>>739

可算集合の場合に選択公理が必要ない理由は何ですか？

松坂和夫の『解析入門3』の場合、証明は以下の流れになります。


■補題1：

A は強い意味で帰納的な順序集合とし、 f : A → A を増加写像とする。
そのとき
x = f(x)
となる x ∈ A が存在する。

（注）
A が強い意味で帰納的な順序集合とは、 A の空でない任意の全順序部分集合が
A の中に上限をもつことです。

増加写像とは、すべての x ∈ A に対して、 x ≦ f(x) となる写像です。


■補題2：

強い意味の帰納的順序集合 A は極大元をもつ。

■定理1：

帰納的順序集合は（少なくとも 1 つ）極大元をもつ。