Zornの補題の証明ですが、読んでいると、証明が正しいか正しくないかのチェック作業に
なってしまっていて、正しいことを確認したとしても、勉強にならないような気がします。

Zornの補題の証明を考えた人はどうやってこの証明を考えたのでしょうか？

松坂和夫の解析入門3にはBourbakiの証明が載っています。