大学学部レベル質問スレ 3単位目 [無断転載禁止]©2ch.net

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
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・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
微積と線形代数のスレ2 [転載禁止]©2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1437010047/
線形代数（初心者レベルから中級まで）
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分からない問題はここに書いてね416 [無断転載禁止]©2ch.net
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※前スレ
大学学部レベル質問スレ 2単位目
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1465307158/

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ゴミ

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http://imgur.com/g813e8c.jpg
http://imgur.com/3a8EPkD.jpg

↑は野村隆昭著『微分積分学講義』です。

内容は、「区間 I で連続な1対1の関数は狭義単調である」という定理の証明です。

この本、ちょっとした小細工的な工夫がしてあって、面白いですね。

この本、薄いし、読みやすいので、結構、おすすめです。

>>934
も、有界な数列は部分列として単調数列を含むということを証明していて、おしゃれですね。

質問スレってなんだっけ

>>956

F は2変数の連続関数ですが、別に連続であると書く必要は必ずしもないですよね。

2変数関数の連続性の定義は後に定義されるので、書かなかったほうがよかったかと
思います。

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>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
>
> ￥
>

>>958
関数Gの連続性にFの連続性が用いられてる

もうすぐ1000だからってふざけてるんだろう。

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>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
>
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>

>>960

f　の連続性だけでOKじゃないですか？

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http://imgur.com/hSjS346.jpg

↑は例の京都大学名誉教授の本です。

↑は、大学の入試問題ですが、この問題をネタにして、話を発展させていきます。
が、この問題の答えが書いてありません。

問題（２）―（ロ）のスタンダードな解答が分かりません。
グラフ理論の結果を使った証明は思いついたのですが、スタンダードではないような気がします。
スタンダードな解答を教えてください。

解答：

■（１）―（イ）

成立しない。

反例：

A = {1, 2, 3}
v(1, 2) = v(2, 1) = 3
v(1, 3) = v(3, 1) = 1
v(3, 2) = v(2, 3) = 1

↑は明らかに性質1および性質2を満たす。

v(1, 2) = 3 > 2 = 1 + 1 = v(1, 3) + v(3, 2)

であるから、（イ）は満たさない。

■（１）―（ロ）

成立する。

理由：

a, b, c ∈ A = {1, 2, …, n} とする。

明らかに、

b ≧ c ⇒ min{a, b)} ≧ min{a, c}

が成り立つ。

また、明らかに、

min{a, min{b, c}} = min{a, b, c}

が成り立つ。

【性質1】より、

v(i, j) ≧ min{v(i, k), v(k, j)}
v(k, j) ≧ min{v(k, l), v(l, j)}

が成り立つ。

よって、

v(i, j) ≧ min{v(i, k), v(k, j)} ≧ min{v(i, k), min{v(k, l), v(l, j)}} ≧ min{v(i, k), v(k, l), v(l, j)}

が成り立つ。

■（２）―（イ）

【性質1】より、

v(i, j) ≧ min{v(i, k), v(k, j)}
v(j, k) ≧ min{v(j, i), v(i, k)}
v(k, i) ≧ min{v(k, j), v(j, i)}

が成り立つ。

min{v(i, j), v(j, k), v(k, i)} = v(k, i) と仮定しても一般性を失わない。

すると、↑の3つの不等式は、それぞれ以下のようになる：

v(i, j) ≧ v(i, k)
v(j, k) ≧ v(i, k)
v(k, i) ≧ min{v(k, j), v(j, i)}

これらの不等式から以下が言える：

v(k, i) ≧ min{v(k, j), v(j, i)} ≧ v(i, k)

∴ v(i, k) = min{v(k, j), v(j, i)}

これは、 v(i, j), v(j, k), v(k, i) のうち少なくとも2つは相等しいことを意味する。

■（２）―（ロ）

答えは、 n - 1 である。以下でそれをグラフ理論を使って証明する。

n = 2 のときは、明らかだから、以下では、 n ≧ 3 とする。

頂点の集合 V、 辺の集合 E をそれぞれ以下で定義する。

V = A = {1, 2, …, n}
E = {{1, 2}, {1, 3}, …, {1, n}, …, {n-1, n}}
（E は要素数が 2 である V の部分集合の全体。）

グラフ G = (V, E) を考える。

E から 正の実数全体の集合 R への写像 v が性質1を満たしているとする。

G' を辺の数が n 以上である G の部分グラフとする。
また、 G' の辺を v で写したとき、すべて異なる正の実数値をとると仮定する。

すると、グラフ理論により、 G' は必ず閉路を含む。

その閉路を {i_1, i_2}, {i_2, i_3}, …, {i_(k-1), i_k}, {i_k, i_1} とする。

k ≧ 3 である。

v({i_1, i_2}), v({i_2, i_3}), …, v({i_(k-1), i_k}), v({i_k, i_1}) の値はすべて異なる。

k に関する帰納法で、矛盾が起こることを以下で示す。

k = 3 のとき、

問題（２）―（イ）により、
v({i_1, i_2}), v({i_2, i_3}), v({i_3, i_1}) のうち、少なくとも2つは相等しいから、矛盾である。

k = k'（≧ 3）のとき、矛盾が起こると仮定し、 k = k' + 1 のときを考える。

v({i_1, i_2}) ≠ v({i_2, i_3}) だから、問題（２）―（イ）により、

v({i_1, i_3}) = v({i_1, i_2}) または、 v({i_1, i_3}) = v({i_2, i_3}) でなければならない。

v({i_1, i_2}), v({i_2, i_3}), …, v({i_k', i_(k'+1)}), v({i_(k'+1), i_1}) の値はすべて異なるから、

v({i_1, i_3}), v({i_3, i_4}), …, v({i_k', i_(k'+1)}), v({i_(k'+1), i_1}) の値もすべて異なる。

