http://imgur.com/tzpjHaG.jpg

↑は例の京都大学名誉教授の本です。

赤い線を引いたところを見てください。

なぜ、こんな不自然な数列 {c_n} を考えているのでしょうか？

|a_m - b_n| < ε

のほうを最初から提示すれば十分だったのではないでしょうか？

何を考えているのかさっぱり分かりません。