大学学部レベル質問スレ 3単位目 [無断転載禁止]©2ch.net

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

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・数式の表記法は
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関連スレ
微積と線形代数のスレ2 [転載禁止]©2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1437010047/
線形代数（初心者レベルから中級まで）
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分からない問題はここに書いてね416 [無断転載禁止]©2ch.net
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※前スレ
大学学部レベル質問スレ 2単位目
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1465307158/

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位相空間論で、開近傍を近傍としている本がありますが、開集合を含む集合として近傍を定義する方法との違いを教えて下さい

>>367
×方法
○とき

http://imgur.com/UFufuoc.jpg
http://imgur.com/zVRSJsQ.jpg

↑は、 sin(x), cos(x) の有理式を積分する方法について書かれたものです。

●「さらに、 0 ≦ x ≦ Pi/2 のときには cos(x) ≧ 0、 0 ≦ t ≦ 1 だから」

●「x が他の範囲にあるときには、対応する t の範囲と sin(x)、 cos(x) の符号に気をつけて計算する必要がある。」

などと書かれていますが、間違っています。

平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。

ところが、 x の値によらず、 cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2) ですから、そんな心配は無用です。

計算は以下です：

cos(x) = 2 * (cos(x/2))^2 - 1 = 2 / (1 + (tan(x/2))^2) - 1 = 2 / (1 + t^2) - 1 = (1 - t^2) / (1 + t^2)

>>348

自明であっても、何も書かないというのはおかしいかと思います。
「〜であることは自明である」と書くべきです。

>>369
お前アスペか？
そんなの著者一言もいってないじゃん

計算過程で1-t^2≧0を使ってるけどそうとは限らないから気を付けろって意味だろ、馬鹿なの？

ほんとこいつ高校数学から永遠に抜け出せない可哀想なやつだな

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>>370
君の基準ではそうなんだろう
世の中は君の基準とは違うようだね
気づけてよかったね

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>>386

今、杉浦光夫の『解析入門I』を見てみたところ、ちゃんと書いてありました。

杉浦光夫の『解析入門I』はちゃんとしていますね。

>>334

この足立恒雄さんは、偉そうで態度がでかい人のようですが、この微分積分の本は、
いい加減な本です。

あ。

曲線 C に内接する任意の折れ線の長さ l に対して、ある分割 Δ が存在して、
L_Δ = l になりますね。

だから、 >>334 で問題ないのかもしれませんね。

http://imgur.com/abRmBLb.jpg

↑は一松信の解析学序説の曲線の定義です。

「点 P(t) の軌跡 C を曲線という。あるいはむしろ、そのような
函数の対そのものを曲線とよぶ。」

とあります。

閉区間 [0, Π/2]
φ(t) = (Π/2)*sin(t)
ψ(t) = (Π/2)*sin(t)

閉区間 [0, Π/2]
φ(t) = t
ψ(t) = t


「点 P(t) の軌跡 C を曲線という」という定義の場合、上の二つは同じ曲線ということになるかと思います。

一方、「函数の対そのものを曲線とよぶ。」という定義の場合、上の二つは異なる曲線ということになるかと思います。

どっちの定義が正しいのでしょうか？

うーん。

「点 P(t) の軌跡 C を曲線という」という定義の場合、その長さを定義できるのでしょうか？

馬鹿っぷりがわかる書き込み

369 １３２人目の素数さん 2016/08/15(月) 04:48:07.69 ID:nsWW7UjZ
http://imgur.com/UFufuoc.jpg
http://imgur.com/zVRSJsQ.jpg

↑は、 sin(x), cos(x) の有理式を積分する方法について書かれたものです。

●「さらに、 0 ≦ x ≦ Pi/2 のときには cos(x) ≧ 0、 0 ≦ t ≦ 1 だから」

●「x が他の範囲にあるときには、対応する t の範囲と sin(x)、 cos(x) の符号に気をつけて計算する必要がある。」

などと書かれていますが、間違っています。

平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。

ところが、 x の値によらず、 cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2) ですから、そんな心配は無用です。

計算は以下です：

cos(x) = 2 * (cos(x/2))^2 - 1 = 2 / (1 + (tan(x/2))^2) - 1 = 2 / (1 + t^2) - 1 = (1 - t^2) / (1 + t^2)

