http://imgur.com/wx1rQSI.jpg
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↑は例の京都大学名誉教授の本ですが、関数 f(x) が区間 [a, b] でリーマン積分可能で
あるための必要十分条件が書かれています。

普通の微分積分の本にこの重要で興味深い定理が載っていないのはなぜなのでしょうか？

証明には、きっと間違いがあるので、まだ読んでいませんが。