10進数で各桁に9を含まない自然数の逆数和は収束するだろうか？

教えて下さい

そういう数は

1～9の中に8個
10～99の中に72個
...
10^n～10^(n+1) - 1の中に8 * 9^n個

なので

Σ_{9を含まない} 1/k
≤ 8*1 + 8*9/10 + ... + 8*9^n/10^n + ...
= 8 * Σ_{n≥0} (9/10)^n
< ∞

S⊂ℕとして、#(S∩{1, 2, ..., n})のオーダーがどのくらいならSの逆数和はギリギリ収束するのか

>>3
あるδ>0が存在して、O(n/(logn)^(1+δ))なら収束する

ケンプナー級数