次に、

（Ｃ）g(Y_β) = X_β

であることを示そう。

x ∈ X_β とする。
x ∈ X_α ではない。
x ∈ X_0（⊂ X_α） ではない。
x ∈ g(Y) である。

よって、

x = g(y), y ∈ Y となる y が存在する。

もしも、 y ∈ Y_α ならば（Ａ）より、
x = g(y) ∈ X_α となり、 x ∈ X_β に矛盾する。
よって、 y ∈ Y_β である。

以上より、

x = g(y), y ∈ Y_β となる y が存在する。

したがって、 x = g(y) ∈ g(Y_β) である。

これで、 g(Y_β) = X_β が示された。