・Let V0 be the empty set:
V0:=∅.
・For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ).
・For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
Vλ:=⋃β<λ Vβ.

A crucial fact about this definition is that there is a single formula φ(α,x) in the language of ZFC that states "(α is an ordinal and) the set x is in Vα".

The sets Vα are called stages or ranks.

The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃α Vα.

>>445
＞各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である

第一の嘘　◆yH25M02vWFhPの勝手な妄想

各αがZFCから証明可能でなければならない、ということはない

＞到達不能基数κの公理は、このZFCの限界を広げるための公理よ
＞つまり、ZFC内のいかなるαより大の基数κ（即ちα＜κ かつ 2^α＜κ）を考える
＞κは基数だから ノイマン宇宙の定義を借用して Vk ⊇ ⋃α Vα.

第二の嘘　◆yH25M02vWFhPの勝手な妄想

「いかなる（順序数）α」である必要はない　典型的な素人の誤読

誤　Vk ⊇ ⋃α Vα.
正　Vk ⊇ ⋃(α<κ) Vα.

κは順序数だから、いかなる順序数よりも大きいとすると矛盾

残念でした　大学１年前期で落第

>即ち、ZFCのクラスであるノイマン宇宙Vの各ステージ Vαの全てを Vkは包含する
>到達不能基数κの公理は、そういうことを想定した公理だってこと

第三の嘘　◆yH25M02vWFhPの勝手な妄想

正確にいえば最小の到達不能基数κに関するVκをZFCのモデルとすることができ
その場合Vκのなかにはκより小さい基数しかないから、到達不能基数がない

到達不能基数は、単にZFCのモデルとなる集合を認めれば
そこで、通常ならクラスとなる大きい圏を、
クラスではなく集合として扱えるというだけのこと

>>445
>１）数学の初歩の初歩は、定義の確認。定義の確認を怠っては 全ての議論が上滑りだよｗ（＾＾
そっくりお返しします。
ノイマン宇宙の定義に
>各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である
などという条件は無い。実際、例えば強到達不能基数κの階層VκはZFCで構成不可能。
定義を確認して下さいね。

>３）ところで、全stage Vαを集めた V:=⋃α Vαは ZFCでは 集合とは出来ない（クラス）
大間違い。
いかなるZFCの拡大理論でもVは真クラス。
整礎集合全体のクラスVが仮に集合なら整礎集合2^Vが存在し2^V⊂Vであるはずだがカントールの定理と矛盾。

>このクラスVの存在 は ZFCでは証明できない。∵ ZFCはクラスを扱えないから
大間違い。
クラスを扱えるNBGからも存在証明できない。
仮にZFCのモデルであるVがZFCの保存拡大であるNBGから存在証明可能なら、
ZFCが矛盾している or 完全性定理が間違っている or 不完全性定理が間違っている
の少なくともひとつが言えてしまう。
初歩から分かってない。

以上より必然的に
>　κは基数だから ノイマン宇宙の定義を借用して Vk ⊇ ⋃α Vα.
>　即ち、ZFCではクラスのノイマン宇宙Vの各ステージ Vαの全てを Vkは包含する
>　到達不能基数κの公理は、そういうことを想定した公理だってこと■
も大間違い。

てか君、何回同じこと言わせるの？日本語読めないの？じゃあ小学校の国語からやり直して下さい。数学？小学校の国語が分からない人には到底無理です。

（彼の人はドンドンおかしくなりつつありますね）

（おそらく自分が嘘を吐いていることを自覚しているのでしょう）

テンプレ入りですね
>で、各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である
やはり彼の人はV=Lの信奉者でした

これはヒドイｗ
>つまり、ZFC内のいかなるαより大の基数κ（即ちα＜κ かつ 2^α＜κ）を考える
>　κは基数だから ノイマン宇宙の定義を借用して Vk ⊇ ⋃α Vα.

>>446-447
>＞各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である
>第一の嘘　◆yH25M02vWFhPの勝手な妄想
>各αがZFCから証明可能でなければならない、ということはない

ふっ
公理的集合論においては、使う公理を決めるものだ
つまり、ゲームのルールを決める
ZFC公理系の話ですよ ノイマン宇宙は
だから、ノイマン宇宙のαは、ZFC公理系で証明できるαに限られるべし
勝手に、公理にない到達不能基数κを導入することは許されませんよｗ（＾＾

後はゴミ

>>447
(引用開始)
>１）数学の初歩の初歩は、定義の確認。定義の確認を怠っては 全ての議論が上滑りだよｗ（＾＾
そっくりお返しします。
ノイマン宇宙の定義に
>各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である
などという条件は無い。実際、例えば強到達不能基数κの階層VκはZFCで構成不可能。
定義を確認して下さいね。
(引用終り)

イミフ
何を主張しているか 全く意味不明
下記 ”Von Neumann universe Definition”を 百回音読しよう
ポイント抜粋
・V:=⋃α Vα. ”The class V is defined to be the union of all the V-stages”
　但し、”The class V”なので class V自身は、ZFCの外だ。∵ZFC公理はクラスは扱えない
・V0:=∅、 any ordinal number βVβ+1:=P(Vβ)、any limit ordinal λ Vλ:=⋃β<λ Vβ・・・
　これを限りなく続ける。超限回。そして それら超限回の全ての集合和が ノイマン宇宙Vの定義■

後はゴミだから、流すよ（＾＾

(参考) >>445より再録
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:
・Let V0 be the empty set:
V0:=∅.
・For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ).
・For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
Vλ:=⋃β<λ Vβ.
A crucial fact about this definition is that there is a single formula φ(α,x) in the language of ZFC that states "(α is an ordinal and) the set x is in Vα".
The sets Vα are called stages or ranks.
The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃α Vα.
(引用終り)
以上

>>452
>ZFC公理系の話ですよ ノイマン宇宙は
>だから、ノイマン宇宙のαは、ZFC公理系で証明できるαに限られるべし
相変わらずモデルを分かってない。全く進歩が無い。
>勝手に、公理にない到達不能基数κを導入することは許されませんよｗ（＾＾
誰も勝手に仮定してない。相変わらずストローマン論法。

>何を主張しているか 全く意味不明
じゃ小学校の国語からやり直し。

>・V:=⋃α Vα. ”The class V is defined to be the union of all the V-stages”
どこにもαはZFCから存在証明可能なんて書かれてない。君の妄想。だから定義を確認しろと言ってるのに、頑なに確認しない。

>>452
＞ノイマン宇宙はZFC公理系の話だから
＞基数αは、ZFC公理系で証明できるものに限られるべし
＞勝手に、公理にない到達不能基数κを導入することは許されませんよ

それ、超準解析とか、完全否定してるけど

無限小実数とか無限大実数は
実数論の公理から存在が証明できないので

>これを限りなく続ける。超限回。
数学において無限回の繰り返しなどというものは存在しない。超限再帰は無限回の繰り返しではなく写像の存在を主張している。根本的に分かってない。

>>455
>それ、超準解析とか、完全否定してるけど
>無限小実数とか無限大実数は
>実数論の公理から存在が証明できないので

すごく混乱している
中高生も来るので 厳しく赤ペンする

１）超準解析は、下記 磯野優介とか見てね
２）これは 下記 超実数（ hyperreal number）で 無限大と無限小を含む
　別に 拡大実数 通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系（リーマン球面は無限大は一つ 複素数で+も-も同じ）
３）これZFCの中だろ？ しらんけど 磯野優介先生に聞いてみなよｗ（＾＾
　（少なくとも 拡大実数 +∞までは ZFCの中で あとは 無限小を ZFCでどう料理するかだけでしょｗ）
４）”実数論の公理”？ 筆が滑ったか？
　実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞｗ
　これ解らないなら 小学校からやりなおしだな（＾＾

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
超準解析入門−超実数と無限大の数学
磯野優介∗
京都大学数理解析研究所特定助教
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日
概要
「無限に大きい数」は存在しません．どんな数を持ってきても，それに1を足せば，より大きな数が出来るからです．同様に「無限に小さい数」も存在しません．このような無限数は，数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず，古くから研究に用いられてきました（いわゆる「無限小解析」）．その後19世紀に入り，厳密さを備えたε-δ論法が登場し，無限小解析は歴史から姿を消します．超準解析とは，「無限に大きい，小さい数」を，数学として厳密に定式化し，取り扱う学問です．この枠組みでは，無限数を用いた計算や証明が可能で，現代数学を用いた無限小解析の再現とも言えます．この講義では，そのような無限数を含む「超実数」を構成し，それを用いて解析学の基礎的な定理を実際に証明してみようと思います．

https://researchmap.jp/yisono
磯野 優介
経歴 6
2021年1月 - 現在京都大学, 数理解析研究所 応用数理研究部門, 准教授
2016年10月 - 2020年12月京都大学, 数理解析研究所, 特定助教

つづく

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
導入
順序体
F の非零元が無限小であるとは、その絶対値が
1/n（n は標準的自然数）の形をした如何なる
F の元よりも小さいことをいう。無限小を持つ順序体は非アルキメデス的であるという。もっと一般に、超準解析は超準モデルと移行原理に基づくあらゆる形態の数学をいう。実数に対して移行原理を満たすような体を超実数体といい、超準実解析学はそういった体を実数の超準モデルとして用いる。
ロビンソン自身のアプローチはそれら実数体の超準モデルに基づく。彼のこの分野に関する古典的・基礎的な本 Non-standard Analysis は1966年に出版され、現在も販売されている。[10]
論理的枠組み
ふたつのアプローチ
超準解析には2つの非常に異なったアプローチがある：ひとつは意味論的あるいはモデル論的アプローチであり、もうひとつは構文論的アプローチ（公理論的アプローチ）である。これらのアプローチはどちらも、解析学以外にも、数論、代数やトポロジーを含む、他の数学の領域に適用される。
ロビンソンによる超準解析の元々の定式化は「意味論的アプローチ」のカテゴリーに分類される。彼が一連の論文で行ったように、これは理論のモデル（とくに飽和モデル）の研究に基づく。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数（ hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard real number）は、実数体の拡張として導入される数体系の元であり、無限小や無限大に対応する元を含む。超実数全体はしばしば {}^*R と書かれ、超準解析における基本的な対象である。[1][2]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数（英: extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系を言う
(引用終り)
以上

>>457
これは酷い

>>456
>>これを限りなく続ける。超限回。
>数学において無限回の繰り返しなどというものは存在しない。超限再帰は無限回の繰り返しではなく写像の存在を主張している。根本的に分かってない。

ふっ
中高生も来るので 厳しく赤ペンする

１）数学者は 数学をZFCの中ではやってない
　数学をZFCの外でやって 「これZFCの中だよね」って 確認するんだよ
　君は そこが 根本的に滑っている
２）例を示す 下記 Von Neumann universe First 5 von Neumann stages の図解があるよ
　"the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe"
　(集合V6は2^65536個の要素を含んでおり、これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている)
　分かりますか？ Von Neumann universe 集合V6「これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている」
　V6は当然序の口で これ以上は具体的に描けないし 描いても無駄だ
３）このステージが ωを越えて ω^2 も越えて ・・ ω^ω（可算）も越えて 非可算の2^ωになって さらにさらに限りなく（超限）つづく
　その外に 到達不能基数κさまが居るって想定なわけ
　到達不能基数κさまは、ZFCの外で ラスボスか神か という存在なわけ
　ZFCとは そういうゲームなんだよ 覚えておいてねｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe

Finite and low cardinality stages of the hierarchy
The first five von Neumann stages V0 to V4 may be visualized as follows. (An empty box represents the empty set. A box containing only an empty box represents the set containing only the empty set, and so forth.)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_universe_4.png
First 5 von Neumann stages

This sequence exhibits tetrational growth. The set V5 contains 2^16 = 65536 elements; the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe;

>>459
＞これは酷い

ふっ
お前がなｗｗ（＾＾

(google検索)
what is relationship between Nonstandard Analysis and ZFC
＜AI概要＞
Nonstandard analysis does not require any new axioms beyond ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice).
The primary relationships between standard Nonstandard Analysis (NSA) and ZFC include:

1. ZFC is Sufficient for Construction
• Ultrapower & Superstructure Approaches: Abraham Robinson’s original formulation and Wilhelmus Luxemburg’s ultrapower construction of the hyperreal field (\(\mathbb{R}^{*}\)) are carried out entirely within ZFC (relying on the Axiom of Choice to build ultrafilters). No extra set-theoretic axioms are needed to define nonstandard models.
• You can read more about foundational perspectives on the Wikipedia Nonstandard Analysis page.

2. Conservativity over ZFC
• Conservative Extension: Standard nonstandard analysis is a conservative extension of ZFC (or standard real analysis). This means any theorem without nonstandard concepts (any standard theorem) that can be proved using NSA can also be proved using standard ZFC alone. NSA is a powerful proof technique rather than a tool that changes the range of true standard mathematical results.
• Discussions on this foundational relationship can be explored further on Math.StackExchange.

3. Axiomatic Variants (Internal Set Theory)
• Internal Set Theory (IST): Developed by Edward Nelson, IST takes a different route by adding a new primitive predicate st ("standard") directly to the language of ZFC, accompanied by three extra axioms: Idealisation, Standardisation, and Transfer.
• Even in Nelson's IST, the system is a conservative extension of ZFC: any standard statement provable in IST is already provable in ZFC.

Would you like to explore:
・How the transfer principle works inside ZFC models?
・The difference between the ultrapower construction and axiomatic approaches like IST?

