x、y、z >0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} の最大値を求めよ。

これだと、『x、y、z >0 のとき』 がヒントになって、相加相乗平均でも使うんだろうなと思ったり。
確かに相加相乗平均で肩がつく （最大値は1/48） 。

この手の分数の不等式は、分割して評価した不等式を辺々かけるとか、
斉次式なので、和一定とか積一定とかの条件をつけたりするテクもあったり。

不等式スレ１章〜３章の頃に、その手のテクニックをtexでまとめていたんだけど、
パソコンが壊れたときに失われてしまったのは悲しい思い出… ('A`)