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↑は足立恒雄著『微分積分学I』の曲線の長さの定義です。

定義4.5.1についてなのですが、曲線 C の長さを一組の φ, ψ を用いて定義しています。
異なる φ, ψ を用いて、同じ曲線 C を得た場合でも長さが同一になることを証明しなけ
ればならないように思います。

この著者は一体何を考えているのでしょうか？