純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）16

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）16
クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）15
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1691376403/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1687778456/
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋8
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1691974658/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 69
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1688883767/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

つづく

>>227
ばばあ、残り4時間だぞ

循環実数列とは
s=(a_i), (a_i∈\mathbb{R},i∈ \mathbb{N}) であって
ある自然数N,正整数mが存在して
N≦i,j　i≡j (mod m) なるすべてのi,jに対して
a_i=a_j　をみたすものとする。
このような数列の全体Sに、箱入り無数目と同じ定義で
同値関係を入れる。

このとき、S/〜 の代表系としては
循環が最初から始まるもの、すなわち
上記においてN=0 をみたすsの全体を取ればよい。
これが確かに代表系になっていることは1への演習問題。
このように代表系が書き表されるので
選択公理は必要ない。

なお、S/〜の濃度は非可算である。

>>193に書いた選択公理なしで成立する
「あるバナッハ-タルスキー逆理」における代表系も
非可算集合である。具体的には、ZFで構成可能な
双曲平面内のある領域内の点集合の全体になる。
わたしは自分で気づいたけど、気づかないなら
本を買うか借りてきて読めばぁ？ｗ

>>231
なぜ>>189に答えず逃げるのですか？

>>231
>・結局、game1では、uncountably(非可算)、game2では、only countably many(可算)
>　だから、game2では、フルパワー選択公理→可算選択公理で済むってことですよ
はい、大間違いです。
Game2では選択公理が不要な理由が説明されています。
「Because there are only countably many sequences x ∈ {0,..., 9}^N that Player 1 may choose (namely, those x that become eventually periodic), we can order them—say x^(1), x^(2),..., x^(m),...—and then choose in each equivalence class the element with minimal index (thus F(x) = x^(m) iff m is the minimal natural number such that x ∼ x^(m)).」

君これが読めないの？なら中学英語からやり直し

>>235
婆、残り三時間だ

>>211
>>>200
>>「無限族として独立」ならば、選択公理は偽となります？
>>あほか　そんなわけないだろ！
>Gabay-O'connorの定理によれば、
>選択公理は「無限族としての独立性」を否定する

下記貼るよ
やっぱりアホじゃね？

https://digitalworks.union.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1042&context=theses
Union | Digital Works
Honors Theses Student Work 6-2017
Choice of Choice: Paradoxical Results Surrounding of the Axiom of Choice
Connor Hurley Union College - Schenectady, NY March 15, 2017

P6
2.3 The Gabay-O'Connor Theorem

2.4 Lenstra's Theorem
Let's look at an extension of the Gabay-O'Connor Theorem.
But if we extend the Gabay-O'Connor Theorem
without guaranteeing a certain number of correct guesses we can arrive at Lenstra's
Theorem, as stated below.

>>235
残り一時間だ、婆

>>238
なぜ>>189に答えず逃げるのですか？

>>240
成立派敗北決定

>>241　不成立派脳内勝利宣言

>>242
この板から消えろ

>>243　君が消えなよ　猿

証明は示された
反例は示されなかった
これがどういう意味かも分からない阿呆こそ数学板から消えるべき

>>238
>https://digitalworks.union.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1042&context=theses
>Union | Digital Works
>Honors Theses Student Work 6-2017
>Choice of Choice: Paradoxical Results Surrounding of the Axiom of Choice
>Connor Hurley Union College - Schenectady, NY March 15, 2017

スレ主です
この”Choice of Choice: Paradoxical Results Surrounding of the Axiom of Choice”
には、”The Gabay-O'Connor Theorem”は採用されているが
箱入り無数目や、同じだが”Choice Games”Sergiu Hart氏は、入っていない

つまり、箱入り無数目や”Choice Games”は、数学として認められていないってことだね
”Choice Games”は、2013年だし同じ時期にmathoverflowで取り上げられている
（箱入り無数目にも、「この問題はPeter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をノレーマニアあたりから仕入れたらしい.」とある通り、欧米では話題になっていた問題）

それが、2017年時点でアウト
そして、いま2023年も同様にアウトです

(参考)
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis

「あたらない」というのはあり
「あたらない」から導ける「非可算選択公理は成立しない」と否定しないのはなし
ちなみにSが2個以上の要素を持つなら、S^Nは非可算　これ豆な　１は知らんかっただろｗ

不成立派は阿呆ばっかやなｗ

たった２ｐの数セミの記事が理解できんって人間失格のエテ公でしょ

>>236
>>・結局、game1では、uncountably(非可算)、game2では、only countably many(可算)
>>　だから、game2では、フルパワー選択公理→可算選択公理で済むってことですよ
>Game2では選択公理が不要な理由が説明されています。
>「Because there are only countably many sequences x ∈ {0,..., 9}^N that Player 1 may choose (namely, those x that become eventually periodic), we can order them—say x^(1), x^(2),..., x^(m),...—and then choose in each equivalence class the element with minimal index (thus F(x) = x^(m) iff m is the minimal natural number such that x ∼ x^(m)).」

