三角関数の厳密な定義は、

級数を使ったもの
積分を使ったもの
微分方程式を使ったもの

のほかにどういうものがありますか？

ラングの『Undergraduate Analysis』という本では、

f’= g
g’= -f
f(0) = 0
g(0) = 1

を満たす (-∞, +∞) で定義された関数 f, g の存在を仮定して、その一意性を証明し、

sin := f
cos := g

と定義しています。 f, g の存在はその後の級数を扱っている章で証明しています。

これだけのことから、次々と、 f, g の性質を導き出していて大変面白いです。