>>470

証明は以下のように確かに簡単です。

ですが、定理2の「系」ですから、定理2の結果を使って証明するのが筋ではないでしょうか？

「系」というより類似の定理というのが正しいのではないでしょうか？

【証明】：

I ⊂ Z^+ と仮定してよい。

おのおのの X_i がたかだか可算であるから、その元に番号をつけて

X_i = {x_i1, x_i2, x_i3, …, x_ij}

または

X_i = {x_i1, x_i2, x_i3, …, x_ij, …}

と表示することができる。そうすれば、 ∪_{i∈I} X_i の任意の元はある (i, j) ∈ (Z^+) × (Z^+)
によって x_ij と表わされるから、 (i, j) に x_ij を対応させる写像は A × B ⊂ (Z^+) × (Z^+) から
∪_{i∈I} X_i への全射となる。 ∪_{i∈I} X_i および A × B は明らかに無限集合である。定理1によって
(Z^+) × (Z^+) は可算である。 A × Bは可算集合 (Z^+) × (Z^+) の無限部分集合であるから可算である。
したがって、命題3により ∪_{i∈I} X_i は可算である。

【証明終わり】