スレ主です
アホですか
・”Because there are only countably many sequences”
　countably many＝可算
・選択公理の変種 可算選択公理（下記）

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/c/math/1696677610/224
世の中には、選択公理 vs 可算選択公理 の違いを知らない人がいる
皆さん、注意しましょう （>>214もｗ）
（「カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている」）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理の変種
可算選択公理
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている
(引用終り)

>>251
可算族だから可算選択公理という脊髄反射しかできないサルに数学は無理なので諦めましょう

>>251
１は考えずに文章から都合のいい文拾うだけのエテ公

循環節って言葉の意味分かる？

有理数の小数展開はある箇所から先が
循環節の繰り返しになるって分かる？

循環節が分かればその列の同値類の代表を
小数点以下全て循環節だけの列にすれば
必ず同じ代表が取れるって分かる？

上記の操作に可算選択公理すら必要ないって分かる？

全部わかんないか　中卒じゃん！　エテ公じゃん！

>>252
１はほんとに何も考えてない
有理数の小数点解が循環節を持つことも知らんのは致命的

>>252
１はほんとに何も考えてない
有理数の小数展開が循環節を持つことも知らんのは致命的

>>193 ID:0aIpEf0M
>バナッハ-タルスキーのパラドックス　原著第2版
>https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10030018.html
>にも、選択公理なしにパラドックスが構成できる例が書いてあるよ。
>>234 ID:0aIpEf0M
>「あるバナッハ-タルスキー逆理」における代表系も
>非可算集合である。具体的には、ZFで構成可能な
>双曲平面内のある領域内の点集合の全体になる。

ご苦労さまです
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox
Banach–Tarski paradox
Banach and Tarski publication
In a paper published in 1924,[6] Stefan Banach and Alfred Tarski gave a construction of such a paradoxical decomposition, based on earlier work by Giuseppe Vitali concerning the unit interval and on the paradoxical decompositions of the sphere by Felix Hausdorff, and discussed a number of related questions concerning decompositions of subsets of Euclidean spaces in various dimensions. They proved the following more general statement, the strong form of the Banach–Tarski paradox:

Connection with earlier work and the role of the axiom of choice
Banach and Tarski explicitly acknowledge Giuseppe Vitali's 1905 construction of the set bearing his name, Hausdorff's paradox (1914), and an earlier (1923) paper of Banach as the precursors to their work. Vitali's and Hausdorff's constructions depend on Zermelo's axiom of choice ("AC"), which is also crucial to the Banach–Tarski paper, both for proving their paradox and for the proof of another result:

In 1964, Paul Cohen proved that the axiom of choice is independent from ZF – that is, it cannot be proved from ZF. A weaker version of an axiom of choice is the axiom of dependent choice, DC, and it has been shown that DC is not sufficient for proving the Banach–Tarski paradox, that is,
The Banach–Tarski paradox is not a theorem of ZF, nor of ZF+DC.[8]

つづく

つづき

In 1991, using then-recent results by Matthew Foreman and Friedrich Wehrung,[9] Janusz Pawlikowski proved that the Banach–Tarski paradox follows from ZF plus the Hahn–Banach theorem.[10] The Hahn–Banach theorem does not rely on the full axiom of choice but can be proved using a weaker version of AC called the ultrafilter lemma. So Pawlikowski proved that the set theory needed to prove the Banach–Tarski paradox, while stronger than ZF, is weaker than full ZFC.

Obtaining infinitely many balls from one
By using analytic properties of the rotation group SO(n), which is a connected analytic Lie group, one can further prove that the sphere Sn−1 can be partitioned into as many pieces as there are real numbers (that is, 2^aleph _{0} pieces), so that each piece is equidecomposable with two pieces to Sn−1 using rotations.

Recent progress
・2018: In 1984, Jan Mycielski and Stan Wagon [25] constructed a paradoxical decomposition of the hyperbolic plane H2 that uses Borel sets. The paradox depends on the existence of a properly discontinuous subgroup of the group of isometries of H2. Similar paradox is obtained by Grzegorz Tomkowicz [26] who constructed a free properly discontinuous subgroup G of the affine group SA(3,Z).
・2019: Banach–Tarski paradox uses finitely many pieces in the duplication. In the case of countably many pieces, any two sets with non-empty interiors are equidecomposable using translations.
(引用終り)
以上

>>253
>循環節って言葉の意味分かる？

ゆとり世代？
昔は、小学校4〜5年生
1/3＝0.333・・、 1/7＝0.142857142857・・
君の時代は、高校生でかい？ｗ

>循環節が分かればその列の同値類の代表を
>小数点以下全て循環節だけの列にすれば
>必ず同じ代表が取れるって分かる？
>上記の操作に可算選択公理すら必要ないって分かる？