>>459
ですね

＞（超準解析は）これZFCの中だろ？ しらんけど
＞実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞ

また、口からデマカセ

◆yH25M02vWFhP君は、数学板の高市早苗？

＞数学者は 数学をZFCの中ではやってない
＞数学をZFCの外でやって
＞「これZFCの中だよね」って 確認するんだよ

また、口からデマカセ

◆yH25M02vWFhP君は、数学板の高市早苗？

ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
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ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
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ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
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ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
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>>460
これは酷い

>>457
>実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞｗ
実数論はZFCとは異なる理論で、実数全体の集合が完備順序体であることを主張している。
一方超実数体は完備でない。実際有限元全体の集合は空でないが上限を持たない。仮に上限xを持つならxは無限大でなければならず、x/2も上界だから矛盾。

実数はZFで、超実数がZFCでモデルを構成できる。
有理コーシー列全体の集合X上の二項関係〜を a〜b⇔lim[n→∞](a-b)=0 で定義すれば〜は同値関係。X/〜上の加法、乗法、順序、極限を適当に定義したものが実数体Rのモデル。
選択公理を仮定すればN上の自由超フィルタUが存在し、R^N上の二項関係〜を a〜b⇔{n∈N|an=bn}∈U で定義すれば〜は同値関係。(R^N)/〜上の加法、乗法、順序を適当に定義したものが超実数体R*のモデル。
その意味で実数論・超実数論と集合論は関連があるが、実数論・超実数論は必ずしも集合論を必要としていない。つまり集合論の拡大理論ではない。

>>459
>>>457
>これは酷い
確かに
特に
>４）”実数論の公理”？ 筆が滑ったか？
>　実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞｗ
は大学一年生なら絶対に言わない酷さ

>>466
ホントニ

>>469
タシカニ

>その意味で実数論・超実数論と集合論は関連があるが、実数論・超実数論は必ずしも集合論を必要としていない。つまり集合論の拡大理論ではない。
まったく同じことがペアノ算術についても言える。
集合論が現代数学の大黒柱と言われるのは、数学のほとんどの理論を集合論上でエミュレートできてしまうほど強力な表現力を持つから。

瀬田爺は教養課程レベル（線形代数、実数論、集合論）がまるで分ってないね。
大学1年4月に習う実数の公理がまるで分かってないってことは大学に行ったことが無いのでは？
ノイマン宇宙？到達不能基数？そりゃ無理ですわ。

>>466-473
>>実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞｗ
>実数論はZFCとは異なる理論で、実数全体の集合が完備順序体であることを主張している。

ふっ 分ってないね
１）ZFC公理系においては 追加公理なしで 実数論が展開できる
　デデキントやカントールがやったような 実数論が展開できる
　逆に言えば もし 実数論が展開できないなら ZFCに追加公理が必要てことだが
　この話は 逆数学と言われる（逆数学の結果は下記な）
２）ZF+Cになったのがそれで ZFでは不足だが フルパワー選択公理Cでなく 従属選択公理で実数論は展開できる（下記）

>>その意味で実数論・超実数論と集合論は関連があるが、実数論・超実数論は必ずしも集合論を必要としていない。つまり集合論の拡大理論ではない。
>まったく同じことがペアノ算術についても言える。
>集合論が現代数学の大黒柱と言われるのは、数学のほとんどの理論を集合論上でエミュレートできてしまうほど強力な表現力を持つから。

その通り
ZFCで、殆どの現代数学は展開できることが分っている（下記）
できないのが 圏論で グロタンディク宇宙を使う ここに 到達不能基数κが登場する（＾＾

あとはゴミだから流すねｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。[a]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
逆数学（ぎゃくすうがく）とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである

（通常の圏論はクラスを使って定義してるんだけどね）

（実数の定義と連続性（単調増加で上に有界なら極限を持つ）はACなしのZFで十分だったと思うけどね）

>>460
>２）例を示す 下記 Von Neumann universe First 5 von Neumann stages の図解があるよ
>　"the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe"
>　(集合V6は2^65536個の要素を含んでおり、これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている)
>　分かりますか？ Von Neumann universe 集合V6「これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている」
>　V6は当然序の口で これ以上は具体的に描けないし 描いても無駄だ
何の例を示したつもりになってるのか知らんが、まったくトンチンカン。

>３）このステージが ωを越えて ω^2 も越えて ・・ ω^ω（可算）も越えて 非可算の2^ωになって さらにさらに限りなく（超限）つづく
仮に最大の順序数χが存在するならそれより大きい順序数χ∪{χ}が存在し矛盾。
最大の順序数が存在しない以上限りなく続くのは当たり前。サルでも分かる。

>　その外に 到達不能基数κさまが居るって想定なわけ
大嘘。
到達不能基数κが存在するならκは基数であり基数は順序数であるから「その中」に居る。
君の主張は「到達不能基数は基数でない」という矛盾した主張に他ならない。サルでも分かる。

>　到達不能基数κさまは、ZFCの外で
仮に到達不能基数がZFCから存在証明可能なら
ZFCが矛盾している or 完全性定理が間違っている or 不完全性定理が間違っている
の少なくともひとつが成立してしまう。よって仮にZFCが矛盾していないならZFCから存在証明不可能。
数理論理学の初歩。

>ラスボスか神か という存在なわけ
ZFCとの対比でラスボスだ神だと言うなら巨大基数がそれに当たる。到達不能基数は巨大基数の中では最底辺。

>　ZFCとは そういうゲームなんだよ 覚えておいてねｗ（＾＾
集合論も数理論理学も初歩から分かってない君は持論を語るなかれ

結局「数学において無限回の繰り返しなるものは存在しない」に対する何の反論にもなっていない。
超限再帰は無限回の繰り返しではなく写像の存在を主張している。

>>474
>ふっ 分ってないね
と、初歩から分かってない君に言われても

>１）ZFC公理系においては 追加公理なしで 実数論が展開できる
>　デデキントやカントールがやったような 実数論が展開できる
そもそも実数論はひとつの完結した理論であって、実数論の展開（実数の公理からいかなる定理を導出できるかを論ずること）に集合論は不要。
実数論に限らず群論でも環論でも線形代数でも自然数論でもそう。
例えばモデルの範疇性を論ずるには集合論が必要だが、それはそもそも実数論ではない。
というか君、大学1年4月に実数の公理って習わなかった？　実は大学行ってない？　さもありなん。

>　逆に言えば もし 実数論が展開できないなら ZFCに追加公理が必要てことだが
>　この話は 逆数学と言われる（逆数学の結果は下記な）
>２）ZF+Cになったのがそれで ZFでは不足だが フルパワー選択公理Cでなく 従属選択公理で実数論は展開できる（下記）
>従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。
また勝手読みしてるね。実数論と解析学を混同している。
解析学は実数論を基礎におく学問領域であって、実数論のような単一の理論ではない。従って実数論とは違い解析学のモデルというものは存在しない。
というかそもそも数理論理学の初歩である理論やモデルを分かってない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6#%E5%AE%9F%E6%95%B0%E8%AB%96
の「解析学の基礎付け」の「実数論」を読んでごらん。君の悪い癖である勝手読みをせずにね。

>解析学は実数論を基礎におく学問領域であって、実数論のような単一の理論ではない。
実際「実数の公理」と違い「解析学の公理」なんて見たこと無いでしょ？
君の場合よく存在しないものを見てしまうようだけど

>というかそもそも数理論理学の初歩である理論やモデルを分かってない。
君の大間違いの持論「ノイマン宇宙の任意の元はZFCから存在証明可能」も結局そこから来ている。
君は背伸びをし過ぎ。初歩の初歩から分かってないのだから初歩の初歩から勉強すべし。それが嫌なら数学やめな。

>>480
ですね

>「数学において無限回の繰り返しなるものは存在しない」
無限回の操作の繰り返しが存在するということはどういうことか？
集合論においては、ある集合（たち）に対し何らかの集合操作（べきをとる、対をとる、和をとる、差をとる、共通部分をとる、置換をとる等）を無限回行ったものも集合であると主張することに他ならない。
それは無限長の証明を認めることに他ならない。
しかし証明は有限長でなければならない。これは数理論理学の初歩。やはり初歩から分かってない。
尚、無限集合Xの和∪Xや共通部分∩Xは無限回の操作ではなく問題無い。例えば可算和とは可算集合の和に他ならない。

そもそも無限回の操作を認めるなら、無限個の集合それぞれについて元を任意にひとつ取る操作が認められるのだから選択公理はZFの定理である。
実際は無限回の操作なるものは認められないから選択公理はZFから独立。

数学を初歩の初歩から分かってないと断ぜざるを得ない

しかも分かってないくせに分かったといって自慢したがるのがイタイ

>中高生も来るので 厳しく赤ペンする
とかな

瀬田爺さんの口癖だけど糞スレには来ないよ
>中高生も来るので

＞中高生も来るので 厳しく赤ペンする

なぜか中高生レベルで添削指導したがるエッタ

＞あとはゴミだから流すね

といって数学的ウソを大量に流すエッタ

>>477
ふっ
自爆したかｗ（＾＾
下記 Kanamor 百回音読してねｗ（＾＾


(参考)（有名なAkihiro Kanamori氏の本）>>320より
https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/xbooks/The-Higher-Infinite-optimized.pdf
The Higher Infinite (Springer)
Akihiro Kanamori The Higher Infinite Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings Second Edition
北見工業大学 2004
より
PXIV
but shorn of these features it became the standard Zermelo-
Fraenkel (ZFC) one when recast in the soon to emerge terms of first-order logic.
The Foundation Axiom had been prefigured as a restricting possibility by Dmitry
Mirimanov [17], Skolem [23], and von Neumann [25]. Zermelo offered a synthetic
view of a succession of natural models for set theory, each a member of
a next, essentially realizing that Foundation ranks the sets in these models into a
cumulative hierarchy. In current terms the axiom stratifies the formal universe V
of sets as ∪αVα, where V0 is ∅,Vα+1 is the power set of Vα, and Vδ for limit
ordinals δ is the union of the Vα’s for α < δ.
In a notable inversion this iterative
conception came to be accepted after Godel’s later advocacy as a heuristic for
motivating the axioms of set theory generally, its open-endedness moreover promoting
a principle of tolerance for motivating new hypotheses mediating toward
Cantor’s Absolute. Foundation is the one axiom unnecessary for the recasting
of mathematics in set-theoretic terms, but it came to be the salient feature that
distinguishes structural investigations specific to set theory. Indeed, it can be
fairly said that modern set theory is the study of well-foundedness, the Cantorian
well-ordering doctrines adapted to the Zermelian combinatorial conception of sets.

つづき

つづく

PXV
Large Cardinals

PXVII
The set-theoretic universe V viewed as the cumulative hierarchy
∪αVα is open-ended and under-determined by the set-theoretic axioms, and invites further
postulations based on reflection and generalization. In 1946 remarks G¨ odel
[90: 151] suggested reflection in terms of a set-theoretic proposition being provable
in “the next higher system above set theory”, which proof being replaceable
by one from “an axiom of infinity”. This ties in with V cast as Cantor’s Absolute
being mathematically incomprehendable, so that any property ascribable to it
must already hold in some sufficiently large Vα, some properties leading directly
to large cardinal hypotheses. In a 1966 footnote G¨ odel [90: 260ff] acknowledged
“strong axioms of infinity of an entirely new kind”, generalizations of properties
of ℵ0 “supported by strong arguments from analogy”. This ties in with Cantor’s
unitary view of the finite and transfinite, with properties like inaccessibility and
measurability technically satisfied by ℵ0 being too accidental were they not also
ascribable to higher cardinals. Both reflection and generalization are latent in the
eternal return of successive domains as envisioned by Zermelo [30]. Whatever
the heuristics, the theory of large cardinals like other mathematical investigations
was to be driven by open problems and growing structural elucidations. (These
matters are taken up in §3. Other heuristic arguments are described in Maddy
[88, 88a].)
(引用終り)
以上

>>491
(参考)
(google訳)
PXV
巨大基数

PXVII
累積的階層 $\bigcup_{\alpha} V_{\alpha}$ として捉えられる集合論的宇宙 $V$ は、開かれた構造を持っており、集合論の公理系だけではその全容が完全に決定されるわけではない。
そのため、反射（reflection）や一般化に基づいたさらなる公理の導入が促されることになる。
1946年の論考において、ゲーデル [90: 151] は「反射」の概念を示唆した。これは、ある集合論的な命題が「集合論よりも一段上の体系」において証明可能であるという考え方であり、その証明は「無限公理」を用いた証明に置き換えることができるとされる。これは、カントールの「絶対無限（Absolute）」としての宇宙 $V$ という概念と結びついている。
この宇宙は数学的に把握不可能であり、それゆえ、そこに帰属させうるいかなる性質も、十分大きな $V_\alpha$ においてすでに成立していなければならない。
実際、そうした性質の中には、巨大基数公理へと直接つながるものもある。
ゲーデルは1966年の脚注 [90: 260ff] において、「全く新しい種類の強力な無限公理」に言及している。
これらは $\aleph_0$（アレフ・ゼロ）が持つ性質を一般化したものであり、「類推に基づく強力な論拠」によって支持されるものである。この考え方は、有限と超限を統一的に捉えるカントールの見解と合致する。例えば、「到達不能性」や「可測性」といった性質が $\aleph_0$ において満たされているのは、もしそれらがより大きな基数にも帰属しうると考えなければ、単なる偶然に過ぎないことになるからである。
ツェルメロ [30] が構想したような、次々と現れる領域の「永遠回帰」という概念には、「反映（reflection）」と「一般化」の双方が潜在している。
どのような発見的推論（ヒューリスティクス）によるものであれ、巨大基数の理論は、他の数学的研究と同様に、未解決問題や、構造の解明が進展していく過程によって推進されるものである。（これらの問題については第3節で扱う。その他の発見的論拠については、マディ [88, 88a] を参照のこと。）
(引用終り)
以上

>>490-492 補足

１）>>490 フォンノイマン宇宙 ここで 各ステージ Vαの αは あくまでZFC内部で
”Zermelo offered a synthetic
view of a succession of natural models for set theory, each a member of
a next, essentially realizing that Foundation ranks the sets in these models into a
cumulative hierarchy. In current terms the axiom stratifies the formal universe V
of sets as ∪αVα, where V0 is ∅,Vα+1 is the power set of Vα, and Vδ for limit
ordinals δ is the union of the Vα’s for α < δ.”

