👿バナッハ・タルスキの定理のような逆説的で面白い話👿

聞かせてくれ

>>32
そう言うことですね
猿が醜い醜い
死ねば良いのにｗ
猿は落ち着いた風を装ってデタラメをくっちゃべって
ケムに巻けば勝ちだとか思ってるｗ

ウソつき猿のデタラメはおいといて
バナッハ・タルスキーの本質は上に書いたとおり
コンパクトな立体なのに体積の無いもの（体積が原理的に測れないもの）が存在すると言うことが
選択公理を仮定すると証明出来てしまうと言う点にある。
この部分が無いなら
1=2はい矛盾、選択公理は間違いなことが示せました。
これが言えたはずなのだ。
そうはならずに選択公理が否定されずに
バナッハ・タルスキーのほうが逆理と呼ぼれたのは
コンパクトなのに体積の存在しないとんでもない立体が選択公理を仮定すると作れてしまうからだ。
ウソつきの猿はおいといて、当然これが本質ｗ

>>42

>>43

それはお前らだよ猿ｗ
自己投影、自己紹介は猿の常套手段ｗｗｗ

>>48
その言い方だと
「コンパクトがパラドックスの本質！」
みたいに聞こえるなあｗ

例えば、RをZで割って
可算個の部分集合のコピーで全体を成すのは
全然パラドックスでもなんでもなくて
S1をZ(例えば円周上のある有理点にとって構成される回転全体）で割って
可算個の部分集合のコピーで全体を成すのは
完全なパラドックスってことっすか？

改めて聞くけど、なんで？

>>50
この場合は正しくそうだよ。
途中に無限大の過程が挟まったら
♾＝2×♾
なんてのは数学としては別段不思議ではないし
仮にそれが不思議だ、逆理だと言うとしても、
わざわざバナッハ・タルスキーを持ち出す理由に全然なってない。
バナッハ・タルスキーの不思議さは
コンパクトなのに体積が測れないものがある、この点に尽きる。
このため途中に無限大が全然絡まないのに1=2なんてことが
言えても矛盾にならないんだから。

まあもう少し正確に言うと
1=2が言えたことにならないって結論になるから
矛盾を導き出せてないってことになるってことだろうがね。

>>51
＞途中に無限大の過程が挟まったら

コンパクトでも挟まるけどねｗ

だって球面の点は非可算無限個あるよね？
回転群の要素も非可算無限個あるよね？
F2の要素は可算無限個だよね？

おもいっきり挟まってんじゃんｗ

>>52
非可測ってことで逃げただけ

別にいいけどさ

測度とかコンパクトとか結局ただの都合じゃん

それが思惑どうりに行かなかったってことだろ？

>>53
？
体積がコンパクトだって話しだよ猿
あるいは三次元的に有界だってこと
どこかの部分が三次元的に無限大に伸びてたりとか
そういう事が起こってないってこと
にもかかわらず体積が原理的に測れない立体がある
これがバナッハ・タルスキーの逆理で本質的な役割を果たす

>>53
一対一対応の話しと測度の話しとを
意図的に混同しようとしてるだろ猿？
まあいつもの猿の常套手段ですなｗ
デタラメ言ってケムに巻けば勝ちだと思ってるだろお前ら猿は？

>>54
＞体積がコンパクトだって話しだよ

コンパクトって位相の性質だけどね　知らなかった？

コンパクトな空間の測度を有限にしたいってことでしょ？

でも合同変換群がF2のような逆説的な群を部分群として含むと
非可測集合が上手くいかない

ノンコンパクトでも全体の測度を有限にしようとした場合
合同変換群が逆説的な部分群を含むと上手くいかないが
その場合には、選択公理をつかわなくても説明できる

コンパクトの場合は逆説的な部分群で割った集合が
大体位相的にヘンチクリンなことになってるってことでしょ

あんたやっぱり肝心なこと全然わかってないね

１の長さの線分と２の長さの線分との間には
一対一対応付けられるよ。
でも
ルベーグ測度１の線分の測度＝ルベーグ測度２の線分の測度
になったら矛盾だぞ猿ｗ

>>56
分かってないのはお前だよ猿ｗ
>>54でいいよバーカｗ

>>58
今日のトンデモ発言

「体積がコンパクト」

ｗｗｗｗｗｗｗ

「空間がコンパクトで、体積が有限」っていえよ　🐎ぁぁぁぁぁ🦌ｗ

>>59
体積がコンパクトはおかしかったな確かに
三次元的にコンパクトってことだよ猿ｗ

>>60
＞三次元的にコンパクトってことだよ

まだオカシイ

コンパクト＝有界って意味で言ってるみたいだけどね

数学科のヤツらなら「有限開被覆がとれる」っていう意味で使うぞ

で、そこんところが
「ノンコンパクトだとナイーブなイメージで
　パラドックスの構築が上手くいくのが
　コンパクトだとそう簡単にいかない」
最大の理由だってことはわかるか？