それ、ヤブヘビでしょｗ
多分、謎のプロ数学者氏や、もと弥勒菩薩こともと天皇陛下にも、下記はご賛同頂けると思うが
Sergiu Hart氏のChoice Games http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf >>230
game2 で、区間[0,1]の有理数で（無限長の）循環小数展開の各一桁を箱に入れるならば
同値類も代表も不要で、従って（可算）選択公理も不要の解法が可能（下記）
（説明）
１）要するに、例えば game2 1/7＝0.142857142857・・を例として
　Player 1 が、思いっきり大きな数nで、小数第n位まで非循環で、第n+1位から1/7＝142857142857・・のような循環節に入る出題をする
２）Player 2 は、同様に思いっきり大きな数dで、第d+1位から先の箱を開ける
　もし、第d+1位から先の箱の数が、まだ循環節に達していない場合
　つまり、第d+k位(2<=k)から循環節だと分かると、第d位は非循環で、当たる確率は1/10になる
　もし、第d+1位から先の箱の数が、循環節に達している場合
　第d位は循環節の可能性が高く*で、循環節からの推定を加味して当たる確率は1/10より高くできる（注*：必ず循環節とは言えないが）
３）問題は、Player 1 が出題する 非循環部分の長さnと、Player 2が箱を開け始める大きな数dとの競争になる
　だから、この問題は単純な確率計算には乗らないのです
４）にも関わらず、しっぽの同値類＋代表列＋決定番号のロジックで、確率計算 99/100や1-εに持ち込むところが
　数学パズルのトリックの手品のタネだってことです
（game1及び 箱入り無数目のR^Nでも、同様です
　なお、game2 で100列並べ直しで mod 100並べをして、99列の箱を全部開ければ循環節の開始点と循環節自身が知れるので、確率1で的中できるだろう。”しっぽの同値類＋代表列＋決定番号のロジック”とは無関係に。要するに、「循環節の中の数字当てがクソ」ってことです）
QED

>>258
>しっぽの同値類＋代表列＋決定番号のロジックで、
>確率計算 99/100や1-εに持ち込むところが
>数学パズルのトリックの手品のタネ
　いつまでも、そういう曖昧模糊とした言い回しで誤魔化すから
　１は、本当のロジックが理解できないんだよ

　本当のロジックは
・100列は固定、と前提する
・100列中、他の99列より大きい決定番号を持つ列はたかだか1つ
・そしてその1列以外を選ばなければ
　選んだ列の決定番号dは、他の99列の決定番号の最大値D以下
　したがってD番目の箱の中身は代表のD番目の項と一致
・上記の要件を満たす99列のいずれかを選ぶ確率は99/100
　
　たったこれだけ
　どれ一つとして反論の余地がない
　残念だったな　R.I.P.

>>258
>この問題は単純な確率計算には乗らないのです
　それは「問題がその都度変化する場合」
　そしてその場合にも「どの列を選んでも当たらない」という結論は絶対に導けない
　１は愚かにも直感で言いがかりをつけたその瞬間に負けたのだ
　エテ公とは哀れなものよのう

>>259
お前がいうなよｗｗｗ

>>259
時枝記事の何処に証明が書いてあるんだ

ID:KxfE8uhl は数学書読めない底辺中卒だろ

>>258
>だから、この問題は単純な確率計算には乗らないのです
乗るよ
おサルの阿呆戦略でなく勝つ戦略を使えばいいだけ

>>157
メモ貼る

https://ja.wikipedia.org/wiki/K3%E6%9B%B2%E9%9D%A2
K3曲面 (英: K3 surface) とは、不正則数が 0 で、自明な標準バンドルを持っているという複素解析的、もしくは代数的な滑らかな最小完備曲面をいう。

エンリケス・小平の曲面の分類では、それらは小平次元がゼロの曲面の 4つのクラスのうちの一つである。

K3曲面は、複素トーラスとともに 2次元のカラビ・ヤウ多様体である。ほとんどの複素K3曲面は代数的ではない。このことは、K3曲面を多項式により定義される曲面として射影空間へ埋め込むことができないことを意味する。K3曲面はラマヌジャンが1910年代に発見したが未発表に終わり[1][2]、後に Weil (1958) が再発見して、3人の代数幾何学者（クンマー、ケーラー、小平邦彦）と当時未踏峰だったK2に因みK3曲面と名付けた。

定義
K3曲面の特徴づけに使える同値な性質は多数存在する。完備で滑らかな自明な標準バンドルを持つ曲面は、K3曲面と複素トーラス（もしくはアーベル多様体）なので、そこに何かしら後者を除外する条件を付け加えればK3曲面の定義になる。複素数上で曲面が単連結であるという条件が時として使われる。

定義にはいくつかの流儀があり、一部の研究者は射影曲面に限定しており、またデュヴァル特異点 (Du Val singularities)[3]を持つ曲面を認める場合もある。

つづく

つづき

性質
1. 全ての複素K3曲面は、互いに微分同相である（小平邦彦が最初に証明した）。

Siu (1983) は、全ての複素K3曲面がケーラー多様体であることを示した。このケーラー多様体であるという事実と、カラビ予想のヤウによる解の結果として、K3曲面はリッチ平坦な計量を持つ。