２）>>491-492
"累積的階層 $\bigcup_{\alpha} V_{\alpha}$ として捉えられる集合論的宇宙 $V$ は、開かれた構造を持っており、集合論の公理系だけではその全容が完全に決定されるわけではない。
そのため、反射（reflection）や一般化に基づいたさらなる公理の導入が促されることになる。
1946年の論考において、ゲーデル [90: 151] は「反射」の概念を示唆した。これは、ある集合論的な命題が「集合論よりも一段上の体系」において証明可能であるという考え方であり、その証明は「無限公理」を用いた証明に置き換えることができるとされる。これは、カントールの「絶対無限（Absolute）」としての宇宙 $V$ という概念と結びついている。
この宇宙は数学的に把握不可能であり、それゆえ、そこに帰属させうるいかなる性質も、十分大きな $V_\alpha$ においてすでに成立していなければならない。
実際、そうした性質の中には、巨大基数公理へと直接つながるものもある。
ゲーデルは1966年の脚注 [90: 260ff] において、「全く新しい種類の強力な無限公理」に言及している。"

つまり 上記１）のフォンノイマン宇宙 V ∪αVαを拡張するために
巨大基数を考えるってことだ
その一例が 到達不能基数κ なり！

Akihiro Kanamoriを 百回音読しよう！！ｗ（＾＾

（引用しても理解しない彼の人）

（Vが何で有るとしているか明確に書かれているのに）

>>493
>フォンノイマン宇宙 ここで 各ステージ Vαの αは あくまでZFC内部で
また妄想か　病院行け

>>490
>自爆したかｗ（＾＾
妄想にとらわれて「到達不能基数は基数でない」と自爆してるのが君

>この宇宙は数学的に把握不可能であり、それゆえ、そこに帰属させうるいかなる性質も、十分大きな $V_\alpha$ においてすでに成立していなければならない。
>実際、そうした性質の中には、巨大基数公理へと直接つながるものもある。
Vに帰属させる「Vの中のある集合はZFCのモデルである」という性質は、十分大きなVκにおいてすでに成立していなければならない。
この性質こそ巨大基数公理へと直接つながるものである。なぜなら巨大基数κの存在を仮定しなければVκはZFCのモデル足りえないからである。
⇒つまり Vκ∈V であり、Vは推移的クラスだから Vκ⊂V である。

正しい基礎知識を持って文章を正しく読めば正しい理解が得られる。
基礎勉強を怠り予断を持って文章を読めば誤読して間違った理解しか得られない。

と言うか理論もモデルも分かってない入門レベルですらない瀬田爺がノイマン宇宙だのグロタン宇宙だの巨大基数だのを論じるのがそもそもの間違い。
数学では初歩が分からなければ応用は分からない。入門レベルですらない瀬田爺はまず入門レベルから勉強すべし。

何度説明しても瀬田爺に響かないのは説明を受け取れる学力がないから。
こちらが言ってることが何かの呪文のように聞こえ右の耳から左の耳へ素通りしその結果何度も同じことを言われてしまう。
分からなかったことを質問するなり勉強するなりしない典型的なダメ生徒。落ちこぼれたのも当然だ。

>>501
>>498
ですね

>>493 補足
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」 渕野昌 青土社
が入手できたので そこから2枚（4ページ）ご紹介します

１）https://i.imgur.com/S5lESNq.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」P56-7 渕野昌 青土社.jpg
（補足）
ここで、Vαの累積階層として 集合の全体のなすクラスVを導入している
ここに αは順序数で
Vがノイマン宇宙であることは 渕野昌は ここでは述べていないが
自明だろう

２）https://i.imgur.com/DN5Xpv5.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」P58-9 渕野昌.jpg
（補足）
ここで、到達不能基数κを導入している
渕野先生は
「正則基数となっている極限基数κが λ→2^λに関して閉じているとき
　つまり λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき」
として 到達不能基数κを定義する

”λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき κは到達不能基数である”
この定義を 百回音読しよう！（＾＾

>>493 補足
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」 渕野昌 青土社
が入手できたので そこから2枚（4ページ）ご紹介します

１）https://i.imgur.com/S5lESNq.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」P56-7 渕野昌 青土社.jpg
（補足）
ここで、Vαの累積階層として 集合の全体のなすクラスVを導入している
ここに αは順序数で
Vがノイマン宇宙であることは 渕野昌は ここでは述べていないが
自明だろう

２）https://i.imgur.com/DN5Xpv5.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」P58-9 渕野昌.jpg
（補足）
ここで、到達不能基数κを導入している
渕野先生は
「正則基数となっている極限基数κが λ→2^λに関して閉じているとき
　つまり λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき」
として 到達不能基数κを定義する

”λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき κは到達不能基数である”
この定義を 百回音読しよう！（＾＾

>>503-504
あら ダブったな
音読は 100回でいいよ （＾＾

（2回無駄コピペ）

>>504 補足
”λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき κは到達不能基数である”

要するに κは
常に λより大かつ 2^λより大
な（＾＾

>>506
>（2回無駄コピペ）

ポスター2連（連貼り）下記
と思ってくれ（＾＾

https://help-cheering-ad.jeki.co.jp/hc/ja/articles/16360279085593-B0%E3%82%922%E9%80%A3-2%E6%9E%9A%E8%B2%BC%E3%82%8A%E5%90%88%E3%82%8F%E3%81%9B%E3%81%A6-%E3%81%A7%E3%83%87%E3%82%B6%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%97%E3%81%9F%E3%81%84%E3%81%A7%E3%81%99
応援広告（センイル広告） Cheering AD｜ よくあるご質問 ヘルプセンターのホームページ
B0ポスター2連（連貼り）は、B0サイズのポスターを横に2枚並べ、1つの大きなデザインとして掲出するものです。

>>503
>集合の全体のなすクラスV
じゃあVκは集合だからVκ∈V、Vは推移的だからVκ⊂Vってことだね。
毎度おなじみの自爆コピペ乙

>”λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき κは到達不能基数である”
>この定義を 百回音読しよう！（＾＾
それは強極限基数の定義。誰も「強到達不能基数は強極限基数でない」と言ってない。
毎度おなじみのストローマン論法乙。

>>508
二回目が無駄
じゃなく
二回とも無駄
と言われてるのに相変わらず理解力が崩壊している瀬田爺

コピペさえしてれば必勝
と思ってる瀬田爺、自分のコピペで論破される頭の悪さ

>>510
です

>>504 補足
いつもお世話になっている
藤田博司先生、参ります

１）
https://i.imgur.com/41ysTI9.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「無限と連続の数学」P46-7 藤田博司 青土社
ここに
”4 順序数とフォンノイマン宇宙”の章がある
明確に フォンノイマン宇宙とは、順序数による累積階層を集めたもの
順序数は、ZFCの中で
”ZFCは、現代数学の舞台としてのフォンノイマン宇宙の理論を公理化するものである”とある

２）
https://i.imgur.com/5tKQ1r1.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「無限と連続の数学」P48-9 藤田博司 青土社
”6 連続体仮説と独立性と巨大基数”の章がある
巨大基数：”どこまでも繰り返すという反復の原理を強化する公理を追加する”と述べられている

３）
https://i.imgur.com/sbfFTDb.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「無限と連続の数学」P49 藤田博司 青土社
”巨大基数公理は、略 反復の原理の強化を目的とした公理”
”ZFCだけでは存在が証明できないほど大きな順序数、とくに基数の存在を主張するものである”
とある

まとめると
１）フォンノイマン宇宙Vは、ZFCの中で 順序数による累積階層を集めたもの
２）巨大基数：”どこまでも繰り返すという反復の原理を強化する公理を追加する”
３）巨大基数公理：”反復の原理の強化を目的とした公理”、”ZFCだけでは存在が証明できないほど大きな順序数、とくに基数の存在を主張するものである”

藤田博司先生を、百回音読しよう！！（＾＾

>>513 補足

素人向けに解説を追加すると
１）集合とクラスの境目は、公理系によって異なる
　例：ZFC と NBG （下記）
２）>>513にあるように 巨大基数 あるいは到達不能基数κの公理は
　ZFCの集合の高さ方向の限界を広げる公理です
　この公理で、ZFCでは集合扱いできない対象（クラス）が 集合になる
　例：Vκ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合というクラスやすべての順序数というクラスといった、集合よりも大きいクラスを定義できる。モース＝ケリー集合論 (MK) は量化子の範囲がクラスである論理式によるクラスの定義を許容する。NBGは有限公理化できる一方、ZFCやMKではできない。

(K={κ::κは強到達不能基数}はZFCで定義できるのにね)

>>513
>いつもお世話になっている
>藤田博司先生、参ります
君に名前を使われる藤田氏はさぞ迷惑だろう

>”ZFCは、現代数学の舞台としてのフォンノイマン宇宙の理論を公理化するものである”
は、言葉遣いが乱暴で（特に「フォンノイマン宇宙の理論」）、この文単体だと意味が取りづらいが、文脈から
「VはZFCのモデルでありかつ現代数学の舞台であるから、ZFCは現代数学の理論を公理化する」
という意味だろう。これはまさに
>>472
>集合論が現代数学の大黒柱と言われるのは、数学のほとんどの理論を集合論上でエミュレートできてしまうほど強力な表現力を持つから。
と同じことを言っている。
そして重要なのはどこにも「Vの任意の元はZFCから存在証明可能」と書かれていない。モデルの定義から当たり前。
（実際、作図可能数体^2がユークリッド幾何学のモデルであるという事実は、同じくモデルであるR^2がユークリッド幾何学から存在証明不可能な点を持つことの決定的証拠。）
当然、
>順序数は、ZFCの中で
なる独自付け足しは大嘘。
瀬田爺、またしても妄想の裏付けに失敗。

>巨大基数：”どこまでも繰り返すという反復の原理を強化する公理を追加する”と述べられている
誰も巨大基数をZFCから存在証明可能と言ってない。
瀬田爺、またしてもストローマン論法に失敗。

>”巨大基数公理は、略 反復の原理の強化を目的とした公理”
>”ZFCだけでは存在が証明できないほど大きな順序数、とくに基数の存在を主張するものである”
>とある
誰もそうでないと言ってない。
瀬田爺、またしてもストローマン論法に失敗。

>まとめると
嘘をまとめても嘘にしかならない。

>藤田博司先生を、百回音読しよう！！（＾＾
百回の誤読より一回の正読の方が∞倍価値あることを知れ。

>>514
>素人向けに解説を追加すると
ど素人の君は解説する側ではなく解説される側。
しかも分からないところを質問なり勉強なりしない怠け者だから解説されても理解できない典型的ダメ生徒。

>１）集合とクラスの境目は、公理系によって異なる
>　例：ZFC と NBG （下記）
大嘘。
ZFCに真クラスは存在しない。（但しメタ的に論理式を真クラスと見做すことは可能。）
かつZFCの保存拡大であるNBGでもVは真クラス。仮に整礎集合全体のクラスであるVが集合なら整礎集合2^Vが存在して2^V∈V、Vは推移的だから2^V⊂Vのはずだがカントールの定理と矛盾。

>２）>>513にあるように 巨大基数 あるいは到達不能基数κの公理は
>　ZFCの集合の高さ方向の限界を広げる公理です
κはZFCから存在証明不可能なのだから言わずもがな。

>　この公理で、ZFCでは集合扱いできない対象（クラス）が 集合になる
>　例：Vκ
大嘘。ZFCには集合でない対象は無い。
ZFC+巨大基数公理においてVκが集合であることは誰もそうでないと言ってない。またまたストローマン論法。

基礎勉強を怠り、誤読して妄想し、間違いを解説されても理解できない落ちこぼれ
しかし重度NPDを患っており自らが解説者でないと気が済まない
それが瀬田爺

NPDは自尊心が脆弱だから起きる

>>517
ですね

無理解を理解しないことは
理解していることを意味しない

>>521
何を言いたいのか理解できない
特に
>理解していることを意味しない
の「理解していること」とは「何を」？

同じ「理解」という単語に
様々な「意味」を含ませているのは最悪かも

理牌

最小理牌問題

>>516
>>藤田博司先生、参ります
>君に名前を使われる藤田氏はさぞ迷惑だろう

そういうな
藤田博司先生のいいところは
我々下々にも分るように 丁寧な説明であることだ
（まあ、それでも 君らには分らないらしいなｗ）

>>”ZFCは、現代数学の舞台としてのフォンノイマン宇宙の理論を公理化するものである”
>は、言葉遣いが乱暴で（特に「フォンノイマン宇宙の理論」）、この文単体だと意味が取りづらいが、文脈から
>「VはZFCのモデルでありかつ現代数学の舞台であるから、ZFCは現代数学の理論を公理化する」
という意味だろう。

言葉遣いが乱暴というよりも わざと歴史の順と入れ替えている
つまり、ZFCが先で フォンノイマン宇宙Vがあと。これが 歴史の順だ
が 素人向けの説明だろう（現代思想は哲学雑誌で 文系の哲学系の人読むだろうから）

>これはまさに
>>472
>集合論が現代数学の大黒柱と言われるのは、数学のほとんどの理論を集合論上でエミュレートできてしまうほど強力な表現力を持つから。
>と同じことを言っている。

認識が根本から間違っている
19世紀 ZFCの前のカントールの集合論では、ラッセルパラドックス（矛盾）が問題となった
集合の作り方に恣意性があった
なので パラドックス（矛盾）を避けるために、集合論を公理化した
パラドックスを避けるべく 集合の構成を極力簡素にしたのだ
（余計な要素は入れない。そうして 極力シンプルにしてパラドックスを避けるべし！）
但し、公理化の過程で 選択公理は必要と分った
また、無限公理も必要だった
置換公理も必要だった
基礎の公理は、集合の生成を抑制して理論をすっきりさせるために入れた（これがいまノイマン宇宙構成に役立つ）
強力と言えるのは、フルパワー選択公理と置換公理くらいよｗ（＾＾
だが、グロタンディクの圏論には 力不足だった
そこで到達不能基数κさまの出番となったｗ

>そして重要なのはどこにも「Vの任意の元はZFCから存在証明可能」と書かれていない。モデルの定義から当たり前。

V内の任意のステージVαで
このαは順序数であり
任意の順序数αはZFCで構成できる■
QED

あとはゴミだから流す（＾＾

（集合論とはなんであるかをそもそも理解してないようです）

（到達不能基数も順序数なのにね）

（彼の人は構成可能とはなんであるかを知らないようです）

>>513
>３）
>https://i.imgur.com/sbfFTDb.jpeg
>現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「無限と連続の数学」P49 藤田博司 青土社
>”巨大基数公理は、略 反復の原理の強化を目的とした公理”

このページの最後に 参考文献
註(5)がある。それが下記で ここから関連を引用する
結論
１）ZFC からすべての集合は　V に属する V = ∪α Vα
２）最小の到達不能基数が存在するならば、ℵ1, ℵ2, ℵω などの名前がついたどの基数よりも大きなものであることがわかる
３）定理 基数κが到達不能基数ならば、集合VκはZFCのモデルになる
４）P36 いくつかの巨大基数概念を、公理としての強さの順に並べた表を次に掲げる
　（到達不能基数の下に ZFCのみ が来る）

(参考)
https://www.tenasaku.com/academia/
藤田博司
https://www.tenasaku.com/academia/notes/UsubaFujita_JSPS2012.pdf
【論文】科学基礎論研究Vol.39, No.2 (2012) 33〜42
現代集合論における巨大基数
薄葉季路∗ 藤田博司∗∗

P34
ZFC からすべての集合はV に属する、すなわち集合は上の構成法を用いて得られるものが全てであることが証明される。
これよりV = ∪α Vαを集合の宇宙（universe）と呼ぶこともある。

1.2 到達不能基数とマーロ基数

まずある意味で最小の巨大基数である到達不能基数を定義する。
定義 不可算、正則かつ強極限基数κ を到達不能基数と呼ぶ。
ℵ0 は不可算という条件を除いて到達不能基数の条件を満たしている。
このことからわかるように、到達不能基数はℵ0 がもつ“正則かつ強極限”という性質という性質を不可算基数が持ち得るか？ という問題意識から導入されている。
簡単な計算により最小の到達不能基数が存在するならば、ℵ1, ℵ2, ℵω などの名前がついたどの基数よりも大きなものであることがわかる。
あとで触れるとおり、実際のところ到達不能基数は大きすぎて、その存在はZFCから証明不能である。
到達不能基数の重要な性質として次があげられる。
定理 基数κが到達不能基数ならば、集合VκはZFCのモデルになる。
上の定理の逆は一般には成立しない。
すなわちVκがZFC のモデルであるからといって、κ が到達不能基数である保証はない。
これは基数κが正則かどうかがVκ において一階述語論理で記述できないという事情による。
しかし、二階述語論理を用いてZFCを自然に拡張したものを
略

