例えば、松坂和夫の『解析入門3』での証明の場合、

選択公理を使わない補題1の証明が一番難しいところです。

補題1の証明を読んで、補題2を証明せよと言われれば、
それほど難しいことではないかもしれません。

選択公理の使いどこでどう使うかはそんなに難しくないかと思います。