3. K3曲面の H^2(S,Z)上に、格子構造を定義し、K3格子と呼ばれる。これは次のセクションに記述する。
上記のK3曲面の性質のおかげで、現在、代数幾何だけではなく、カッツ・ムーディ代数、ミラー対称性や弦理論で広く研究されている。特に、格子構造は、その上にネロン・セヴィリ群の構造をもつモジュラ性をもたらす。

周期写像
マーク付き（点の付いた）の複素K3曲面の荒いモジュライ空間が存在し、複素次元 20 の非ハウスドルフ的な滑らかな空間となる。複素K3曲面に対しては、周期写像が存在し、トレリの定理（英語版）が成り立つ。

弦双対性との関係
K3曲面は、弦双対性（英語版）のほとんどの箇所に現れ、重要なツールを提供する。弦のコンパクト化に対して、K3曲面は、自明な空間ではないが、詳細な性質のほぼ全部を解明できる空間である。タイプ IIA 弦、タイプ IIB 弦、E8 × E8 ヘテロ弦、Spin(32)/Z2 ヘテロ弦、および M-理論は、K3曲面上のコンパクト化により関連付けらることができる。例えば、K3曲面上へコンパクト化されたタイプ IIA 弦は、4-トーラス上へコンパクト化されたヘテロ弦に等価である。Aspinwall (1996)
(引用終り)
以上

わかりもせんことコピペし続けると馬鹿になるよ

コンパクト定理
一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、
その（文の）集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値である

ニセコンパクト定理
「無限集合について、
　（空でない）任意の有限部分集合が性質Xを持つなら、
　無限集合も性質Xを持つ」

両者は同値でもなんでもないね
なんで文の集合が、任意の集合に化けるのか
「読まずにコピペ」は人を愚かにするね

>>267
だいじょうぶ
もともと馬鹿だから

QはquinticのQ
堀川さんはクインテックと書いていたような気がするが

>>167
>"The 1729 K3 Surface" というタイトルの論文が、2015年にエモリー大学のKen OnoとSarah Trebat-Lederによって発表されています（以下、Onoの論文）。今回はその論文の内容を中心に紹介する予定です。Onoの論文は、arXivに上がっていて、誰でも閲覧することができます。
>[1510.00735] The 1729 K3 Surface https://arxiv.org/abs/1510.00735
>タイトルからして心惹かれる論文ですね。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%8E
ケン・オノ（Ken Ono、1968年3月20日 - ）は日系アメリカ人の数学者。数論、特に自然数の分割、モジュラー形式が専門。また、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンの研究を行う。現在エモリー大学教授。
略歴
第二次大戦後アメリカ合衆国へ移民した数学者小野孝の次男としてフィラデルフィアに生まれる。兄サンタ・J ・オノ（小野三太）は孝がカナダのブリティッシュコロンビア大学在勤中に生まれたが、ケンは米国帰国後ペンシルバニア大学在勤中に生まれた[1]。シカゴ大学を1989年に卒業、1993年にカリフォルニア大学ロサンゼルス校で博士課程修了。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/TIFF.jpg

https://en.wikipedia.org/wiki/Ken_Ono
Ken Ono (born March 20, 1968) is an American mathematician who specializes in number theory, especially in integer partitions, modular forms, umbral moonshine, the Riemann Hypothesis and the fields of interest to Srinivasa Ramanujan. He is the STEM Advisor to the Provost and the Marvin Rosenblum Professor of Mathematics at the University of Virginia.
Early life and education
Ono was born on March 20, 1968, in Philadelphia, Pennsylvania.[2] He is the son of mathematician Takashi Ono, who emigrated from Japan to the United States after World War II.

Research
Integer partitions

A framework for the Rogers–Ramanujan identities

Proof of the umbral moonshine conjecture

Work on the Riemann Hypothesis

>>268
>ニセコンパクト定理
>「無限集合について、
>　（空でない）任意の有限部分集合が性質Xを持つなら、
>　無限集合も性質Xを持つ」

スレ主です 話は全く逆ですよ

１）まず、コンパクト定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理：一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。つまりある理論の充足可能性を示すにはその有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理であり、モデル理論における最も基本的かつ重要な成果のひとつである
歴史
1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した

２）さて。日常では当たり前で、ある大きな建物がある。正面から見ると黒だが、側面や背面は見えない
　側面や背面部分を含め、全てを調べると、全部黒で全体として黒だと分かる
　「任意の部分が黒なら、全体が黒」は、当然の話
３）だが、上記２）を、基礎論の集合論に適用できる定理にするには、一工夫いる。それを遂行したのが、かの天才ゲーデル
４）この言い回しは、確率論でも使われる。「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」(下記)
　教養の無い人がいて、”独立な確率変数の無限族の定義”にグダグダいうけど、その議論はおかしい

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/405
数学セミナー201511月号P37 時枝記事より
「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう

K3もオイラーの主題による変奏曲の一つ

>>272
>日常では当たり前で、ある大きな建物がある。
>正面から見ると黒だが、側面や背面は見えない
>側面や背面部分を含め、全てを調べると、全部黒で全体として黒だと分かる
>「任意の部分が黒なら、全体が黒」は、当然の話