P36
いくつかの巨大基数概念を、公理としての強さの順に並べた表を次に掲げる。
詳しくはカナモリ（A.Kanamori）のモノグラフ3)を見られよ。

　略
マーロ基数
　⇓
PM 到達不能基数
　⇓
(ZFCのみ）

>>526
>言葉遣いが乱暴というよりも わざと歴史の順と入れ替えている
>つまり、ZFCが先で フォンノイマン宇宙Vがあと。これが 歴史の順だ
>が 素人向けの説明だろう（現代思想は哲学雑誌で 文系の哲学系の人読むだろうから）
理論もモデルもちんぷんかんぷんな瀬田爺、「言葉遣いが乱暴」がピンと来ないようだ
そして数学はさっぱりなので数学史に逃げるいつものパターン

>19世紀 ZFCの前のカントールの集合論では、ラッセルパラドックス（矛盾）が問題となった
>集合の作り方に恣意性があった
大嘘。
逆。パラドックス回避のためどのような集合が存在可能かを恣意的に制限した。

>なので パラドックス（矛盾）を避けるために、集合論を公理化した
大嘘。
公理化とパラドックス回避は別の話。実際パラドックスを生む原因である無制限な内包公理も公理である。

>パラドックスを避けるべく 集合の構成を極力簡素にしたのだ
>（余計な要素は入れない。そうして 極力シンプルにしてパラドックスを避けるべし！）
大嘘。
パラドックスを避けるべく無制限な内包公理を制限した。つまりルールを厳しくした。簡素化は嘘。

>また、無限公理も必要だった
大嘘。
無制限な内包公理から帰納的集合 {x|{}∈x∧∀y:(y∈x⇒y∪{y}∈x)} の存在が言えるので無限公理は必要無かったが、制限したために必要となった。

>置換公理も必要だった
大嘘。
置換公理が必要となった理由も無限公理とまったく同じ。

>基礎の公理は、集合の生成を抑制して理論をすっきりさせるために入れた（これがいまノイマン宇宙構成に役立つ）
大嘘。
原因と結果が真逆。
ノイマン宇宙Vが正則性公理を充足することはVの定義からの帰結であって、正則性公理によってVが整礎となっているのではない。
理論も相変わらず分かってない。

>強力と言えるのは、フルパワー選択公理と置換公理くらいよｗ（＾＾
置換公理がどう強力か自分の言葉で説明してみて。

>だが、グロタンディクの圏論には 力不足だった
>そこで到達不能基数κさまの出番となったｗ
大嘘。
完全性定理と不完全性定理より理論のモデルを構成するにはメタ理論が必要。
これは自然数論を含む一階理論一般に言えることであってZFCに限った話ではない。
圏論との関係で言えば真クラスではなく集合としてのZFCモデルが欲しかったということ。

>V内の任意のステージVαで
>このαは順序数であり
>任意の順序数αはZFCで構成できる■
大嘘。
順序数は非可算個存在するが、存在証明可能な順序数はたかだか可算個。つまりほとんどすべての順序数は存在証明不可能。
この事実はほとんどすべての実数は定義不可能であること本質的に同じ原因。

>あとはゴミだから流す（＾＾
じゃあ数学板から君の存在を流すべき　ジャーーー

（公理が強力だとモデル（宇宙）の条件が厳しくなるのにね）

>>531,532
彼の人は理論とモデルの関係を全く理解してないようですね

>>530
>１）ZFC からすべての集合は　V に属する V = ∪α Vα
「ZFCから」が意味不明。
すべての集合は言い過ぎ。実際非整礎集合はVに属さない。
逆にすべての整礎集合はVに属す。Vκは整礎集合だからVκ∈V、Vは推移的だからVκ⊂V。
V⊂Vκは間違い。

>２）最小の到達不能基数が存在するならば、ℵ1, ℵ2, ℵω などの名前がついたどの基数よりも大きなものであることがわかる
「などの名前」が何を指してるかによる。
最小の到達不能基数κが存在するなら、基数である以上基数列のどこかに居るはず、すなわち何らかの順序数χが存在して κ=アレフχ であるはず。
κは極限基数であり仮にχ<κならκが正則基数であることと矛盾するので κ=アレフκ。

>>531-535

ふっ

おサルと、(ですね)人と
この二人は、無茶苦茶だね

いいか、到達不能基数とか巨大基数とかは
あなた達が考えた概念ではなく
何十年も前 前世紀に考えた数学者がいて
そして、その後100年ちかい積み重ねがあるんだ
まずは、素直に謙虚に 数学者たちの議論を
キチンと読んで理解することから 始めるべし

君達がやっていることは、マウントごっこだ
ここは中高一貫生も来るから 徹底的に叩く

同じ構図が、箱入りスレでも ガロアスレなど 例 https://itest.5ch.io/rio2016/test/read.cgi/math/1789750665/1-
でも繰り返された

特に 箱入りは、世間に流布する数学文献が
ほとんど皆無だから 水掛け論になった

そこで、舞台を 到達不能基数や巨大基数に移して
二人を徹底的に叩く
到達不能基数・巨大基数については、二人を叩くための文献は山ほどあるよ

この二人の数学の理解力の無さ
これを徹底的にあばくのが このスレのもう一つの目的

>>536
>無茶苦茶だね
具体的にどうぞ

>まずは、素直に謙虚に 数学者たちの議論を
>キチンと読んで理解することから 始めるべし
そう思うならなぜそうしない？

>特に 箱入りは、世間に流布する数学文献が
>ほとんど皆無だから 水掛け論になった
水掛け論？　君がヒト語を理解できないだけだろ

>そこで、舞台を 到達不能基数や巨大基数に移して
>二人を徹底的に叩く
そんな宣言要らない。さっさとやれ。

>到達不能基数・巨大基数については、二人を叩くための文献は山ほどあるよ
山ほどあるのに君の持論 V⊂Vκ が書かれてる文献を未だに一つも出せてないのはなぜ？

>この二人の数学の理解力の無さ
>これを徹底的にあばくのが このスレのもう一つの目的
御託はいいからさっさとやれ。

>この二人の数学の理解力の無さ
>これを徹底的にあばくのが このスレのもう一つの目的
君の理解力の無さが徹底的にあばかれてるけど
目的に合ってないぞ　頑張れよ

>>530 追加
(引用開始)
https://www.tenasaku.com/academia/notes/UsubaFujita_JSPS2012.pdf
【論文】科学基礎論研究Vol.39, No.2 (2012) 33〜42
現代集合論における巨大基数
薄葉季路∗ 藤田博司∗∗
(引用終り)

ここで、二人をぶちのめす棍棒を用意しよう
１）まず、下記薄葉季路先生：名古屋大 計算機数理科学・・か。いまｗ大か（＾＾
２）P35 定義 基数κがマーロ基数であるとは略
　なお、基数の概念はモデルに依存する相対的な概念であることに注意しよう。例えば順序数 α が L では基数になっていたとしても、V で基数になっているとは限らない。一方、κ が到達不能基数ならば、κは L においても到達不能基数になる。よって L はZFC+V =L+“到達不能基数が存在する”のモデルとなり、よって理論ZFC+“到達不能基数が存在する”が無矛盾ならばZFC+V =L+“到達不能基数が存在する” も無矛盾であることがわかる。この事情はマーロ基数においても同様である。

３）P35 1.3 可測基数 巨大基数理論の中でもっとも重要であり、よく研究されてきた可測基数を紹介する。
　定理（Scott） 可測基数が存在するならば V ≠L である。実際、可測基数κが存在するならば、V の不可算基数は（ℵ1, ℵω などすら）Lの中ではマーロ基数などの巨大基数になっていることがわかっており、したがって可測基数の存在はLがV に比べて果てしなく薄いクラスであることを保証してしまう。

４）P36 2. 無矛盾性の強さの階層 さて、これらさまざまな巨大基数のうち、いちばん「小さい」到達不能基数ですら、通常のZFCの範囲を超えた存在である。到達不能基数が存在するとして、そのうち最小のものをκとすれば、そこまでの累積階層Vκ だけでもZFC のすべての公理を満たす。しかもκ の最小性により、Vκ は“到達不能基数は存在しない” という命題のモデルにもなっている。ということは、とりもなおさずZFCからは到達不能基数の存在が証明できない。

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%96%84%E8%91%89%E5%AD%A3%E8%B7%AF
薄葉 季路（うすば としみち）は、日本の数学者。早稲田大学基幹理工学部数学科教授。
専門は公理的集合論で、日本数学会賞建部賢弘賞を受賞。
人物・経歴
2001年東京学芸大学教育学部卒業[1]。
2003年に名古屋大学大学院情報科学研究科計算機数理科学専攻後期課程に総代で進学し、2008年同修了、博士（情報科学）[2][3]、東北大学大学院理学研究科教育研究支援者、山形大学理学部・教育学部非常勤講師。
2009年ライン・フリードリヒ・ヴィルヘルム大学ボンハウスドルフ数学センター （ HCM ）博士研究員。
2010年名古屋大学高等研究院特任助教。2013年神戸大学自然科学系先端融合研究環重点研究部助教。
2014年度日本数学会賞建部賢弘賞受賞。2016年早稲田大学基幹理工学部数学科准教授。
2021年早稲田大学基幹理工学部数学科教授。
専門は公理的集合論[1]。

>>539
>到達不能基数が存在するとして、そのうち最小のものをκとすれば、そこまでの累積階層Vκ だけでもZFC のすべての公理を満たす。
だけでもってことは同じくZFCのモデルであるVはもっと巨大ってことじゃん。君の持論 V⊂Vκ はまたまた否定された。
瀬田爺、妄想の裏付けにまたしても失敗。瀬田爺の理解力の無さがまたしてもあばかれた。

瀬田爺が奇妙かつ不要な宣言をしたのは
>>強力と言えるのは、フルパワー選択公理と置換公理くらいよｗ（＾＾
>置換公理がどう強力か自分の言葉で説明してみて。
をごまかすため。
ごまかさずに説明してごらん。君がその口で言ったんだろ？置換公理は強力だと

>>538
ですね

（基数には絶対性がなく順序数には絶対性があるのにね）

そもそも基数列は決定不能。実際GCHはZFCから独立だからアレフ1＝可算順序数全体の集合ω1が何者であるかZFCからは決定できない。例えばZFC+CHならω1=2^ω。
基数は、特に巨大基数はそれが持つ性質によって定義される。その性質が成立するか否かはモデルに依存する。
ノイマン宇宙Vにおいてある順序数λがある基数の性質を持っていたとして、λが構成可能宇宙Lにおいて同じ性質を満たす保証は無い。

ぶちのめすための
棍棒が落ちていたので貼るｗ（＾＾
東京理科大だって
ノーベル賞大学

(参考)
https://ryoya9826.github.io/
Ryoya ANDO
https://ryoya9826.github.io/miscellaneous/zfcu/
ZFC+Uのおはなし (An Invitation to ZFC+U)
Published in 2021年度 東京理科大学理工学部数学科 大橋研究室卒業論文集, January 2022. Link: PDF
Citation: 安藤遼哉 (2022) 「ZFC+U のおはなし」，『2021 年度 東京理科大学理工学部数学科 大橋研究室卒業論文集』，101–158 頁
https://ryoya9826.github.io/files/note/ZFC+U.pdf
ZFC+U のおはなし
安藤遼哉∗ 2022 年1月31日
∗ 東京理科大学理工学研究科数学専攻修士課程２年
はじめに[松坂68]における集合の濃度，順序数の定義は素朴には理解しやすい．しかし「集合全体」を「同値関係で割る」という議論は（公理的）集合論的にはアヤシイを通り越してやってはいけない議論である．本稿は公理的集合論入門と銘打って，集合論的に問題のない濃度の定義を紹介するものである．その後筆者の時間が許す限り可換代数について公理的集合論と関係する話題，すなわち選択公理と同値な命題群の紹介やGrothendieck宇宙の話などを述べたい．本稿で引用した数々の文献について，年代が古いものが多いことからインターネット上であっても原文を見つけるのが困難な作品も少なくないが，引用したもののうち[Pea91],[Zer04],[Zer08], [Fra22a], [Sko22], [Neu23], [Neu25] については [Hei66] に英訳が収録されていることを注意しておく．

目次公理的集合論入 . . 1
§ 1 公理系ZF
§ 2 選択公理
§ 3 順序数
§ 4 順序数と正則性公理
§ 5 選択公理と同値な命題群
§ 6 Tychonoffの定理
§ 7 PITと制限されたTychonoffの定理
§ 8 選択公理と加群論
付録—Grothendiec 宇宙. . . . 45
§ A 圏とGrothendieck宇宙
§ B 強到達不能基数
§ C宇宙公理の同値性

ぶちのめされたことにも気付けないとは

で、いつになったら
>>強力と言えるのは、フルパワー選択公理と置換公理くらいよｗ（＾＾
>置換公理がどう強力か自分の言葉で説明してみて。
に答えるの？

で、いつになったら
君の持論 V⊂Vκ のソース出るの？

>>539　>>545
＞ぶちのめす
＞棍棒

到達不能基数は「任意の基数」よりも大きい　とかいう発言は、
自分の２つのコメカミ間を貫通した「ロシアンルーレット」の弾丸

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%82%B7%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%83%E3%83%88

>>539
>しかもκ の最小性により、Vκ は“到達不能基数は存在しない” という命題のモデルにもなっている。ということは、とりもなおさずZFCからは到達不能基数の存在が証明できない。
κ+1をκの後続順序数とすると、Vκ∈2^Vκ=Vκ+1、Vκ+1は推移的集合だから Vκ⊂Vκ+1、つまり Vκ+1 もZFCのモデル。かつ κ∈Vκ+1。
瀬田爺の持論「ZFCのモデルはZFCから存在証明可能な集合のみを持つ。」から「ZFCからは到達不能基数の存在が証明できる。」が帰結される。
笑えるなｗ

仮に「Vκ⊂Vκ+1 だからといって Vκ+1 もZFCのモデルとは言えない。」と主張するなら、R^2をユークリッド幾何学のモデルとして認めるのはダブスタ。
はい、瀬田爺はまたしてもぶちのめされました。
瀬田爺をぶちのめすのに棍棒は不要。論理があれば十分。

>>545
Ryoya ANDO 安藤遼哉
数学DRか

この修論PDFで、おサルと (ですね)人
の二人ともツンダな
DR安藤遼哉ありがとう！（＾＾

(参考)
https://ryoya9826.github.io/cv/
Ryoya ANDO 安藤遼哉
CV
Education
Apr 2022 – Mar 2026 : Doctoral Program in Mathematics, Faculty of Science and Technology, Tokyo University of Science
Doctor of Science, March 2026
Supervisor: Hisanori Ohashi
Thesis: On Homological Algebra for Commutative Rings without Noetherian Conditions

Apr 2020 – Mar 2022 : Master’s Program in Mathematics, Faculty of Science and Technology, Tokyo University of Science
Master of Science, March 2022