>>61
>数学科のヤツらなら「有限開被覆がとれる」っていう意味で使うぞ
多分正しく理解はしている人だろうと思いたいが
本当にこう言ったら院試で落とされるからな

>>61
定義が違うんだから同じじゃ無いが
今の場合は本質的には同じことだろ
まあ話し逸らすのに必死だな猿はｗ
そんなだから猿呼ばわりなんだよお前はｗ

>>62
どういうこと？

>>62
正確には「任意の開被覆から有限な部分被覆をとることができる」

>>63
君がどういう定義で言ってるか知らんから君の定義を書け
何が本質か君が分かってる保証もないしな

おまえ、出身学科どこだよ　数学科じゃないだろ？

どうせ「任意の」開被覆から有限「部分」被覆がとれる、的な揚げ足取りじゃない？

>>65
こらこら二匹目の猿ｗｗ

猿が話し逸らすのに必死だなｗ


そんなだからお前らは猿呼ばわりなんだよ猿ｗｗ





　

バナッハ・タルスキーの逆理の本質は
選択公理を仮定すると
三次元的にコンパクト／三次元的に有界な立体で
体積が測れないものが存在すると言う点にある。

だから一見、1=2 → 矛盾だ！的に見えるが、
証明においてルベーグ非可測集合の存在を避けて通ることが出来ないから
不思議だが矛盾ではない

これがバナッハ・タルスキーの逆理の本質





　

>>69
ありゃ、立体に固執してるんだｗ

そもそも本来の例は球面だろ？

まあ、立体にもできるけどな

なんかF2の逆説性とか分かってなさそうだし

SO3(R)にF2がどう入るかも分かってなさそう

ただわけもわからず「センタクコウリ！」っていえば
利口ぶることができると思ってそうｗｗｗｗｗｗｗ

猿が醜い
醜過ぎるｗ

>>71
必死だなｗ
あんた学科どこ？数学科じゃないだろ？

双曲全平面版も「一つのバナッハ-タルスキーパラドックス」
と考えてるひとは世の中に間違いなくいるわけでしょ。
（論文も出ているし、本にも載っている。）

コンパクトでも有界でもないんだが。

自慢じゃないけど、わたしは全く自分で思いついたけどねｗ

調べたら論文まで出ているのに驚いた。
（予想はしていたが、意外に新しいことに驚いた。）

「コンパクトだから凄いんだ」という意見は一理はあるけどね。
（多分、測度論とかやってるひとじゃないかな。）

「代表系が具体的に見える」とか「結局どういうことが起きているか」
とかの理解には双曲幾何版にも意味はあると思う。

>>48
>バナッハ・タルスキーの本質は上に書いたとおり
>コンパクトな立体なのに体積の無いもの（体積が原理的に測れないもの）が存在すると言うことが
>選択公理を仮定すると証明出来てしまうと言う点にある。

て言ってるけど、コンパクトなのは球面（または球体）であって
途中で出てくる分割された非可測集合は全然コンパクトじゃないよね。
有界なだけ。

まさか測度論に拘りあるぽいひとが、そんな初歩的な間違いするわけないというのは買い被りか？
分割した際に測度の加法性が成立しないってだけだよね。
球体に関しては体積1と2は間違いなく成立している。
ただし、一旦分割したとき非可測集合になっているので加法性が成立せず
合同変換群を作用させたあとくっつけて2倍の球体を得ても
1と2をイコールで結べないってことだよね。

はっきり言って「猿、猿」言うのも哀れすぎ。
社会性がないのか、掲示板では何言ってもいいと思ってるのか
知らないけど、５ｃｈでさえ、これだけ社会性のないひとは
珍しいでしょ。数学科かどうかとか言う以前の話。

>>74
>自慢じゃないけど、わたしは全く自分で思いついたけどねｗ

さすがだね　ま　タネを理解したら自明だけど
そもそもタネを理解してる人って少ないからねえ

大学どこ？数学科だよね？

>>77　ま、いわせとけばいいじゃん　恥かくの自分だし

これは自分自身に対する反省としていうんだけど

さして難しいとはいえない事柄なのに
理解する人が少ないというのは
結局その事柄を理解しようという意欲が
低いからなんだよね

>>73
> 双曲全平面版も「一つのバナッハ-タルスキーパラドックス」
これはちょっと変じゃない？

ちょっと調べてみたところでは、空間全体を選択公理を使わずにパラドキシカルに分割する話は、例えばR^2を分割するのが、Sierpinski-Mazurkiewicz Paradoxとか呼ばれているもので、
論文は1914で、そういったものを踏まえた上でのBanach-Tarskiの1924の論文じゃないの。
それの双曲空間バージョンでしょ。

Banach-Tarskiのパラドックスと無関係とは言わないけど。

ユークリッド空間内の有限の大きさのものが2つに増えるというのが
このパラドックスの不思議さのミソじゃないの

>>78
大学名はちょっと...笑
別に大学はあまり関係ないんですよ。
もともとパラドックス系の話に興味があったわけでもなく
バナッハ-タルスキーのことを知ったのも随分後なんですよ。
たまたまF_2のことをよく考えていて
これって、上半平面で考えたら代表系は
選択公理必要なく具体的に取れて
簡単だよねと思っただけです。