閉区間 [0, π/4]
φ(t) = 2*t
ψ(t) = 2*t

閉区間 [π/4, 3*π/8]
φ(t) = -2*t + π
ψ(t) = -2*t + π

閉区間 [3*π/8, π/2]
φ(t) = 2*t - π/2
ψ(t) = 2*t - π/2

という曲線を考えると、点 P(t) の軌跡 C は↑の二つの曲線と同じですが、
長さは異なります。

「函数の対そのものを曲線とよぶ」という定義を採用せざるを得ないように思います。

そうすると、やっぱり、2つの関数の対 (φ1、 ψ1)、 (φ2、 ψ2) が
どのようなときに、同じ曲線になるかというのが問題になるかと思います。

馬鹿っぷりがわかる書き込み

369 １３２人目の素数さん 2016/08/15(月) 04:48:07.69 ID:nsWW7UjZ
http://imgur.com/UFufuoc.jpg
http://imgur.com/zVRSJsQ.jpg

↑は、 sin(x), cos(x) の有理式を積分する方法について書かれたものです。

●「さらに、 0 ≦ x ≦ Pi/2 のときには cos(x) ≧ 0、 0 ≦ t ≦ 1 だから」

●「x が他の範囲にあるときには、対応する t の範囲と sin(x)、 cos(x) の符号に気をつけて計算する必要がある。」

などと書かれていますが、間違っています。

平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。

ところが、 x の値によらず、 cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2) ですから、そんな心配は無用です。

計算は以下です：

cos(x) = 2 * (cos(x/2))^2 - 1 = 2 / (1 + (tan(x/2))^2) - 1 = 2 / (1 + t^2) - 1 = (1 - t^2) / (1 + t^2)

http://imgur.com/6T38liA.jpg
http://imgur.com/C7s12eU.jpg
http://imgur.com/G4oYRph.jpg

「点 P(t) の軌跡 C を曲線という」式の定義をしている足立恒雄さんの定義ではやはり駄目ですね。

同じ曲線 C の長さが計算方法によって異なる長さになってしまいますから。

[0, 2*π]
(cos(t), sin(t))

[0, 2*π]
(cos(2*t), sin(2*t))

とかいう例もありますね。

馬鹿っぷりがわかる書き込み

369 １３２人目の素数さん 2016/08/15(月) 04:48:07.69 ID:nsWW7UjZ
http://imgur.com/UFufuoc.jpg
http://imgur.com/zVRSJsQ.jpg

↑は、 sin(x), cos(x) の有理式を積分する方法について書かれたものです。

●「さらに、 0 ≦ x ≦ Pi/2 のときには cos(x) ≧ 0、 0 ≦ t ≦ 1 だから」

●「x が他の範囲にあるときには、対応する t の範囲と sin(x)、 cos(x) の符号に気をつけて計算する必要がある。」

などと書かれていますが、間違っています。

平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。

ところが、 x の値によらず、 cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2) ですから、そんな心配は無用です。

計算は以下です：

cos(x) = 2 * (cos(x/2))^2 - 1 = 2 / (1 + (tan(x/2))^2) - 1 = 2 / (1 + t^2) - 1 = (1 - t^2) / (1 + t^2)

たぶんこいつ何がおかしいのか気付いてない

>>369

わざわざ、

tan(x) = 2*tan(x/2) / (1 - (tan(x/2))^2)
(cos(x))^2 = = 1 / (1 + (tan(x))^2)

を使って、 cos(x) を計算しているが、どういうセンスをしているのかと言いたい。

cos(x) = 2 * (cos(x/2))^2 - 1 = 2 / (1 + (tan(x/2))^2) - 1 = 2 / (1 + t^2) - 1 = (1 - t^2) / (1 + t^2)

と計算すればいいだけの話。

>>407
自分の理解力の無さをセンスの問題にすり替えるのはまあ別にいいとして、いったいどこに「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」と言われてるのでしょうか

http://imgur.com/NYIq1GF.jpg
http://imgur.com/YKcw7lz.jpg
http://imgur.com/PNClYn2.jpg

↑杉浦光夫をまた見てみました。

見ただけで読んでいませんが、

>>400

の疑問に答えているようですね。

評判がいいだけあって、杉浦光夫の本は「痒い所に手が届く」いい本ですね。

http://imgur.com/abRmBLb.jpg

↑の一松信の定義だと、軌跡 C は同じだけど、曲線としては異なるのだから、
長さが異なっていても問題ない、というような態度ですね。

杉浦は一歩踏み込んでいて良心的ですね。

自分の不都合な事実からは目を背けただひたすらに主張を続けるあたり、貴方には議員が向いてますね
もしかしてあなた元都知事ですかい？

mapを「曲線」と呼ぶなら足立流で問題ないが、軌跡（点集合）を「曲線」と呼ぶなら
map依存のまま話を続けるか、map依存しないことを示さないとダメだな

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>>407
>>411
いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

