http://imgur.com/wWSnXFV.jpg
http://imgur.com/W8DFQe1.jpg

↑は松坂和夫著『解析入門3』のBernsteinの定理の証明ですが、分かりにくくないですか？

↓のように書けば分かりやすいですよね？

X_0 := X - g(Y)
X_α := {x | x = (g○f)^n(u), n ≧ 0, u ∈ X_0}
Y_α := f(X_α)
X_β := X - X_α
Y_β := Y - Y_α

とおく。

まず、

（Ａ）g(Y_α) = X_α - X_0

を示そう。

x ∈ g(Y_α) とする。
x = g(y), y ∈ Y_α = f(X_α) と書ける。
x = g(f(x')), x' ∈ X_α と書ける。
x' ∈ X_α だから x' = (g○f)^n(u), n ≧ 0, u ∈ X_0 と書ける。
x = g(f(x')) = (g○f)(x') = (g○f)^(n+1)(u), n ≧ 0, u ∈ X_0 と書ける。
よって、
x ∈ X_α である。
また、
x = g(f(x')) ∈ g(Y) であるから、 x ∈ x_0 = X - g(Y) ではない。

したがって、

x ∈ X_α - X_0

である。

x ∈ X_α - X_0 とする。
x ∈ X_0 ではないから、
x = (g○f)^n(u), n ≧ 1, u ∈ X_0 と書ける。
x = g○(f((g○f)^(n-1)(u))), n ≧ 1, u ∈ X_0 と書ける。

(g○f)^(n-1)(u) ∈ X_α
f((g○f)^(n-1)(u)) ∈ f(X_α) = Y_α

であるから、

x = g○(f((g○f)^(n-1)(u))) ∈ g(Y_α)

以上より、 g(Y_α) = X_α - X_0 である。