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うーむ。重症だな。

今、n円をもっている状態で、破産に向かってゲームを始めるとき
最初のゲームでは勝つか負けるかのどちらかであり、
勝つ（確率p）ときは、n+1円をもって破産する状態に移るか、
負ける（確率q=1-p）ときは、n-1円を持って破産する状態に移るかのどちらか。

多分、君の頭のなかでは、つぎのゲームでまたn円を持った状態に移り得るので
（n-1円を持った状態でゲームに勝つか、n+1円を持った状態でゲームに負ける）
最初のn円をもった状態と、2ゲームを経てn円を持つ状態が生まれる。
1回目のゲームの後で単純に和を取るだけでは2回目以降でｎ円をもつ状態を加味していないので・・・
と考えているのかな？

この問題で使われている確率　a(n)　とは、そのようなあり得るすべての状態を全部加味して
n円を持っているときに破産する確率なのだ。
だからもしそのような状態の移り変わりのあり得るパターンを全部考えていく、などということになると
n→n+1→n、n→n+1→n+2→n+1→n、n→n+1→n+2→n+1→n+2→n+1→n、・・・
のように、再びn円を持つ状態に戻ってきて無限の繰り返しを考えることになってしまう。
それを一言で処理するならば、一回勝って、あとは確率a(n+1)で破産するか
一回負けて、あとは確率a(n-1)で破産するかのどちらか、ということになる。