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http://imgur.com/YfjSyK3.jpg
http://imgur.com/W3tkHDV.jpg
http://imgur.com/JAglcbB.jpg
http://imgur.com/uZB1jpe.jpg

↑は例の京都大学名誉教授の本に載っているワイエルシュトラスの多項式近似定理の証明です。
非常に面白い定理ですね。

f(x) = x (0 ≦ x ≦ 1/2)
f(x) = -x + 1 (1/2 ≦ x ≦ 1)

という関数に対して、定理の証明での構成法により P_n(x) を求めることを考えます。

ε = 0.01 と控えめに設定します。
M = 1/2、 δ=ε とすればＯＫです。

M / (δ^2 * ε) < n に代入して、 n を求めると、

(1/2) / (0.01)^3 = 50万 < n

となっていまいとても実用的とは言えません。

ということでおそらく実用上は役に立たない定理かと思います。

それでは、この定理は、理論的には、どんなところで役に立つのでしょうか？

単なる面白い定理というだけの定理なのでしょうか？

ε = 0.1 ともっと控えめに設定します。
M = 1/2、 δ=ε とすればＯＫです。

M / (δ^2 * ε) < n に代入して、 n を求めると、

(1/2) / (0.1)^3 = 500 < n

これなら Mathematica に計算させてグラフを描けます。

ということで、 Mathematica にグラフを描かせてみました。

定理の証明での不等式には余裕があると思いますので、実際、どの程度の近似多項式が得られるのか興味深いところです。

↓のグラフを見て、その近似度の高さに驚きました。証明では余程贅沢に不等式を使っているんですね。

http://imgur.com/5ukhO16.jpg

>>428
>>407
>>411
いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

>>429
>>407
>>411
いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

>>429
>>369
>>407
いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

ゴミ

松坂和夫著『解析入門3』には集合論の初歩が含まれています。

R を関係としたときに、 R 左閉集合、 R 右閉集合というのが登場します。
R 閉集合の間のガロア対応というのも登場します。

微分積分と何の関係があるのだろうかと思ってしまいます。
何か関連があるのでしょうか？

new math が流行ってた時代の衒学趣味じゃないかな

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>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5535 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 18:53:14 ID:???
> ￥
>
>5536 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 21:08:24 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5537 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 21:25:44 ID:???
> ￥
>
>5538 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:23:07 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5539 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:41:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5540 ：名無しさん ：2016/08/14(日) 00:05:47 ID:???
> かつて僕（増田哲也、痴漢で逮捕）が大阪大学基礎工学部の学部学生であった時、大学院の指導教官となってくれそうな先生を
> 探して各地のいろんな先生方を訪ねて回った時の事である。理論物理学を大学院で専攻しようとして理
> 論物理学の初歩をかじっていた僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は、当時京都大学数理解析研究所に居られた超一流の理論物理学者で
> おられる中西先生にこんな質問をした事がある。
>
> 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　： 「理論物理学では円周率が様々な所に出てきますが、それには何か深い物理的な理由があるの
> でしょうか？」
>
> 中西先生： 「そういう事を何時も頭の片隅に置いておくのはとても大切な事です。でもそんな事ばかり
> 考えていたら研究論文が書けなくなります。研究者とはそんな甘いものではありません。」
>
> 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　： 「は−そうなんですか−」
>
> 結局僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は京都大学の中西先生ではなく、別の先生に大学院の指導教官になって頂き、理論物理学ではな
> く純粋数学を専攻した。しかしこの時の中西先生のお言葉は今でも何となく「気になって」いる
>
>5541 ：名無しさん ：2016/08/14(日) 00:22:38 ID:???
> いい加減、芳雄に謝罪しろ
>

