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↑は松坂和夫著『解析入門3』です。

命題5の(b)の証明が分かりにくくないですか？
X ∩ A = φ と仮定してよい理由が分かりにくいです。

なぜ↓のように書かなかったのでしょうか？

命題5の(b)：
X が無限集合、 B がたかだか可算な集合ならば、 X ∪ B は X と対等である。

【証明】
A := B - X とおく。
X ∪ A = X ∪ (B - X) = X ∪ B である。
A ⊂ B かつ B はたかだか可算だから、 A もたかだか可算である。
X は無限集合だから、 X ∪ A も無限集合である。

X ∩ A = X ∩ (B - X) = φ であるから、
(X ∪ A) - A = X である。

(a) によって (X ∪ A) - A 〜 X ∪ A となる。

(X ∪ A) - A = X
X ∪ A = X ∪ B

であるから、

X 〜 X ∪ B である。

【証明終わり】