帰納法の仮定により、 k = k' + 1 のときも矛盾が起こる。

以上より、すべての v({i, j}) のうち、相異なる値を持つものの個数は多くとも n - 1 であることが証明された。

「多くとも」だからめちゃくちゃデカい数を書いときゃいいんだよ(違)

>>966

訂正します：

■（１）―（ロ）

成立する。

理由：

a, b, c ∈ {x ∈ R | x > 0} とする。

明らかに、

b ≧ c ⇒ min{a, b)} ≧ min{a, c}

が成り立つ。

また、明らかに、

min{a, min{b, c}} = min{a, b, c}

が成り立つ。

【性質1】より、

v(i, j) ≧ min{v(i, k), v(k, j)}
v(k, j) ≧ min{v(k, l), v(l, j)}

が成り立つ。

よって、

v(i, j) ≧ min{v(i, k), v(k, j)} ≧ min{v(i, k), min{v(k, l), v(l, j)}} ≧ min{v(i, k), v(k, l), v(l, j)}

が成り立つ。

未だに大学入試問題なんて解いてるのかよ大日本帝国
微積の勉強は諦めたのか？

>>965
v(i,k)をik, min{}を{}で略記すると



il≧{ik,kl}
lj≧{kl,lj}

ij≧{il,lj}≧{ik,kl,lj}

最後の不等号はmin{}の性質から

日本人は全員ゴミ

超マイナーな著者ですが、野村隆昭著『微分積分学講義』が、思いの外、かなりいい本なので、
最近出版された、野村隆昭著『複素関数論講義』を注文してしまいました。

http://imgur.com/pkZ1eTm.jpg

↑は、野村隆昭著『微分積分学講義』です。

これはコーシーの平均値の定理についてですが、
この著者が得意の小細工的な工夫によって分かりやすく、
読みやすくなっています。

やさしい世界

珍しく褒めてる

命題4.25：
http://imgur.com/ttp7fAO.jpg

例題4.30：
http://imgur.com/UN08HHo.jpg

図4.1：
http://imgur.com/fAWOrzr.jpg

問題4.34：
http://imgur.com/KZptSBD.jpg

問題5.28：
http://imgur.com/3iYRu83.jpg

問題5.35：
例5.36：
http://imgur.com/ALgRhIx.jpg

↑は野村隆昭著『微分積分学講義』です。

不連続関数関連の話題ですが、なんか複雑ですっきりしません。

命題4.25は、 g(x) が点 a で不連続であって、　lim_{x → a} g(x) が存在するならば、 g(x) は原始関数
を持たないということを言っていますね。

でも、不連続関数については普通はケースバイケースで一般的な何かが言えるということはないのでしょうか？

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>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
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http://i.imgur.com/hSjS346.jpg

↑の京都大学名誉教授の本の問題ですが、解答のヒントとして、

v(i, j) := w(i - j) とおいて考えれば、自然と解答ができる

と書かれています。（w については一番下に書きました。）

v(i, j) := w(i - j) とおけば、 v が↑の性質1、2を満たすことは容易に分かります。

（１）の問題について、反例を挙げるときには、 w という特別な v を使って証明できる
かもしれません。しかし、成立する問題については、 w という特別な v については成立
することを示したにすぎないのではないでしょうか？
（２）についても同様の問題があるかと思います。

まず、そのあたりの疑問に対して、回答をお願いします。
次に、この京都大学名誉教授のいう自然な解答を教えてください。

上の w について、少し長くなりますが、以下で説明します。

■
p を素数とする。 0 でない有理数 a は、

a = p^n * (c/b)

と書ける。ただし、 c, b は p で割り切れない整数である。

上の n は a によって一意的に決まる。

0 でない有理数 a に対して、
v(a) := e^(-n)

0 に対して、
v(0) := 0

とすると、 v は Q から R への写像であり、次の(I), (II), (III)を満たす。

(I)：
Q ∋ a に対して、 v(a) ≧ 0
v(a) = 0 ⇔ a = 0

(II)：
Q ∋ a, b に対して、 v(a*b) = v(a)*v(b)

(III)

Q ∋ a, b に対して、 v(a + b) = max{v(a), v(b)}

■
また、 v は以下の性質をもつ。

v(1) = 1
Q ∋ a に対して、 v(-a) = v(a)
Q - {0} ∋ a に対して、 v(1/a) = 1/v(a)
v(a) < v(b) ⇒ v(a+b) = v(b)

■
0 でない有理数 a に対して、
w(a) := -log(v(a))

0 に対して、
w(a) = ∞

とすると、 w は Q から R ∪ {∞} への写像であり、次の(A), (B), (C)を満たす。

(A)：
Q - {0} ∋ a に対して、 w(a) ∈ R
w(a) = ∞ ⇔ a = 0

(B)：
Q ∋ a, b に対して、 w(a*b) = w(a) + w(b)
ただし、 ∞ + α = α + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ と定義する。 α は任意の実数とする。

(C)：
w(a + b) ≧ min{w(a), w(b)}
ただし、 ∞ > α と定義する。 α は任意の実数とする。

■
また、 w は以下の性質をもつ。

w(1) = 0
Q ∋ a に対して、 w(-a) = w(a)
Q - {0} ∋ a に対して、 w(1/a) = -w(a)
w(a) > w(b) ⇒ w(a+b) = w(b)

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>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
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