集合Sの任意の部分集合の中に集合S自身も入るから当然だね

>>272
>だが、上記を、基礎論の集合論に適用できる定理にするには、一工夫いる。
>それを遂行したのが、かの天才ゲーデル

なんでコンパクト性定理が成り立つのか全然わかってなさそう

以下に書いてあるから理解できるまで繰り返し読んでね
理解できないうちはここに書き込んじゃダメだよ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696677610/422

>>273
ありがとうございます。
これは、謎のプロ数学者さんか

https://アマゾン
オイラーの主題による変奏曲―二次形式,楕円曲線,ホップ写像 Tankobon Hardcover – April 1, 1980
by 小野孝 (著)
実教出版
雑学家
VINE VOICE
1.0 out of 5 stars 内容紹介のみ
Reviewed in Japan on May 21, 2009
第0章はピタゴラスの方程式の自然数解を求める五つの方法の紹介。ディオファントス方程式
第1章は二次形式、直交基底、ウイットの定理
第2章代数多様体、アファィン代数多様体、射影代数多様体
第3章平面代数曲線、アファィン平面曲線、重複度と局所環、射影平面曲線、ベズー＆ネータの定理
第4章空間楕円曲線、テータ関数
第5章二次球写像、ポップ写像
第6章フルウィツの問題、多元環、クリフォード環
付録でオイラーの「代数入門」の書かれたいきさつ
主に代数幾何の話題です。代数幾何入門としては「グレブナ基底と代数多様体入門〈上〉」が意外とやさしく書かれています。

>>277
>分かってない人がいるな
　分かってるつもりになってる分かってない人がいるな

>同値類
>P：ある1つの同値類はすべての緑色の車からなる
>　↓
>Q：任意の部分集合は、すべての緑色の車からなる

それ、同値類という言葉、要らない

P：ある1つの集合はすべての緑色の車からなる
　↓
Q：任意の部分集合は、すべての緑色の車からなる

(∀x.x∈P⇒Green(x))⇒(∀Q.∀x.(x∈Q＆Q⊂P)⇒Green(x))

>　i)P→Qは、自明

そうね

>　ii)この逆、Q→Pも成り立つ（推移性）。つまり同値だよ

Greenに関してはそうね
ちなみに、推移性とは無関係にそうなる

でも、Qを有限集合に制限したとして以下の場合はそうならないよ
(Pは全順序集合とする）

　(∀Q.Q⊂P＆Fin(Q)⇒∃x.(x∈Q&∀y∈Q.x>＝y))
⇒∃x.(x∈P&∀y∈P.x>＝y)

「QがPの有限部分集合のとき、あるQの元xが存在して、任意のQの元yはx以下であるとするなら
　あるPの元xが存在して、任意のPの元yはx以下である」

もちろんPが無限集合ならこんなことは言えない

推移性？推移率の鎖
a〜b〜c〜…
の長さはあくまで有限個だよ
無限に同値関係をつなげることはできない
素人が必ず落ちる誤りの落とし穴の一つだね

>>277
>確率変数の無限族の独立について
>P：独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…
>　↓
>Q：任意の有限部分族が独立
>i)P→Qは、自明
>ii)この逆、Q→Pは？
>現代数学の確率論では、Q→Pを、確率変数の無限族の独立の定義とする、即ち
>”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される”
>つまり、定義により PとQは同値になる
>それでは、この定義以外の場合に、逆のQ→Pが成立しないケースがありうるのか？

独立性の定義を以下のものに置き換える
「他の変数見て、自分の値を当てられるか？」

変数が無限個存在するとして、任意有限個しか見ることができないなら、当てられない

このことから、無限個見ても当てられない、といえるか？

いえない、というのがGabayとO’Connorの定理
つまり、各々が自分を含む有限個の変数を除いた、無限個の変数の値を見て
「有限相違同値類の代表」をとれば、有限個の例外を除いて、自分の値を当てることができる

つまり、選択公理によって、無限族の独立性に関する従来の定義では
無限族の強い独立性の要請を全く満たさないことが示される

>その議論を抜きにして、「素朴に，無限族を直接扱えないのか?」などナンセンスの極み

抜きにしているのは君だけ
まさにその議論によって、従来定義は、素朴に無限族を直接扱えていない、と示した
論理素人の君に反駁の余地は全くない

>「扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう」って、”戦略は頓挫”でしょ

その時枝正の言葉が意味するのは以下
「扱えるとすると”選択公理が否定され、代表がとれなくなるから”私たちの戦略は頓挫してしまう」

>>276
>オイラーの主題による変奏曲―二次形式,楕円曲線,ホップ写像

線形代数の教科書も読めない君には、到底読めない本だからやめときな

GabayとO’Connorの定理
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/224549/1/1988-04.pdf
https://prezi.com/ex2iphtqlcck/presentation/

もったいぶる基礎論村の住人

時枝も理解してないだろう

>>281
二番目の文献のp66

Theorem 3.2.2 (Gabay, O’Connor). Consider the situation in which the set
A of agents is arbitrary, the set K of colors is arbitrary, and every agent sees
all but finitely many of the other hats. Then there exists a predictor ensuring that all
but finitely many agents guess correctly. Moreover, the predictor is robust.

