問題投下（良かったら解いてみてくれ）

4以上の整数nを任意にとる。
以下の条件をみたす整数係数の多項式が存在することを証明せよ。
(1)　n=deg{f(x)}
(2)　f(x)はモニックかつ既約(整数の範囲で)である。
(3)　任意の整数mに対して|f(m)|の値は合成数となる。
(4)　f(x)をf(x)=x^n ＋a(n-1)・x^(n-1) ＋a(n-2)・x^(n-2)＋ …＋a(0)と書き下す。
このときgcd(a(n-1),a(n-2),…,a(0) )=1がいえる。

実は、(4)は付け足しで、条件(1),(2),(3)だけだと下記のEisensteinの既約判定法を用いると、
結構簡単にできてしまうので。

Eisensteinの既約判定法
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%97%A2%E7%B4%84%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95