Apr 2016 – Mar 2020 : Bachelor’s Program in Mathematics, Faculty of Science and Technology, Tokyo University of Science
Bachelor of Science, March 2020

君、とっくに詰んでることに気付いてなかったのか
地頭悪いね

>>546
滑稽ですよね

>>549
彼の人は嘘しか吐かないので
彼の人の言う棍棒は
実のところは爪楊枝なのでしょう

この人の
>しかし「集合全体」を「同値関係で割る」という議論は（公理的）集合論的にはアヤシイを通り越してやってはいけない議論である．
これだけど
NBGならVは整列（≦）できるから
V/R={x::∀y:(x,y)∈R→x≦y}
として何の問題も無く定義できるよな

「割る」を「同値類の集合を取る」という意味にするのは
通常の集合上の同値関係なら一般的（スマート）なんだけど
ACを仮定して「同値類の代表元を取る」方が分かりやすい
ただし取り方が確定しないという嫌いがあるのは論を俟たない
しかし整列していれば最小元を取ることで確定させられるので
普遍的な整列順序があれば「同値類の集合を取る」のと「同値類の代表元を取る」のとは
どっちがスマートであるともないとも言う必要が無くなって
V/Rの定義には代表元を使うことで「クラスの集まり」のようなメタなものを導入する必要が無くなるわけだ
NBGにGAoCを含めるべきなのはこういうことからかもね

スコットのトリックを用いればGAoC不要

>>556-558
みんな詳しいね
下記だね（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
定義
整列集合
(A,<)に対して、
Aを定義域とする写像
GA,< を超限帰納法によって
GA,<(a)={GA,<(x)|x<a}
と定義したとき、
GA,< の値域
ran(GA,<) を
(A,<) の順序数といい、これを
ord(A,<) と表記する。
ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
脚注
2^ 本項目では、各自然数が自分自身より小さな自然数全体の集合と等しくなるような仕方で自然数が定義されているものとする。例えば、0 = ∅ , 1 = { 0 } , 2 = { 0, 1 } である。
順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という “同値関係” によって類別したとき、順序集合 (A, <) の “同値類” を (A, <) の順序型 (order type) と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
順序型（じゅんじょがた、order type）とは、順序集合（特に全順序集合や整列集合）同士の構造を比較するために、同型という観点からその構造のみに注目することによって得られる概念である[1]。
定義
略
前述の素朴な説明では (※) の性質を満たすような「型」の正体が不明であるため、集合論的に順序型 type(A, <A) を厳密に定義する必要がある。このとき、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義するアプローチが考えられるが、A が空集合でない限り、同型な順序集合の集まりは大きすぎて真のクラスとなり、（集合論の公理の枠組みにおいては）集合として扱うことができない。

この問題を回避し、同値類を適切な集合として定義するために、同型な順序集合のうちで階数が最小のものだけを集めて集合とする手法（スコットのトリック、Scott's trick[2]）が用いられる。すなわち、順序型は次のように定義される。

注
1^ 一般に、任意の集合上の二項関係に対しても同様に順序型を定義することができる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number

>>556-559
(引用開始)
>しかし「集合全体」を「同値関係で割る」という議論は（公理的）集合論的にはアヤシイを通り越してやってはいけない議論である．
これだけど
NBGならVは整列（≦）できるから
V/R={x::∀y:(x,y)∈R→x≦y}
として何の問題も無く定義できるよな
(引用終り)

そうそう そこ かなり同意で
そして NBGが ZFCの保存拡大であるを認めると

順序数の全ては ZFC内で定義される
　↓
順序数∀α は、ZFC内
　↓
ステージ Vαも、ZFC内
　↓
ノイマン宇宙 V＝∪α Vα は、ZFC内のVαを集めたもの■

もし 到達不能基数κにおいて ∀α ＜ κ を認めると
κは基数であるから
V＝∪α Vα ⊂ Vκ（等号を含む）■

>>560
>順序数の全ては ZFC内で定義される
大間違い。

任意の集合xに対してその部分集合全体の集合は2^xで構成できる。
しかしxの部分集合のすべてが定義されたことにはならない。
実際、定義するための論理式はたかだか可算個だが、xが最小の無限集合である可算集合の場合でさえその部分集合は非可算個。
しかしxの部分集合のすべてが定義されないとしても2^xは唯一無二のはず？
いやいやそもそも2^xは∀y:(y⊂x⇒y∈2^x)で定義され、そもそも議論領域にどのようなyが存在するかはモデルに依存するので、実は2^xの正体もモデルに依存する。
つまりべき集合を構成できるからといって、部分集合全体のセットが唯一特定されるとは言えない。

全く同じ理屈で
>順序数の全ては ZFC内で定義される
も大間違い。
よってそこからの帰結
>ノイマン宇宙 V＝∪α Vα は、ZFC内のVαを集めたもの
も大間違い。

>>559
>A が空集合でない限り、同型な順序集合の集まりは大きすぎて真のクラスとなり、（集合論の公理の枠組みにおいては）集合として扱うことができない。
>同型な順序集合のうちで階数が最小のものだけを集めて集合とする手法（スコットのトリック、Scott's trick[2]）が用いられる。
スコットのトリックを用いるとなぜ真クラスとなる問題が解消されるか、理解できてる？

>実は2^xの正体もモデルに依存する
もしそうなら2^xの正体があやふやで2^xを用いた証明において困るのではないかって？
実は困らない。一階述語論理は健全である、すなわち一階述語論理上の任意の理論の任意の定理はその理論の任意のモデルで充足される、ことがメタ数学において証明されている。つまり定理（証明された命題）は任意のモデルで真であることが保証されている。
だからモデル依存があっても証明においてまったく困らない。
一階述語論理はこの良き性質を持つ。このような背景を理解せず軽々しく他の論理を持ち出すことなかれ。

>>561
(引用開始)
>順序数の全ては ZFC内で定義される
大間違い。
任意の集合xに対してその部分集合全体の集合は2^xで構成できる。
しかしxの部分集合のすべてが定義されたことにはならない。
実際、定義するための論理式はたかだか可算個だが、xが最小の無限集合である可算集合の場合でさえその部分集合は非可算個。
しかしxの部分集合のすべてが定義されないとしても2^xは唯一無二のはず？
いやいやそもそも2^xは∀y:(y⊂x⇒y∈2^x)で定義され、そもそも議論領域にどのようなyが存在するかはモデルに依存するので、実は2^xの正体もモデルに依存する。
つまりべき集合を構成できるからといって、部分集合全体のセットが唯一特定されるとは言えない。

全く同じ理屈で
>順序数の全ては ZFC内で定義される
も大間違い。
よってそこからの帰結
>ノイマン宇宙 V＝∪α Vα は、ZFC内のVαを集めたもの
も大間違い。
(引用終り)

すごく混乱していると思うのは私だけ？
・いま 2026年現在 数学基礎論と 一般数学は別物で 分かれているのが厳然たる事実
・その中で 一般数学は 集合論の部分は 数学基礎論のZFCで 一応納得できる 成果が得られていると理解している
・但し、圏論は別。一般数学者は ZFCでは不足で グロタンディーク宇宙Uが必要だと
・グロタンディーク宇宙Uは、基礎論屋からは Vκ κは到達不能基数 と同義だと

さて、上記のあなたの議論で 混乱しているところ
１）”任意の集合xに対してその部分集合全体の集合は2^xで構成できる。
　しかしxの部分集合のすべてが定義されたことにはならない。”
　がイミフ
２）”つまりべき集合を構成できるからといって、部分集合全体のセットが唯一特定されるとは言えない”
　がイミフ
３）”>順序数の全ては ZFC内で定義される
　も大間違い。”
　がイミフ
４）”>ノイマン宇宙 V＝∪α Vα は、ZFC内のVαを集めたもの
　も大間違い。”
　がイミフ

ポイントだけ つつくよ
・”>順序数の全ては ZFC内で定義される 　も大間違い。”
　これは ペアノ公理で 個々の任意自然数nが定義できることと
　ペアノ公理では、自然数全体集合Nの存在が立証できないことの
　混同に似ている
・同じ理屈で 個々の順序数αは ZFC公理で定義（＝証明）できる
　が、順序数αを全て集めたものの存在は立証できない ことの
　混同に似ている
　補足：ノイマン宇宙 V＝∪α Vαを 立証できないが、
　考えることはできる。考えることはできるが それはクラス（ZFCの外）
　順序数αを全て集めたものがクラスだから ZFC内ではノイマン宇宙 V＝∪α Vαもクラス
　しかし、ZFC公理を拡張すれば ノイマン宇宙 V＝∪α Vαを 集合扱いできる
　それが 到達不能基数κであり Vκである■

あとはゴミだから流す

>>564
>すごく混乱していると思うのは私だけ？
でしょうね、たぶん

>・いま 2026年現在 数学基礎論と 一般数学は別物で 分かれているのが厳然たる事実
>・その中で 一般数学は 集合論の部分は 数学基礎論のZFCで 一応納得できる 成果が得られていると理解している
>・但し、圏論は別。一般数学者は ZFCでは不足で グロタンディーク宇宙Uが必要だと
そもそもZFCのモデルの構成はZFCでは不足。それが完全性定理と不完全性定理からの帰結。
圏論では真クラスとしてのZFCモデルは扱いづらいので集合としてのZFCモデルが欲しい。それがグロタン宇宙を考える動機。

>・グロタンディーク宇宙Uは、基礎論屋からは Vκ κは到達不能基数 と同義だと
V0、Vωもグロタン宇宙だから間違い。

>さて、上記のあなたの議論で 混乱しているところ
初歩が分かってない君が混乱してるだけ。

>１）”任意の集合xに対してその部分集合全体の集合は2^xで構成できる。
>　しかしxの部分集合のすべてが定義されたことにはならない。”
>　がイミフ
初歩が分かってない君が理解できないだけ。

>２）”つまりべき集合を構成できるからといって、部分集合全体のセットが唯一特定されるとは言えない”
>　がイミフ
初歩が分かってない君が理解できないだけ。

>３）”>順序数の全ては ZFC内で定義される
>　も大間違い。”
>　がイミフ
初歩が分かってない君が理解できないだけ。

>４）”>ノイマン宇宙 V＝∪α Vα は、ZFC内のVαを集めたもの
>　も大間違い。”
>　がイミフ
初歩が分かってない君が理解できないだけ。

>ポイントだけ つつくよ
>・”>順序数の全ては ZFC内で定義される 　も大間違い。”
>　これは ペアノ公理で 個々の任意自然数nが定義できることと
>　ペアノ公理では、自然数全体集合Nの存在が立証できないことの
>　混同に似ている
根本から分かってない。
ペアノの公理は二階述語論理上の理論であってそのモデルNは範疇的だからそもそも「モデル依存問題」自体が無い。
また理論のモデルの存在証明はメタ理論によって可能。実際Nは集合論で存在証明可能。
尚、ペアノ算術は一階述語論理上の理論であってレーヴェンハイムスコーレムの定理より非可算モデルを持ち、そこではやはり「任意の元は定義可能」が成立しない。
ちなみにペアノ算術の言語で「xは標準自然数」という述語は書けない。仮に書けるなら「すべての元は標準自然数」を数学的帰納法で証明できレーヴェンハイムスコーレムの定理と矛盾する。
つまり無限大自然数はメタ視点での見え方であって理論内視点では標準自然数と区別が付かない。

>・同じ理屈で 個々の順序数αは ZFC公理で定義（＝証明）できる
できない理由を書いたのに無視したってことは君には呪文か何かのように見えて響かなかったということ。
初歩から勉強して下さいとしか言い様が無い。

>　が、順序数αを全て集めたものの存在は立証できない
順序数全体のクラスは真クラスだからZFCから存在証明不可能。

>　ことの混同に似ている
ど素人の妄想。

>　補足：ノイマン宇宙 V＝∪α Vαを 立証できないが、
>　考えることはできる。考えることはできるが それはクラス（ZFCの外）
>　順序数αを全て集めたものがクラスだから ZFC内ではノイマン宇宙 V＝∪α Vαもクラス
>　しかし、ZFC公理を拡張すれば ノイマン宇宙 V＝∪α Vαを 集合扱いできる
大間違い。
ZFCのいかなる拡大理論でもVは真クラス。
この理由も何度も書いたのに無視したってことは君には呪文か何かのように見えて響かなかったということ。
初歩から勉強して下さいとしか言い様が無い。

>　それが 到達不能基数κであり Vκである■
大間違い。
到達不能基数κが存在するならκは基数であり基数は順序数だからVの定義よりVκはひとつのV階層、すなわち Vκ⊂V。
対偶より ¬Vκ⊂V ならば到達不能基数κは存在しない。
つまり君の持論 ¬Vκ⊂V から「到達不能基数は存在しない」が帰結される。ならば巨大基数公理も否定しないとダブスタですぞ。

>あとはゴミだから流す
では数学板から君の存在を流すべき。ジャーーー

>>564
>すごく混乱していると思うのは私だけ？

そう、素人の◆yH25M02vWFhP だけ

>いま 一般数学は ZFCで 一応納得できる成果が得られている
>但し、圏論は別。
>一般数学者は ZFCでは不足で グロタンディーク宇宙Uが必要

理由、わかってる？
大きい圏がクラスだからだよ

>グロタンディーク宇宙Uは、Vκ κは到達不能基数 と同義

なぜだかわかる？

ZFC＋Uの集合（クラスではない！）Vκは、ZFCのモデルになるからだよ
したがって集合論ZFCでは大きい圏（クラス）となるものも
集合論ZFC＋Uでは集合Vκの部分集合として扱える

でもZFC＋Uの宇宙（当然クラス）VはVκより大きい

それ、わからずに混乱して、
ZFCのVとZFC＋Uの集合Vκの包含関係を
考えるのは、集合論素人の◆yH25M02vWFhP だけ

>>564
>さて、>>561の議論で 混乱しているところ

>”任意の集合xに対してその部分集合全体の集合は2^xで構成できる。
>しかしxの部分集合のすべてが定義されたことにはならない。”
>がイミフ

それじゃ集合論は無理　諦めよう　素人君

>”つまりべき集合を構成できるからといって、
>部分集合全体のセットが唯一特定されるとは言えない”
>がイミフ

それじゃ集合論は無理　諦めよう　素人君

>””順序数の全ては ZFC内で定義される”も大間違い。”
>がイミフ

それじゃ集合論は無理　諦めよう　素人君

>””ノイマン宇宙 V＝∪α Vα は、ZFC内のVαを集めたもの”も大間違い。”
>がイミフ

それじゃ集合論は無理　諦めよう　素人君

>>564
ポイントだけ つつき返す

>””順序数の全ては ZFC内で定義される”も大間違い。”
>これは ペアノ公理で 個々の任意自然数nが定義できることと
>ペアノ公理では、自然数全体集合Nの存在が立証できないことの
>混同に似ている
>同じ理屈で 個々の順序数αは ZFC公理で定義（＝証明）できるが
>順序数αを全て集めたものの存在は立証できない ことの
>混同に似ている