The Mathematics of　Coordinated Inference　p22

公理マニアしか知らない定理

無限帽子問題君は数学セミナーに手紙書いたら、時枝記事は間違いです。

>>281-286
これは、もと弥勒菩薩こともと天皇陛下
スレ主です
全面同意、全面賛成です

>>278
>推移性？推移率の鎖
>a〜b〜c〜…
>の長さはあくまで有限個だよ
>無限に同値関係をつなげることはできない
>素人が必ず落ちる誤りの落とし穴の一つだね

あれれのれ
どっちが素人？
”無限に同値関係をつなげることはできない”？
あのな、よそのスレに書いてくれ。そしたら、見ないから
このスレでは、間違いには、気づいたら赤ペンが入るよ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）とは二項関係であって反射的、対称的、推移的の3つの性質を満たすものをいう。そのことから、与えられた集合上の1つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）することが導かれる。

勝つ戦略はGabayとO’Connorの定理によりあります。これでは記事にならんだろ。時枝は掲載料を数学セミナーから騙しとった詐欺師である。

>>288
>”無限に同値関係をつなげることはできない”？

然り

注：これは「同値類は有限集合」という意味ではない

>このスレでは、間違いには、気づいたら赤ペンが入るよ

間違ってるのは君
だからみんなから赤ペンが入って
君自身が真っ赤っかになる

>>289
>勝つ戦略はGabayとO’Connorの定理によりあります。
>これでは記事にならんだろ。

それがなるんだなあ

数学セミナー　2021年7月号
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/8572.html

囚人と帽子のパズル／もし囚人が無限にいたら……静間荘司　44

>>291
そんなことは言ってない、
１．時枝記事は完全に間違い
２．時枝記事は全部書き換え
のいづれかになるということだ。

>>291
時枝記事に触れてるのか

馬鹿は否定が好き、簡単だから

Yuval Gabay and Michael O’Connor while they were graduate students at Cornell in 2004.

静間 荘司君乙
https://note.com/souji0426/n/n3922f805f771
https://academist-cf.com/fanclubs/281?lang=ja

スレ主です
このTV見てた
河野玄斗 太鼓の達人 神業チャレンジ 100万円ゲット
学問の方面に進んだら、それなりに成果をだしていた気がするけど。いま芸能人

https://twitter.com/gengen_36/status/1714240908106010898
午後8:24 · 2023年10月17日
河野玄斗
『太鼓の達人 神業チャレンジ』成功して100万円ゲットしました！！！これにて4大難関資格制覇です😂

そして「双打ち」では両手フルコンボだけじゃなくて、左手はドンダフルコンボ（全良）を達成しました！😊

知る限り、芸能人が番組でドンダフルコンボを達成したのは史上初だと思います！！！

松丸も神業達成おめでとう！良きライバルがいたからこそ神業達成できました！

https://youtu.be/hZxBHGbC67A

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%B3%E9%87%8E%E7%8E%84%E6%96%97
河野玄斗
河野 玄斗（こうの げんと、1996年（平成8年）3月6日[2] - ）は、日本のタレント、YouTuber、起業家。
2014年3月、聖光学院中学校・高等学校卒業。
2018年、日本テレビ系列のクイズ番組である頭脳王にて優勝。 同年1月、司法試験に合格。
2020年3月、医師国家試験に合格し東京大学医学部を卒業
https://twitter.com/thejimwatkins

>自然数Nは、可算無限集合
>偶数（2の倍数）を考える
>2*1〜2*2〜2*3〜・・〜2(n-1)〜2n〜2(n+1)〜・・ となるので
>同値関係 2の倍数 〜 の無限連鎖が実現できた

正真正銘の馬鹿
いかなる偶数ａも２と同値
無限連鎖なんか必要ないわ
エテ公はそんな初歩もわからんか
小学校の算数からやりなおせ
🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣

>>299
>いかなる偶数ａも２と同値
>無限連鎖なんか必要ないわ

ふふ、おサル>>5
どんどん墓穴を掘るね

偶数（2の倍数）で、「同値関係 2の倍数 〜 の無限連鎖が実現できる」と言っているのだ
必要かどうかは別

同様に、下記イデアルでも「 〜 の無限連鎖が実現できる」
例えば、下記 R=Z[√5i]の一つのイデアルで、可算無限集合であるものが取れる
下記の選択公理の変種 可算選択公理により「全ての集合は可算集合を含む」が証明できる
よって、上記の可算無限集合たる一つのイデアルには、自然数Nによる付番が可能な部分集合が含まれる
同値関係 〜 によって、>>298同様 "2*1〜2*2〜2*3〜・・〜2(n-1)〜2n〜2(n+1)〜・・ " のような
「 〜 の無限連鎖が実現できる」
QED