>>81
歴史的経緯はよく知りませんが、単純に洋書の専門書に
A Banach–Tarski Paradox of the Whole Hyperbolic Plane.
という項があるし、関連論文も書かれてますね。

>>83
>大学名はちょっと...笑

あやしい・・・さてはＴ大か？（冗談

>別に大学はあまり関係ないんですよ。

うん、大学のカリキュラムに関係ないという意味ではその通り
別にどこの大学の出身者が気づいてもおかしくはない

単に知能と関係があるかもしれんと思って聞いたまで
知能そのものはわからないので出身大学で推定しようというわけ

別に知能が高いから偉いとか、低いからダメだとかいうつもりはない
ただ数学がわかるか否かと、知能の高低は相関がある・・・残念ながら
（時にこの板で「罵倒」するのは、数学が分かってないくせに
　分かった風な口をききたがる「反数学テロリスト」を抹殺したいから
　別に数学を破壊するテロを行わないなら
　知能指数がどんなに低かろうが構わない
　え？高かったら？そりゃ怠慢だろ！勉強しろよ！ｗ）

>たまたまF_2のことをよく考えていて
>これって、上半平面で考えたら
>代表系は選択公理必要なく具体的に取れて
>簡単だよねと思っただけです。

まあ、そうだよね　あなたのいいたいことはよくわかる
そして、なんで上半平面だと上手くとれるかといえば
やっぱりコンパクトではないからなんだろうと思っている
コンパクトだったら簡単に取れないだろうなと
ま、証明したわけではないので、私の予想にすぎませんが

少し認識が深まったのは、「非可測集合だから測度の加法性が成立しない」
というよりも、むしろ選択公理を仮定すると測度の（可算または有限）
加法性が成立しない集合の存在が言えてしまうことから
そのような集合を「可測集合の族から除外しておくことにする」
というのが正しいのかな？

そしてヴィタリ集合は可算加法性をみたさないのに対して
バナッハ-タルスキーは有限加法性をみたさない例を作った
しかもユークリッド平面では存在せず、3次元では
存在するのは、測度を不変にする変換群が強い非可換性
を持つ部分群を含むという代数的性質が寄与している
というのが驚きなのだろう。

>>85
>コンパクトだったら簡単に取れないだろうなと
>ま、証明したわけではないので、私の予想にすぎませんが
コンパクトということは体積有限ということから
選択公理のもとに同様に非可測集合の存在が言えるはず。
→ソロヴェイの定理「R上のルベーグ非可測集合の
存在は、ZF（+可算選択公理）では証明できない」
が拡張できるならば
「代表系が簡単には取れない=ZFでは構成できない」
の意味で証明されるのでは。
このあたりの話詳しくないので、誤解・穴があるかもしれませんが。

確かに簡単な話とは思えませんね。

動中

「ヘンペルのカラス」は「全てのカラスは黒い[注釈 1]」という命題を証明する以下のような対偶論法を指す[1]。

「AならばBである」という命題の真偽は、その対偶「BでないものはAでない」の真偽と必ず同値となる[2][3][4]。全称命題「全てのカラスは黒い」という命題はその対偶「全ての黒くないものはカラスでない」と同値であるので、これを証明すれば良い[2][3]。そして「全ての黒くないものはカラスでない」という命題は、世界中の黒くないものを順に調べ、それらの中に一つもカラスがないことをチェックすれば証明することができる[3]。

つまり、カラスを一羽も調べること無く、それが事実に合致することを証明できるのである[2][3]。これは日常的な感覚からすれば奇妙にも見える[2][3]。

こうした、一見素朴な直観に反する論法の存在を示したのが「ヘンペルのカラス」である。

集合の要素かどうかだけなら補集合を調べても同じ
これが不思議なのかな〜

ここもまだ残ってたか

test

ワインの樽好き

選択公理って無意識のうちに使うもの

>>89
どうでもいいけど、全ての黒くないものって無限にありうるので
たぶん証明不可能。全てのカラスを調べたほうが手っ取り早い。

バナッハ・タルスキ周辺に興味あるなら
Stan Wagon「The Banach–Tarski Paradox」2nd Ed. 2016
まだ読み始めたばかりですが、これいい感じですよ。基礎論の前提知識はそんなになくても読め進められます。

2章 The Hausdorff Paradox にて K.Sato (佐藤健治) による Sato-rotations てのが出てきます。
これを使って「3次元以上のSO(Q)に 次数2の自由群 が含まれる」を証明します。その先も何箇所か Sato氏への言及があります。
NagataやKodairaみたいなレジェンド級以外で 日本人名を見かけるのは稀なのでちょっと驚きました。

＞バナッハ＝タルスキーのパラドックス: 球を適当に分割して、組み替えることで、元と同じ球を2つ作ることができる。

これが正しいとされる世界ならもっととんでもないことまで証明されてしまって数学が破綻しないのか？って
思えるんだけど。。