全然、似てません

むしろ、
「自然数の全てが、ペアノ公理に基づく自然数論で証明されるものに限られる」
が大間違いというのと同じです

自然数論でも集合論でも標準モデルの元は
理論で証明されるものに限られるかもしれないが
標準モデルだけがモデルではありません

スコーレム・レーヴェンハイムの定理が分かってない素人さん
ざんね〜ん

>補足：
>ノイマン宇宙 V＝∪α Vαを 立証できないが、考えることはできる。
>考えることはできるが それはクラス（ZFCの外）

そのくらいのことは素人でも知ってるんだね

>順序数αを全て集めたものがクラスだから
>ZFC内ではノイマン宇宙 V＝∪α Vαもクラス
>しかし、ZFC公理を拡張すれば
>ノイマン宇宙 V＝∪α Vαを 集合扱いできる
>それが 到達不能基数κであり Vκである■

ああ、全然違う

ZFCでは、ZFCのモデルとなる集合が必ず存在するとはいえないが
ZFC＋Uなら、ZFCのモデルとなる集合が必ず存在する

しかしそれはVそのものではなく"ZFCのモデル"　それがVκ
ZFC＋UのVは当然Vκを含むクラス

これ豆な

素人のウソは全部💩だから流すよ　ジャー

理論から存在証明可能な対象はモデル内に存在しなければならない。
理論から存在反証可能な対象はモデル内に存在してはならない。
理論から独立な対象はモデル内に存在してもしなくてもよい。
上記３つともモデルの定義から自明。

無限大自然数の存在はペアノ算術から独立。実際、上で書いた通りペアノ算術には「xは無限大自然数」:=¬「xは標準自然数」なる述語は存在しない。
よって無限大自然数が存在しない標準モデルも存在する超準モデルも許される。

一方ペアノの公理には標準モデルしか存在しない。実際、最小モデルである標準モデル以外のいかなる構造も数学的帰納法を充足しない。

とまあいくら述べてもイミフの一言で片づけられそう
だって無教養な彼には呪文か何かにしか聞こえず右の耳から左の耳へ素通りするだけだからね

キビシー

タケモトピアノ♪

(到達不能基数κは基数すなわち順序数なので∀α ＜ κは成り立たないのにね)

(理論とモデルをごっちゃにしてるみたい)

>>566
(引用開始)
>ポイントだけ つつくよ
>・”>順序数の全ては ZFC内で定義される 　も大間違い。”
>　これは ペアノ公理で 個々の任意自然数nが定義できることと
>　ペアノ公理では、自然数全体集合Nの存在が立証できないことの
>　混同に似ている
根本から分かってない。
ペアノの公理は二階述語論理上の理論であってそのモデルNは範疇的だからそもそも「モデル依存問題」自体が無い。
また理論のモデルの存在証明はメタ理論によって可能。実際Nは集合論で存在証明可能。
尚、ペアノ算術は一階述語論理上の理論であってレーヴェンハイムスコーレムの定理より非可算モデルを持ち、そこではやはり「任意の元は定義可能」が成立しない。
ちなみにペアノ算術の言語で「xは標準自然数」という述語は書けない。仮に書けるなら「すべての元は標準自然数」を数学的帰納法で証明できレーヴェンハイムスコーレムの定理と矛盾する。
つまり無限大自然数はメタ視点での見え方であって理論内視点では標準自然数と区別が付かない。
(引用終り)

大混乱している
下記 ペアノ公理 英語版を百回音読しよう！ｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
Peano axioms
(google訳)
ペアノの公理
歴史的二次定式化
ペアノが公理を定式化した当時、数理論理学の言語はまだ黎明期にあった。
ペアノの原典では、帰納法の公理は二階述語論理の公理である。現在では、この二階述語論理の原理をより弱い一階述語論理の帰納法に置き換えるのが一般的である。二階述語論理と一階述語論理の定式化には重要な違いがあり、これについては後述の「 一階理論としてのペアノ算術」の節で論じる。

ペアノ算術を一次理論として捉える
ペアノの公理のうち、第 9 公理 (帰納公理) を除くすべては、一階述語論理の命題です。[ 24 ]
上記の帰納公理は、述語 (自然数ではなく自然数の集合) を量化しているため、二階述語論理です。代替案として、一階述語論理の帰納公理図式を考えることができます。このような図式は、ペアノ算術の一階述語論理で定義可能な述語ごとに 1 つの公理を含み、二階述語論理の公理よりも弱くなります。[ 25 ]弱い理由は、一階述語論理の述語の数は可算であるのに対し、自然数の集合の数は不可算であるためです。したがって、一階述語論理で記述できない集合が存在します (実際、ほとんどの集合はこの性質を持っています)。

決定不能性と不完全性
ゲーデルの不完全性定理によれば、 PA理論は（矛盾がなければ）不完全である。したがって、PAの標準モデルでは真であるが、一階述語論理（FOL）の公理化の結果ではないFOLの文が存在する。ロビンソン算術のような、より弱い公理を持つ理論においても、本質的な不完全性は既に生じている。

つづく

つづき

非標準モデル
メイン記事：算術の非標準モデル
通常の自然数はPAの公理を満たしますが、他のモデル (「非標準モデル」と呼ばれる) も存在します。コンパクト性定理は、非標準要素の存在が一階述語論理では排除できないことを示唆しています。[ 28 ]上向きのLöwenheim–Skolem の定理は、すべての無限濃度の PA の非標準モデルが存在することを示しています。これは、同型を除いて 1 つのモデルしか持たない元の (2 階) Peano 公理には当てはまりません。[ 29 ]これは、一階システム PA が 2 階 Peano 公理よりも弱い方法の 1 つを示しています。

Responses and reactions
Bertrand Russell in his Introduction to Mathematical Philosophy criticized this formulation of arithmetic.[32] His argument(s) for this criticism revolve around the ambiguity of logical interpretation; he proposes that the Peano axioms have an infinite amount of plausible interpretations, rendering Peano's arithmetization of mathematics incomplete.
(引用終り)
以上

>>577補足
>大混乱している
>下記 ペアノ公理 英語版を百回音読しよう！ｗ（＾＾

＜ポイント＞
１）ペアノ公理は、歴史的には２階だが
　その後 一階述語論理化が行われた（二階限定と考えるのが誤り）
２）一階述語論理の場合に、標準モデルと 非標準モデルが存在する
　（上向きのLöwenheim–Skolem）
３）が、標準モデルと 非標準モデルとを
　ごちゃ混ぜ チャンポンはダメ！ 絶対！！ｗ（＾＾

>>579 追加

ホイヨ
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_model_of_arithmetic
Non-standard model of arithmetic
(google訳)
非標準算術モデル
数理論理学において、非標準算術モデルとは、非標準数を含む一階ペアノ算術モデルのことである。標準算術モデルとは、標準自然数0, 1, 2, … を指す。ペアノ算術モデルの要素は線形に順序付けられており、標準自然数と同型な初期セグメント を持つ。非標準モデルとは、この初期セグメントの外側に要素が追加されているモデルのことである。このようなモデルの構築は、トーラルフ・スコレム(1934) によるものである。

非標準的な算術モデルは、ペアノ公理の1階定式化に対してのみ存在します。元の2階定式化に対しては、同型を除いて、自然数自体という1つのモデルしかありません。[ 1 ]
略す

>>577
>大混乱している
それが君。具体的指摘が皆無なのがその証拠。コピペだけならサルでもできる。

>>581
◆yH25M02vWFhP は文章を論理的に読み解くことができないので
自分の言葉で書き直すことができず、他人の文章をコピペして百遍音読を繰り返すしかない

だったら数学板に一切書き込まなければいいのに　なにがしたいんだか

>>579
>１）ペアノ公理は、歴史的には２階だが
>　その後 一階述語論理化が行われた（二階限定と考えるのが誤り）
大嘘。
ペアノの公理は二階理論、ペアノ算術は一階理論。

>２）一階述語論理の場合に、標準モデルと 非標準モデルが存在する
>　（上向きのLöwenheim–Skolem）
だからそう言ってるのに。君、相変わらずストローマン論法しかできんね。

>３）が、標準モデルと 非標準モデルとを
>　ごちゃ混ぜ チャンポンはダメ！ 絶対！！ｗ（＾＾
どこをどう誤読すればそんなトンチンカンなことが言えるの？　君、日本語読めないの？　なら小学校の国語からやり直し。

嘘とストローマン論法と誤読と自己愛。
瀬田爺は頭も性格も悪い。控えめに言って人間のクズ。

瀬田爺は重度NPD患者なので自分が勝つことが大前提になっている。
だから彼のレスには嘘とストローマン論法とトンチンカンなコピペしか無い。でないと勝った体にならないから。
しかしあくまで体にすぎず実際は大敗。愚かなり。

瀬田爺がさぼってる宿題

>>532
>>強力と言えるのは、フルパワー選択公理と置換公理くらいよｗ（＾＾
>置換公理がどう強力か自分の言葉で説明してみて。

548
>で、いつになったら
>君の持論 V⊂Vκ のソース出るの？

>>562
>>A が空集合でない限り、同型な順序集合の集まりは大きすぎて真のクラスとなり、（集合論の公理の枠組みにおいては）集合として扱うことができない。
>>同型な順序集合のうちで階数が最小のものだけを集めて集合とする手法（スコットのトリック、Scott's trick[2]）が用いられる。
>スコットのトリックを用いるとなぜ真クラスとなる問題が解消されるか、理解できてる？

もう一つ宿題を出そう。
>>535
>最小の到達不能基数κが存在するなら、基数である以上基数列のどこかに居るはず、すなわち何らかの順序数χが存在して κ=アレフχ であるはず。
>κは極限基数であり仮にχ<κならκが正則基数であることと矛盾するので κ=アレフκ。
κ=アレフκ である理由を理解できたかい？できたなら自分の言葉で説明してごらん。

本当に滑稽なことといえばコピペに費やした時間で何も学ばなかった、ということ。

>>580 追加
圏論から、棍棒を追加するｗ
・斎藤恭司先生のまえがき1と2は、格調高い。百回音読の価値あり！
・第3章集合論 歴史：まあ、ここではZFCの前 Cantorの集合論ベースだが
・アマゾン レビューでは 「一階述語論理言語とZFC（＋ZFCによって表現される圏の公理）＋到達不能基数公理」とある

(参考)
https://www.maruzen-publishing.co.jp/book/b10112149.html
ベーシック圏論 Leinster 土岡俊介訳 斎藤恭司監修 丸善2017

https://i.imgur.com/vqJ8CtC.jpeg
斎藤恭司まえがき1 ベーシック圏論 Leinster 土岡俊介訳2017
”「上部構造の論理を取り扱う言語」圏論”

https://i.imgur.com/3OUULs9.jpeg
斎藤恭司まえがき2 ベーシック圏論 Leinster 土岡俊介訳2017
”Kontsevichによるホモロジカル鏡像対称性予想”
”もはや圏なしには命題を述べることすらできない”
”以上を踏まえると，これから数学を学ぶものにとって圏論は必須項目であると思う”

https://i.imgur.com/PrpBQuv.jpeg
第3章集合論 歴史 ベーシック圏論 Leinster 土岡俊介訳2017
”Cantorの集合論”
”今日では, Cantor､の仕事の基礎はほとんどすべての学部相当の数学科のシラバスにみることができる．”

<アマゾンレビュー>
目玉焼き
第3章は読み飛ばしてもいいが…20200111
この本は議論を絞り，圏論の発想法として顕著なものを初学者に向けて説明したものです
多くの人にとっては，圏は集合と同じくツールであり，研究対象そのものではないですから，「扱い方」を学ぶことが目的となります．その意味で，他の方のレビューにもあるように，この本は優れた誘導を行っていると言えるでしょう

さて，圏論をツールとして用いるだけなら，第3章は必要ありませんが，他の方のレビューをみるに，少なからず読解力不足による誤解があるようです．
第３章に循環論法などありません（少なくとも訳者の注釈によっても誘導されています）

マクレーンがうるさく言っていたように，「数学の基礎づけ」を行う方法論として，圏の発明以後では，公理的集合論（例えばZFC）による方法と，圏による方法のどちらを採用しても現在の数学の形式化を行うのに充分すぎる表現力を持っているということを説明しているのです

もう少し正確に言えば，標準的な圏論による数学の基礎付けの方法論は，メタ言語として「古典論理の一階述語論理」を，形式の構造を「一階述語論理言語と圏の公理（＋圏の公理によって表現される集合の公理）＋グロタンディーク宇宙」としていますが，公理的集合論による同程度の強さになる基礎づけの方法は，メタ言語は同じく「古典論理の一階述語論理」として，形式の構造を「一階述語論理言語とZFC（＋ZFCによって表現される圏の公理）＋到達不能基数公理」としているわけです

どちらも現在の数学をその中で展開するのに十分すぎるほど強力な表現力を持っていて，前者・後者のいづれか一つを仮定すればもう一方は導けるわけです．だから，見かけの表現は異なるけれど，どちらを前提にしても構いませんよという意味になります
公理的集合論を前提として圏論を構成することも当然にできるし，多くの圏論の本でやっているように，（集合論を仮定せずに）圏論から集合論の公理を表現して見せることもできるわけです

>>588
で？　何が言いたいの？
自分が言いたいことすらまともに書けないの？　じゃあ小学校からやり直そう

>・斎藤恭司先生のまえがき1と2は、格調高い。百回音読の価値あり！
完全性定理も不完全性定理も理論もモデルも論理式も何もかもちんぷんかんぷんな君に価値を判断出来る訳無いじゃん　頭大丈夫？

到達不能基数κはもちろん順序数
すなわち∈について整列している推移的「集合」

圏論はNBGで定義するのが普通
そこでは普通にクラスが実体を持って登場し
矛盾が起こらないよう慎重に構成を考えている

>>590
>到達不能基数κはもちろん順序数
>すなわち∈について整列している推移的「集合」

・ノイマンの基数割り当てを用いると、到達不能基数κも順序数だ
・だが、単純なZFC公理系では κは 証明できない（巨大基数公理要）
・ゆえに、κは ZFC順序数の外。つまり、ZFC順序数より大

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_ordinal
Limit ordinal
(google訳)
極限順序数
極限順序数とは、ゼロでも後続順序数でもない順序数のことである。言い換えれば、順序数λが極限順序数であるとは、λより小さい順序数が存在し、βがλより小さい順序数であるときはいつでも、β < γ < λとなる順序数γが存在することを意味する。すべての順序数は、ゼロ、後続順序数、または極限順序数のいずれかである。

フォン・ノイマンの順序数の定義を用いると、すべての順序数は、それより小さいすべての順序数の整列集合である。したがって、最大要素を持たない空でない順序数の集合の和集合は、常に極限順序数となる。フォン・ノイマンの基数割り当てを用いると、すべての無限基数もまた極限順序数となる。

>>591
>圏論はNBGで定義するのが普通
>そこでは普通にクラスが実体を持って登場し
>矛盾が起こらないよう慎重に構成を考えている

・圏論用の集合論で有名なのが>>410より 再録
「タルスキ＝グロタンディーク集合論」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%EF%BC%9D%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
タルスキ＝グロタンディーク集合論（Tarski–Grothendieck set theory、略称 TG）は、数学者 アルフレト・タルスキ と アレクサンドル・グロタンディーク にちなんで名付けられた公理的集合論の体系である。ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大であり、「各集合に対しそれが属する『タルスキ宇宙』が存在する」と述べるタルスキの公理を含む点で、他の公理的集合論と区別される（後述）。タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
タルスキの公理は「すべての集合があるタルスキ宇宙に属する」ことを述べている。タルスキ宇宙が推移的集合であれば、それはまた グロタンディーク宇宙 でもある[7]。逆に選択公理を仮定すれば、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙である（すなわちタルスキの公理を満たす）[8]。
集合 u は s にとっての「普遍集合」のように見える。

・>>411より
https://de.wikipedia.org/wiki/Grothendieck-Universum
Grothendieck-Universum
(google英訳)
Grothendieck universe
Inaccessible cardinal numbers
For a set U, the following properties are equivalent:
・U is a Grothendieck universe
・There exists an inaccessible cardinal number κ such that one—and therefore all—of the following equivalent properties hold:
・κ ⊆ U and for every set X ⊆ U applies: X ∈ U ⇔ ⊆card(X) < κ
・U = V_κ (see von Neumann hierarchy)
・U = H_κ = {x｜card(TC(x)) < κ} (see transitive set)[2]
This κ is precisely the cardinality of U.

