https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%EF%BC%9D%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

（バナッハ・タルスキの定理の）証明は本質的に4つのステップに分かれる。

1.2つの生成元を持つ自由群F_2の「パラドキシカルな分割」を見つける。
2.自由群F_2と同型な3次元の回転群（の部分群）を見つける。
3.2で作った回転群のパラドキシカルな分割と選択公理を用いて2次元球面の分割を作る。
4.3の2次元球面の分割を3次元球の分割に拡張する。

生半可な世間一般の常識に反し、バナッハ・タルスキの本質は、
1.の自由群F_2の「パラドキシカルな分割」にある

選択公理は、回転群に適用する際に現れるに過ぎず
逆説の本質にかかわるものではない