>>436

ありがとうございます。

集合・位相とか線形代数とか必要なことはすべて内容に含まれているというのは、
いいのですが、この部分は、脱線しすぎなのかもしれません。

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>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5535 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 18:53:14 ID:???
> ￥
>
>5536 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 21:08:24 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5537 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 21:25:44 ID:???
> ￥
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>5538 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:23:07 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5539 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:41:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
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>5540 ：名無しさん ：2016/08/14(日) 00:05:47 ID:???
> かつて僕（増田哲也、痴漢で逮捕）が大阪大学基礎工学部の学部学生であった時、大学院の指導教官となってくれそうな先生を
> 探して各地のいろんな先生方を訪ねて回った時の事である。理論物理学を大学院で専攻しようとして理
> 論物理学の初歩をかじっていた僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は、当時京都大学数理解析研究所に居られた超一流の理論物理学者で
> おられる中西先生にこんな質問をした事がある。
>
> 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　： 「理論物理学では円周率が様々な所に出てきますが、それには何か深い物理的な理由があるの
> でしょうか？」
>
> 中西先生： 「そういう事を何時も頭の片隅に置いておくのはとても大切な事です。でもそんな事ばかり
> 考えていたら研究論文が書けなくなります。研究者とはそんな甘いものではありません。」
>
> 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　： 「は−そうなんですか−」
>
> 結局僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は京都大学の中西先生ではなく、別の先生に大学院の指導教官になって頂き、理論物理学ではな
> く純粋数学を専攻した。しかしこの時の中西先生のお言葉は今でも何となく「気になって」いる
>
>5541 ：名無しさん ：2016/08/14(日) 00:22:38 ID:???
> いい加減、芳雄に謝罪しろ
>

>>429
>>369
>>407
いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

>>428
>>429
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>>407
いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

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いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

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いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

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>>429
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いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

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いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

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>>429
>>369
>>407
いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

>>49
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いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

>>10
>>429
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いったいどこをどう読み取れば「平たく言えば、 x の値によっては、 cos(x) = - (1 - t^2) / (1 + t^2) になることがあるから注意せよということを言っています。」となるのでしょうか

f(x),g(x)∈Q[x]で
f(x)(x^3-2)+g(x)(x^2+2x+2)=1をみたすf,gをどうやって見つければいいですか？

ユークリッドの互除法で求まります。

f(x)(x^3-2)+g(x)(x^2+2x+2)

A := x^3 - 2
B := x^2 + 2*x +2
C := x + 1/2

とおく。

A = (x - 2)*B + (4*x + 2) = (x - 2)*B + 4*(x + 1/2) = (x - 2)*B + 4*C
B = (x + 3/2)*C + 29/16

29/16 = B - (x + 3/2)*C
4*C = A - (x - 2)*B

29/4 = 4*B - (x + 3/2)*4*C = 4*B - (x + 3/2)*{A - (x - 2)*B} = -(x + 3/2)*A + {4 + (x + 3/2)*(x - 2)}*B

29/2 = -(2*x + 3)*A + {8 + (2*x + 3)*(x - 2)}*B = -(2*x + 3)*A + (2*x^2 - x + 2)*B

1 = (-2/29)*(2*x + 3)*A + (2/29)*(2*x^2 - x + 2)*B

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>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
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>5535 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 18:53:14 ID:???
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>5536 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 21:08:24 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
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>5537 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 21:25:44 ID:???
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>5538 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:23:07 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5539 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:41:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5540 ：名無しさん ：2016/08/14(日) 00:05:47 ID:???
> かつて僕（増田哲也、痴漢で逮捕）が大阪大学基礎工学部の学部学生であった時、大学院の指導教官となってくれそうな先生を
> 探して各地のいろんな先生方を訪ねて回った時の事である。理論物理学を大学院で専攻しようとして理
> 論物理学の初歩をかじっていた僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は、当時京都大学数理解析研究所に居られた超一流の理論物理学者で
> おられる中西先生にこんな質問をした事がある。
>
> 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　： 「理論物理学では円周率が様々な所に出てきますが、それには何か深い物理的な理由があるの
> でしょうか？」
>
> 中西先生： 「そういう事を何時も頭の片隅に置いておくのはとても大切な事です。でもそんな事ばかり
> 考えていたら研究論文が書けなくなります。研究者とはそんな甘いものではありません。」
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> 　僕（増田哲也、痴漢で逮捕）　： 「は−そうなんですか−」
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> 結局僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は京都大学の中西先生ではなく、別の先生に大学院の指導教官になって頂き、理論物理学ではな
> く純粋数学を専攻した。しかしこの時の中西先生のお言葉は今でも何となく「気になって」いる
>
>5541 ：名無しさん ：2016/08/14(日) 00:22:38 ID:???
> いい加減、芳雄に謝罪しろ
>

>>451
f,gはどこですか？

f(x) = (-2/29)*(2*x + 3)
g(x) = (2/29)*(2*x^2 - x + 2)

です。

>>454
ありがとうございます。ユークリッドの互除法ですね

何してるのか意味不明ですが、とりあえずモニック多項式として求まりませんか？

A ÷ B = (x - 2) 余り 4*C
B ÷ C = (x + 3/2) 余り 29/16

という計算をしているだけです。

>>457 余り4Cですか？