(google英訳の和訳)
グロタンディーク宇宙
到達不能基数
集合 U に対して、以下の性質は同値である。
・U はグロタンディーク宇宙である。
・ある到達不能基数 κ が存在し、それに対して以下の同値な性質のいずれか（したがってすべて）が成り立つ。
・κ ⊆ U であり、かつ U の任意の集合 X に対して、X ∈ U ⇔ ⊆card(X) < κ が成り立つ。
・U = V_κ （フォン・ノイマン階層を参照）
・U = H_κ = {x |card(TC(x)) < κ} （推移的集合を参照）[2]
この κ は、まさに U の濃度である。

（到達不能基数も含む順序数のすべてについてのVαの全体がVなのにね）

（グロタン宇宙を使って定義する圏論は小さすぎて外側に拡張していくことを前提にするからすべてを含めるクラスによる圏論の方が主流）

>>593 補足
Categories for the Working Mathematician Mac Lane 1998
PDFが落ちていたので そこから
下記 P22
"To this practice, we add one more assumption: The existence of a universe"
こいつが 下記グロタンディーク宇宙 由来であることは あきらか

下記グロタンディーク宇宙と到達不能基数の関係
”任意のグロタンディーク宇宙はある濃度
κ に対し u(κ)
の形となる。これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである”
百回音読しよう！（＾＾

(参考)
https://i.imgur.com/0ER8pko.jpeg
Categories for the Working Mathematician Mac Lane 1998
P22
To this practice, we add one more assumption: The existence of a
universe. A universe is defined to be a set U with the following (somewhat
redundant) properties:
略
These closure properties for U ensure that any of the standard operations
of set theory applied to elements of U will always produce elements
略

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
性質
数学におけるグロタンディーク宇宙（グロタンディークうちゅう、英: Grothendieck universe、仏: Univers de Grothendieck）は次の性質をもった集合 Uである[1]：
略
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
任意のグロタンディーク宇宙はある濃度
κ に対し u(κ)
の形となる。これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである:

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E
圏論の基礎（Categories for the Working Mathematician; CWM）は、圏論の創始者の一人であるソーンダース・マックレーン[1]自身によって書かれた圏論の教科書。最初の出版は1971年

（「集合」）

>>592
>・ノイマンの基数割り当てを用いると、到達不能基数κも順序数だ
>・だが、単純なZFC公理系では κは 証明できない（巨大基数公理要）
単純なZFCって何だよｗ
ZFCからκが存在証明可能ならZFCのモデルVκも存在証明可能だが、完全性定理と不完全性定理よりZFCが無矛盾である限りそれは不可能。
君、この理屈何度言っても無視するね。呪文か何かに聞こえるの？いや数理論理学の初歩だよ。君が不勉強なだけだよ。

>・ゆえに、κは ZFC順序数の外。つまり、ZFC順序数より大
ZFCから存在証明可能な順序数全体の集合 ONzfc⊂ON がZFCから存在証明可能と仮定。
ON上の∈は整列順序であるから、順序数χ:=min(ON-ONzfc) がZFCから存在証明可能。
しかし定義からχはZFCから存在証明不可能のはずだから矛盾。
よって ONzfc は存在しない。
よって Vzfc:=∪[α∈ONzfc]Vα も存在しない。

>>593
君、コピペ好きだね
でも無意味だよ
いくらコピペしても君の嘘 V⊂Vκ が本当になることは無いから

>>596
またコピペ？
そのコピペで君は何が言いたいの？　白痴？

>>594-595
ふっ
中高一貫生も来るから ハッキリと赤ペン書いておく

>（到達不能基数も含む順序数のすべてについてのVαの全体がVなのにね）

注釈なしに「順序数」といったとき 普通に
ZFCで生成できる順序数αに限られる
よって Vαも ZFCで生成できるステージVαに限られる
ノイマン宇宙Vといったときは、ZFCで生成できるステージVαを集めたものになり、
V自身はZFCの外で 集合には（ZFC内では）できない

>（グロタン宇宙を使って定義する圏論は小さすぎて外側に拡張していくことを前提にするからすべてを含めるクラスによる圏論の方が主流）

圏論が分ってないね
ベーシック圏論 Leinster >>588
or
Categories for the Working Mathematician Mac Lane 1998 >>596
を読め！

下記 米田の補題＆米田埋め込み を使いたいんだよ！！（＾＾
だから、ZFCを少し拡張して
圏論の舞台として ノイマン宇宙V→グロタン宇宙Uにするんだ
そうすると 米田の補題＆米田埋め込みが使える範囲が広がる

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B1%B3%E7%94%B0%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
米田の補題（Yoneda lemma）とは、局所小圏 C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。

米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」[1]「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」[2]と言われている。

語源
「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた[3][4][5]。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという[6]。ただし、エミリー・リール（英語版）によれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは Grothendieck (1960) である[7]。

概要
主張の内容
C を局所小圏とする。すなわち C の各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象 A を固定するとき、共変hom関手 HA = hom(A, _) : C → Set は対象 X に対して、集合 hom(A, X) を割り当て、射 f : X → Y に対して写像 hom(A, f) = f ◦ (_) : hom(A, X) → hom(A, Y) を割り当てる関手であった。

ここで、 F : C → Set を集合値関手としたとき、HA から F への自然変換は集合 F(A) の要素と1対1対応する、という主張が米田の補題である。すなわち、米田の補題は HA から F への自然変換の全体が集合 Nat(HA, F) と書けて、米田写像（Yoneda map）と呼ばれる全単射
略す

米田埋め込み
米田写像の自然性から、対象 A ∈ C に関手 HA = hom(A, _)、あるいは HA = hom(_, A) を割り当てる操作は、関手
略す

参考文献
http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=SB_1958-1960__5__369_0
Grothendieck, A. (1958-1960), Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules.

すべてが集合であるグロタン宇宙を使う圏論には小圏しか存在しない
よって集合論的操作は自由に出来るため
外のグロタン宇宙で関手圏も自由に考えられるが
結局は外に外にとどこまで行っても小圏でCatの中に留まる
ノイマン宇宙を使う圏論では大きな圏が普通に存在し
大きな圏の間の関手圏は必ずしも存在しないが
グロタン宇宙による小圏の関手圏は問題なく存在する

（何も読んでない人ですね）

>>601
>注釈なしに「順序数」といったとき 普通に
>ZFCで生成できる順序数αに限られる
だからZFCから存在証明可能な順序数全体の集合 ONzfc はZFCから存在証明不可能であることをサルでも分かるように教えてあげたんだけど、君はサル以下かい？

>よって Vαも ZFCで生成できるステージVαに限られる
ONzfc がZFCから存在証明不可能だから、Vzfc:=[α∈ONzfc]Vα もZFCから存在証明不可能。サルでも分かることを君は分からないと？

瀬田爺は自分の無根拠な持論を語ることに夢中にならないで、他人の根拠ある話に耳を貸せるようになろうな
幼稚園児じゃないんだから

バカの壁

荒らしが言うことを聞くなら2chから荒らしはいなくなってる

　>>539より
(引用開始)
https://www.tenasaku.com/academia/notes/UsubaFujita_JSPS2012.pdf
【論文】科学基礎論研究Vol.39, No.2 (2012) 33〜42
現代集合論における巨大基数
薄葉季路∗ 藤田博司∗∗
(引用終り)

数学科でオチコボレると
新しい数学文献が 読めなくなるらしい・・ｗ（＾＾

・この最初のページより
https://i.imgur.com/vv0gSIA.jpeg
＜要点＞
・カントールはそれらを アレフ系列によって表現した。最小の無限基数ℵ0 は可算無限の基数であり、他のすべての順序数αにも、α 番目の不可算基数ℵα が対応する。
・このことは、最小の無限基数ℵ0 が持つ性質を不可算基数も持ち得るか？という問題を自然に引き起こした。
・巨大基数とは大雑把にいえばそのような非常に大きな濃度（を持つ集合）の存在を主
張する公理のことである。古典的な巨大基数は前述のように無限基数ℵ0 がもつ性質を一般化することで得られる
・特にゲーデル（K. G¨odel）、コーエン（P.J.Cohen）による革命的な結果以降、既に得られた巨大基数の一般化のような技術的なものがいくつも導入されていった。
(引用終り)

（要点のまとめ）
１）巨大基数とは 最小の無限基数ℵ0 が持つ性質を不可算基数上に拡張したもの（＝新しい基数）
２）最小の無限基数ℵ0 が持つ性質とは？ ℵ0未満は有限であり 有限基数をλとしたとき 2^λの操作では到達しえないということ
３）非可算では 任意のℵα （α≧1）（当然 ℵα＜κな） に対して 2^ℵα ＜ κ となる ということ■

「現代集合論における巨大基数 薄葉季路∗ 藤田博司∗∗」
を 百回音読しよう！（＾＾

>>601
>ふっ　
>中高一貫生も来るから
>ハッキリと赤ペン書いておく

ぷっ
君、中学校と高校の教員免許　持ってないよね？
じゃ、赤ペン指導はできないよ　法律違反だから　なんちって（笑）

>注釈なしに「順序数」といったとき 普通にZFCで生成できる順序数αに限られる

とはいえない　一般人が、定義に書かれてないこと勝手に妄想してるだけ
そこ、赤ペンで✕つけとくね

>よって Vαも ZFCで生成できるステージVαに限られる
>ノイマン宇宙Vといったときは、ZFCで生成できるステージVαを集めたものになり、
>V自身はZFCの外で 集合には（ZFC内では）できない

君の言い分だと　κはZFCで証明できないから順序数ではないね
つまりVκは存在しない
存在しないVκがVを含むとか、初心者の完全な妄想で、意味ないね
そこ、赤ペンで✕つけとくね

>米田の補題＆米田埋め込み を使いたいんだよ！！（＾＾
>だから、ZFCを少し拡張して
>圏論の舞台として ノイマン宇宙V→グロタン宇宙Uにするんだ
>そうすると 米田の補題＆米田埋め込みが使える範囲が広がる

その舌足らずな言い方　✕ね

ZFCにκの存在公理を追加する　この公理系をZFC+κと書くことにする
ZFC+κのノイマン宇宙Vの中には集合Vκが存在する　V⊃Vκ
そして集合Vκは、君がいうところZFCで生成できる集合は全部含まれる
これが集合でも問題ないのは、VκはZFC＋κの全ての集合を含むわけではないから

いわゆる大きな圏はVκの中の集合として扱えるので問題ない
その程度の他愛もないことで喜ぶのが数学の初歩から知らぬ一般人

あああ、くだらん

>>609
ところで、ZFC+κでも、集合の全体はクラスであるし、ほかにもクラスが存在する

あくまでZFCでの大きな圏（クラス）を、ZFC＋κでは小さな圏（集合）として扱えるというだけ

ZFC＋κでの大きな圏は？
まあ、もっと大きな到達不能基数を設定するんですかね
際限ないですけどね

◆yH25M02vWFhPクンが好んで使う「百回音読」を検索してみた（笑）

AI(gemini)曰く、同じ文章を100回声に出して読む英語などの語学学習法、だそうだ

◆yH25M02vWFhPクンは英語と同じ感覚で数学を勉強しようってわけだ（笑）

ただ、英語でも漫然とやってもダメらしい

効果を出すための4つの鉄則
1. 事前準備（精読）：文法や知らない単語の意味を100％理解してから読み始めます。
2. 必ず音源を使う：自己流の発音で読まないよう、ネイティブの音声を必ず聞き、オーバーラッピング（音声と同時に重ねて読む）を行います。
3. 階段式にスピードを上げる：最初から速く読まず、0.8倍速などのゆっくりとした速度から始めて徐々にペースを上げます。
4. 機械的に作業化しない：ただ回数を数えて終わりにするのではなく、場面や意味を頭でイメージしながら行います。

英語の場合、音読するのは、発音を習得する必要があるから
ただ、日本語で書かれた数学の文章の場合、そこは要らないので、音読する必要はないね（バッサリ）

◆yH25M02vWFhPクンの問題は、以下2点

・事前準備ゼロ：言葉の定義や論理の構造を全く理解せずに実行する
・機械的作業：漫然とコピペするだけで終わり　勝手に意味を捏造して誤魔化す

それじゃ数学は初歩からわからんわ
百回どころか、千回、一万回音読しても無駄

考えてないから

シャドーイングも、意味の確認がなかったら無意味

必要なこと全くサボって漫然とコピペしても無駄だから

１０年間、ガロア理論が理解できなかったんだから
コピペ勉強法がおかしいって気づこうな（笑）

>>608
>・カントールはそれらを アレフ系列によって表現した。最小の無限基数ℵ0 は可算無限の基数であり、他のすべての順序数αにも、α 番目の不可算基数ℵα が対応する。
君、到達不能奇数κ=アレフκ であることは理解できたの？　君の理解を君の言葉で書いてごらん。コピペしても理解できないから無意味だよ。

>（要点のまとめ）
>１）巨大基数とは 最小の無限基数ℵ0 が持つ性質を不可算基数上に拡張したもの（＝新しい基数）
>２）最小の無限基数ℵ0 が持つ性質とは？ ℵ0未満は有限であり 有限基数をλとしたとき 2^λの操作では到達しえないということ
それは強極限基数の性質な。
強到達不能基数は強極限基数かつ正則基数。定義を確認しような。定義を確認しないサルは数学を語るなかれ。