中高一貫校なら、これ中一の範囲かもｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E7%92%B0%E8%AB%96)
イデアル
クンマーが扱ったのは奇素数 p に対する p-分体の整数環の場合であったが、以下ではより単純な例として次のような環を考える。ただし、i は虚数単位である。
R=Z[√5i]={a+b√5i｜ a,b ∈ Z}

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理

選択公理の変種
可算選択公理
詳細は「可算選択公理」を参照
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
(引用終り)
以上

>>300
>"2*1〜2*2〜2*3〜・・〜2(n-1)〜2n〜2(n+1)〜・・ " のような
>「 〜 の無限連鎖が実現できる」
2*1〜2*2〜2*3〜・・〜2(n-1)〜2n〜2(n+1)〜・・
のときに、どの元xが2*1〜xと言ってるの？
推移律の定義分かる？

>>300
「集合X上の二項関係〜が推移律を満たす」の定義：「Xの任意の3元a,b,cについて、a〜b〜c ⇒ a〜c」
つまり、
「二項関係〜の列の初項と末項は二項関係〜を満たす」が推移律な訳だが、
〜の無限列については末項が無いので推移律にならないよ

推移律の定義を読み直そう　読んで理解しよう

＞偶数（2の倍数）で、
＞「同値関係 2の倍数 〜 の無限連鎖が実現できる」
＞と言っているのだ

できてないけど
「いくらでも長い有限連鎖が存在する」からといって
「無限連鎖が存在する」ということにはならんけど

頭悪いな　ナニワの中卒エテ公ぬっしー

・自然数の全体Nは可算無限集合である
・任意の自然数ｎ∈Nは、0に有限回、+1の操作を実行することで実現できる
　要するに０に＋１を無限回実行して出来る自然数ｎは存在しない
・したがって「可算無限集合である」から「無限連鎖が存在する」は言えない
　それどころか有限連鎖の全体だけで可算無限集合は実現できる

はいはい、ナニワの中卒ぬっしーはこんな初歩から分からない数学賤民

有限長の連鎖が無限に存在することと
無限長の連鎖が１つでも存在することは
まったく違う

前者から後者がいえる！と思うぬっしーは初歩から間違ってる
そしてそれが間違いだといっても
「いいや、俺は正しい　俺は全知全能の神！」
と自惚れるぬっしーは、正真正銘の🐎🦌

ついでにいうと、いかなる順序数も０に降りていく鎖の長さは有限

ωの場合、まずωから自然数ｎに降りる
そしてｎから０に降りる鎖は有限長
だからωから０に降りる鎖の長さは有限

要するにωからすべての自然数ｎを通って０に行く鎖は存在しない

これが超限帰納法な

すべての集合は整列可能だとすると選択公理が証明できる
逆に選択公理が成り立たないとすると、整列不能な集合が存在する

特に「すべての実数集合はルベーグ可測」な集合論では
実数は整列不能である
実数が整列可能だったら、非可測集合つくれるから

>>307
>すべての集合は整列可能だとすると選択公理が証明できる
>逆に選択公理が成り立たないとすると、整列不能な集合が存在する
>特に「すべての実数集合はルベーグ可測」な集合論では
>実数は整列不能である
>実数が整列可能だったら、非可測集合つくれるから

スレ主です
面白いし、重要なところだから、マジで突っ込むよｗ

１）まず、選択公理には、弱いバージョン 従属選択公理DCがあるよ（下記）
２）従属選択公理DCでは、”ソロヴェイモデルにおいては ZF+DC が成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つから”

だから、下記従属選択公理DCのように、実解析の大部分を行うのに十分な公理であり
”ZF+DC が成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測”
という場合があるよ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理の変種
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(DC)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である
これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された
使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである
他の公理との関連
完全な AC と違って、DC は(ZF の下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である
これはソロヴェイモデルにおいては ZF+DC が成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値
(引用終り)
以上

>>307
>すべての集合は整列可能だとすると選択公理が証明できる
>逆に選択公理が成り立たないとすると、整列不能な集合が存在する
>特に「すべての実数集合はルベーグ可測」な集合論では
>実数は整列不能である
>実数が整列可能だったら、非可測集合つくれるから

さて、実数Rと整列不能 or 可能については、下記だ
１）正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 <= を考えたものは整列順序ではない
２）選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる
３）”ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である”とあるから
　「R 上の定義可能な整列順序の存在」を許して*)、ZF＋DC（実数の集合が全てルベーグ可測）を考えても、ZFC と(相対的に)無矛盾
　（ 注*) 例えば、下記 ZFC+V=L のある特定の論理式の部分のみをつまみ食いして、それを公理として加えるとか）
４）だから、”「すべての実数集合はルベーグ可測」な集合論では
　実数は整列不能である
　実数が整列可能だったら、非可測集合つくれる”
　は、言えないだろう

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合

実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 <= を考えたものは整列順序ではない
例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない
一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる
しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]
ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である
例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う
(引用終り)
以上

