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↑は例の京都大学名誉教授の本に載っているワイエルシュトラスの多項式近似定理の証明です。
非常に面白い定理ですね。

f(x) = x (0 ≦ x ≦ 1/2)
f(x) = -x + 1 (1/2 ≦ x ≦ 1)

という関数に対して、定理の証明での構成法により P_n(x) を求めることを考えます。

ε = 0.01 と控えめに設定します。
M = 1/2、 δ=ε とすればＯＫです。

M / (δ^2 * ε) < n に代入して、 n を求めると、

(1/2) / (0.01)^3 = 50万 < n

となっていまいとても実用的とは言えません。

ということでおそらく実用上は役に立たない定理かと思います。

それでは、この定理は、理論的には、どんなところで役に立つのでしょうか？

単なる面白い定理というだけの定理なのでしょうか？