>>601
>中高一貫生も来るから ハッキリと赤ペン書いておく
>注釈なしに「順序数」といったとき 普通に
>ZFCで生成できる順序数αに限られる
中高一貫生はそんな嘘信じないと思うよ
君、近所の中高一貫生に数学教えてもらいなよ　どうしようもなく馬鹿な君でも金さえ積みゃ教えてくれんだろ

>>609
中高一貫生も来るから ハッキリと赤ペン書いておく
君と(ですね)人が、そういう倒錯をしていることは 予想通りさ
倒錯人から見ると、正常人が間違って見えるだろうｗ（＾＾

さて>>539より
(引用開始)
https://www.tenasaku.com/academia/notes/UsubaFujita_JSPS2012.pdf
【論文】科学基礎論研究Vol.39, No.2 (2012) 33〜42
現代集合論における巨大基数
薄葉季路∗ 藤田博司∗∗
(引用終り)

・この最初のP2より
https://i.imgur.com/hQokpcN.jpeg
＜要点＞
・累積階層Vα は次のようにして超限帰納的に定義される：
　略
　α が極限順序数ならば略
・ZFC からすべての集合はV に属する、すなわち集
合は上の構成法を用いて得られるものが全てであるこ
とが証明される。これよりV = ∪αVα を集合の宇宙
（universe）と呼ぶこともある。
（注：明らかに このαは順序数で 「ZFC からすべての集合はV に属する、すなわち集合は上の構成法を用いて得られるものが全てであることが証明される」とあるから αはZFC内の全てを渡ることは明らか。
　そして、”V = ∪αVα 集合の宇宙”で、Vが俗に言うノイマン宇宙であることも明らか）
・1.2 到達不能基数
・ある意味で最小の巨大基数である到達不能基数を定義する
・定義：不可算、正則かつ強極限基数κ を到達不能基数と呼ぶ
・ℵ0 は不可算という条件を除いて到達不能基数の条件を満たしている。このことからわかるように、到達不能基数はℵ0 がもつ“正則かつ強極限” という性質という性質を不可算基数が持ち得るか？という問題意識から導入されている
・簡単な計算により最小の到達不能基数が存在するならば、ℵ1, ℵ2, ℵω などの名前がついたどの基数よりも大きなものであることがわかる。あとで触れるとおり、実際のところ到達不能基数は大きすぎて、その存在はZFC から証明不能である
・定理：基数κ が到達不能基数ならば、集合Vκ はZFCのモデルになる
・二階述語論理を用いてZFC を自然に拡張したものをZFC2 とするなら、基数κ に対してVκ が（あるいは、二階の対象の全体としてのVκ+1が）ZFC2 のモデルになることとκ が到達不能基数になることは同値である。この意味で到達不能基数の存在とはZFC のある種の自然なモデルの存在を要請したもの、としてみることもできる。

（要点のまとめ）
１）累積階層Vα、ZFC からすべての集合はV に属する。V = ∪αVα 集合の（ノイマン）宇宙。
　（αはZFC内のすべての順序数）
２）到達不能基数：不可算、正則かつ強極限基数κ
　到達不能基数はℵ0 がもつ“正則かつ強極限” という性質という性質を不可算基数が持ち得るか？という問題意識から導入されている
　簡単な計算により最小の到達不能基数が存在するならば、ℵ1, ℵ2, ℵω などの名前がついたどの基数よりも大きなものであることがわかる
　到達不能基数は大きすぎて、その存在はZFC から証明不能である
３）定理：基数κ が到達不能基数ならば、集合Vκ はZFCのモデルになる
　基数κ に対してVκ が（あるいは、二階の対象の全体としてのVκ+1が）ZFC2 のモデルになることとκ が到達不能基数になることは同値■
QED（＾＾

（自分で書いたコピペも読めてないみたい）

あくまで基数すなわち順序数なので
|Vκ|=ℵκ=κだって誰か他の人も書いているとおり
ℵ:Ord→Ordの不動点（の特別なもの）として
ZFCにおいて定義されるが
それが存在することはZFCで証明できないってだけ
それはCH/GCHを否定しないと
ℵ0と2^ℵ0の間の基数の存在が示せないってのと同じ

>>614
◆yH25M02vWFhP への質問

Q1 君の解釈では、到達不能基数κはZFCの順序数か？　YES or NO

Q2 君の解釈では、ZFC+”到達不能基数κの存在”における全ての集合V‗newは、ZFCにおける全ての集合Vより真に大きいか？　YES or NO

Q3 君の解釈では、ZFC+”到達不能基数κの存在”における Vκ（⊂V_new）は、ZFCにおける全ての集合Vより真に大きいか？　YES or NO

Q4 Q3の答えがYESとして、Vκの要素で、Vの要素でないものを具体的に記せ

>>614
>（注：明らかに このαは順序数で 「ZFC からすべての集合はV に属する、すなわち集合は上の構成法を用いて得られるものが全てであることが証明される」とあるから αはZFC内の全てを渡ることは明らか。
∀x:(xはZFCから存在証明可能⇒x∈V) を ∀x:(xはZFCから存在証明可能⇔x∈V) と誤読するバカに数学は無理なのであきらめよう

>>614
>１）累積階層Vα、ZFC からすべての集合はV に属する。V = ∪αVα 集合の（ノイマン）宇宙。
>　（αはZFC内のすべての順序数）
ど素人の妄想。
>>598より、ZFCから Vzfc:=[α∈ONzfc]Vα は存在証明不可能。
一方、ZFC+(強到達不能基数κの存在)からVκは存在証明可能で、このときκは順序数だからVの定義より Vκ⊂V。すなわち君の持論 V⊂Vκ は大間違い。

◆yH25M02vWFhP への質問

Q1 君の解釈では、到達不能基数κはZFCの順序数か？　YES or NO

Q2 君の解釈では、ZFC+”到達不能基数κの存在”における全ての集合V‗newは、ZFCにおける全ての集合Vより真に大きいか？　YES or NO

Q3 君の解釈では、ZFC+”到達不能基数κの存在”における Vκは、ZFCにおける全ての集合Vより真に大きいか？　YES or NO

Q4 Q3の答えがYESとして、Vκの要素で、Vの要素でないものを具体的に記せ

転載しておく（＾＾
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1792990921/803
(引用開始)
>高卒＋数学AI = 高卒が自分の直感に反するAIの発言をハルシネーションと罵倒する狂態
(引用終り)

良い機会だから書いておく
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1791259233/1-
到達不能基数・巨大基数研究
このスレの真のねらいは、おサルと(ですね)人の公開処刑

おサルと(ですね)人の二人が、到達不能基数・巨大基数を誤解していることに気付いた
特におサルは、その実数学科の最底辺オチコボレさんなのに、５ｃｈ数学便所板で 必死に他人にマウントヒヒごっこ
”数学科の最底辺オチコボレさん ＜ 高卒＋数学AI ”
この不等式の成立証明が 到達不能基数・巨大基数研究スレの真の目的なのさｗ（＾＾

箱入りでは、数学文献が ほとんど皆無だから 水掛け論になった
が、到達不能基数・巨大基数は 山ほどある。が、二人は読めていない
（数学科の”厳ミチュ”教育が 新しい数学文献を読むときのアダで、新しい文献が読めない？ｗ（＾＾）
公開処刑は、現在進行形だが 見る人が見れば 二人はすでに詰んでいるｗ

山ほどあるのになんで君の持論 V⊂Vκ のソース出せんの？

さて、宣戦布告ついでに 下記バクダンを投下しますｗ（＾＾
要するに
１）Tarski–Grothendieckは、ZFCに宇宙公理を追加したもの
　これが 推移的であれば、それはグロタンディーク宇宙でもあり
　選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です
（つまり、タルスキの公理を満たします）
２）Grothendieck universe の項に
　”Grothendieck universes and inaccessible cardinals”とある
　cardinals と 複数形だよ 百回音読してねｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory
Axioms
(google訳)
TGには以下の公理が含まれています。これらはZFCの一部でもあるため、慣習的な公理です。
略
TG を他の公理的集合論と区別するのは、タルスキの公理です。タルスキの公理は、無限、選択、[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]および冪集合の公理も含意します。[ 4 ] [ 5 ]また、到達不可能な基数の存在も含意しており、そのおかげでTGの存在論はZFCなどの従来の集合論の存在論よりもはるかに豊かです。
・タルスキの公理（タルスキ 1939 [ 6 ]より改変）。すべての集合に対して
s集合が存在するu（宇宙）
略
簡単に言うと、タルスキの公理は、すべての集合がタルスキ宇宙に属すると述べています。タルスキ宇宙が推移的であれば、それはグロタンディーク宇宙でもあります。[ 7 ]逆に、選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です（つまり、タルスキの公理を満たします）。[ 8 ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe
Grothendieck universes and inaccessible cardinals
In fact, any Grothendieck universe is of the form
u(κ)for some κ.
This gives another form of the equivalence between Grothendieck universes and strongly inaccessible cardinals:
For any Grothendieck universe
U, |U| is either zero,
ℵ0, or a strongly inaccessible cardinal.
And if κ is zero, ℵ0, or a strongly inaccessible cardinal, then there is a Grothendieck universe u(κ).
Furthermore, u(|U|)=U, and |u(κ)|=κ.
Since the existence of strongly inaccessible cardinals cannot be proved from the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), the existence of universes other than the empty set and Vω cannot be proved from ZFC either.
However, strongly inaccessible cardinals are on the lower end of the list of large cardinals; thus, most set theories that use large cardinals (such as "ZFC plus there is a measurable cardinal", "ZFC plus there are infinitely many Woodin cardinals") will prove that Grothendieck universes exist.

>>622
>山ほどあるのになんで君の持論 V⊂Vκ のソース出せんの？

ふっ
いま出した >>623
１）Tarski–Grothendieckは、ZFCに宇宙公理を追加して 拡張したものだ
　つまり、非保存拡大で ZFCでできることは全て可能
　かつ、宇宙公理を持つ
２）Tarski–Grothendieckが推移的なら
　それはグロタンディーク宇宙でもあり
　選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です
３）Grothendieck universeの項に
　 Vκの説明もある。
　引用していないが、自分で読んでね
　百回音読すると良いよｗ（＾＾

（ZFC+UでもV={x::x=x}すなわち「集合」の全体なのは変わらないのにね）

◆yH25M02vWFhP　の理解では

１．ZFCでは到達不能基数κは証明できないので存在しない　つまりVκも存在しない
２．到達不能基数κおよび集合Vκが存在するのはZFCではなくZFC+κである
３．したがってVはZFCではなくZFCκ上のものとせねばならず、その場合Vκ⊂Vである
４．集合VκがZFCのモデルとなることは別途示されるが、VκがZFCにおけるVであるとかVを含むとかではない

違うことを同じだと誤解して云い張る時点でオウンゴール

数学は考えずに百回音読しても理解できない
数学を理解したいなら　勉強法を根本的に変えないと意味がない
理解する気がないなら、コピペ芸は恥ずかしいだけなので
数学板から去ったほうが恥かかずにすむ　ぜひそうしなさい

（ZFC+Uの宇宙がそのままZFCの宇宙ということがどうしても理解できないみたい）

>>627
彼のいうZFCの宇宙はZFCで証明できる元しかない最小宇宙らしいので
ただの宇宙ではないんでしょう
ただ、彼は自分のいいたいことを正確に表現する言語能力がないので
しばしば言い間違えます
それでは大学１年レベルの数学も正しく理解できないのは
皆さんご承知の通りです

>>624
>>>山ほどあるのになんで君の持論 V⊂Vκ のソース出せんの？
>いま出した >>623
嘘乙。君のコピペのどこにも V⊂Vκ なんて書かれてない。
君、息するように嘘つくね。人格破綻してるよ？どんな人生歩んできたの？嘘で塗り固められた人生だろ？白状しなさい。

>２）Tarski–Grothendieckが推移的なら
推移性を仮定しているのはタルスキ宇宙であってTarski–Grothendieckではない。
てか
>タルスキ宇宙が推移的であれば
って書かれてんじゃん。君、日本語読めないの？じゃあ小学校からやり直し。
誤読したってことはなぜ推移性を仮定しているかも分かってないね。グロタン宇宙が推移的だからだよ。

相変わらず初歩の初歩から分かってない。コピペすれば勝てると思ってるのが愚か過ぎる。

>>627
大の勉強嫌いなので数理論理学を勉強したことが無いんでしょう。理論とモデルがまったく分かってない。

>>628
>彼は自分のいいたいことを正確に表現する言語能力がないので
>しばしば言い間違えます
箱入り無数目でもそうでしたね
箱入り無数目が選ばれた数列（則ち定数）に対して成立することを言っているのに
数列を選択する話に勝手に拡張して考えて
しかもそれを正しく表現できないので
思い込みに永遠に囚われているのでしょう

>>628
>彼のいうZFCの宇宙はZFCで証明できる元しかない最小宇宙らしいので
>ただの宇宙ではないんでしょう
ZFCの公理は
置換公理が実際は公理のスキーマであり
述語すべてについて別々の公理ですが
それでもその論理式は可算個しかありません
証明は有限長なので
可算個の論理式から有限個を選んで
有限長の演繹によって結論を得るわけですので
その意味で得られる結果は可算個しかありませんから
彼の人の言う「証明可能宇宙」には可算個の元しかないのかも？
Vω0なのかな？
通常到達不能基数は非可算としますが
ω0もその条件以外の到達不能基数の条件を満たしているので
Vω0しか考えない立場も有り得るかも

>>631
>箱入り無数目でもそうでしたね
ガロア理論でもそうだったのかも？
あのスレあんまり昔を知らないんですが
>　492 名前:１３２人目の素数さん 投稿日:2026/10/28(水) 20:56:36.18 ID:9jVbFd28
>「現代数学の系譜11 ガロア理論を読む」スレッドを立てた人は
>
>１．ラグランジュ分解式による巡回方程式のアーベルの解法を全く理解していない
>２．ガロア理論において正規部分群を考える必要性を全く理解していない
>
>要するに肝心なことを全く理解していない
>
>理解していたら、４次で成功するのに５次では何故成功しないか述べられる筈
と指摘されてましたし

>>632
＞彼の人の言う「証明可能宇宙」には可算個の元しかないのかも？

集合論の可算モデルは存在するので、そこは間違ってないですね（笑）
ただそれはVωではないですが

一応、ωは順序数として存在しますから
（Vωでは有限順序数しか存在しないことになる）

ZFCが無矛盾なら自身のモデルの存在を証明不可能だから、
・VはZFCのモデル、且つZFCから存在証明不可能
・VはZFCから存在証明可能、且つZFCのモデルでない
のいずれか一方しか選べない。
前者のVは考える価値があるが、後者のVに考える価値があるとは思えない。
彼はなぜか後者のVに強く拘っているが、ど素人がナイーブに妄想してるだけであって道理を理解したうえでの拘りではないのだろう。