>>306
>ついでにいうと、いかなる順序数も０に降りていく鎖の長さは有限
>ωの場合、まずωから自然数ｎに降りる
>そしてｎから０に降りる鎖は有限長
>だからωから０に降りる鎖の長さは有限
>要するにωからすべての自然数ｎを通って０に行く鎖は存在しない

面白いし、重要なところだから、マジで突っ込むよｗ

１）鎖：全順序の同義語としても用いられる（下記）
２）”S を 鎖（chain）と呼ぶ．｜S｜ を鎖の長さという”（下記）
　つまり、集合Sが鎖（chain）であるとき、集合の濃度｜S｜ を鎖の長さという
３）当たり前だが、「集合の濃度｜S｜ を鎖の長さという」だから、鎖を昇る降りるには無関係
　よって、自然数Nの無限昇鎖 0<1<2<3・・<n<・・ で 鎖の長さは可算無限
４）いま順序数を導入しよう
　0, 1, 2, 3, ............, ω この鎖の長さは可算無限である
　n ............, ω の長さも可算無限である
　............, ω の長さも可算無限である
５）鎖の長さは昇る降りるには無関係（”｜S｜ を鎖の長さという”だから）
　鎖 n ............, ω で、n→ωとn←ωの鎖の長さは、同じで可算無限

つづく

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F
全順序（total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである
集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる
関連する概念
鎖
全順序の同義語としても用いられる鎖（さ、英: chain）は、また適当な半順序集合の全順序部分集合に対しても用いられる。後者の意味での鎖はツォルンの補題で極めて重要な役割を果たす。
例えば整数全体の成す集合 Z に包含関係で半順序を入れた半順序集合を考えると、自然数 n に対し、n 以下の自然数全体の成す部分集合 In からなる集合族 {In | n は自然数} はこの順序に関する鎖、すなわち包含関係に関する全順序部分集合になる。実際、n <= k ならば In は Ik の部分集合である

https://www.ieice-hbkb.org/files/12/12gun_02hen_01.pdf
電子情報通信学会『知識の森』（http://www.ieice-hbkb.org/）
2編（離散数学）1章基礎
P8
S を 鎖（chain）と呼ぶ．｜S｜ を鎖の長さという．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数（ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω,
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である
(引用終り)
以上

>>303-305
>「いくらでも長い有限連鎖が存在する」からといって
>「無限連鎖が存在する」ということにはならんけど
>・自然数の全体Nは可算無限集合である
>・任意の自然数ｎ∈Nは、0に有限回、+1の操作を実行することで実現できる
>　要するに０に＋１を無限回実行して出来る自然数ｎは存在しない
>・したがって「可算無限集合である」から「無限連鎖が存在する」は言えない
>　それどころか有限連鎖の全体だけで可算無限集合は実現できる
>有限長の連鎖が無限に存在することと
>無限長の連鎖が１つでも存在することは
>まったく違う

１）”「いくらでも長い有限連鎖が存在する」からといって
　「無限連鎖が存在する」ということにはならん”
　は正しい。だから、ZFに無限公理が存在する（下記）
２）無限公理を認めると
　下記の通り、ペアノの公理で自然数全体の集合Nが存在する
３）そして、ZF中では”無限”という言葉は用いられていないことに注意
　上記のような議論は、重要だが、下手をすると言葉遊びの上滑りになる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃A(φ(空集合)∈A ∧ ∀x∈A(x∪{x}∈ A))
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていない
A は以下の性質を満たすことを確認できる
略
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、B は有限集合であり、A≠B である
なぜならば定義により B∪{B}∈ A であるが、B∪{B} not∈ B となるからである
一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である
ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである
(引用終り)
以上

>>301-302
>「二項関係〜の列の初項と末項は二項関係〜を満たす」が推移律な訳だが、
>〜の無限列については末項が無いので推移律にならないよ
>「いくらでも長い有限連鎖が存在する」からといって
>「無限連鎖が存在する」ということにはならんけど

スレ主です
面白いし、重要なところだから、マジで突っ込むよｗ

１）いま、一つの同値類の集合Sがあり、無限集合だったとする
２）可算選択公理を認めると、Sは可算無限集合を含む
　可算無限集合は、自然数Nで付番できる列を構成する
　s0,s1,s2,・・,sn,・・ ∈S
　とする。可算無限長である
　同値関係を入れる
　s0〜s1〜s2〜・・〜sn〜・・
　同値関係の可算無限長鎖が出来た
３）よって、同値類の集合Sが無限集合であれば
　同値関係の可算無限長鎖が構成出来る（但し、可算選択公理は認める）
QED

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
例
X がすべての車の集合であり，〜 が「同じ色である」という同値関係のとき，ある1つの同値類はすべての緑色の車からなる．X/〜 はすべての車の色の集合と自然に同一視できる．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
可算選択公理
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
(引用終り)
以上

>>313
>可算無限集合は、自然数Nで付番できる列を構成する
>s0,s1,s2,・・,sn,・・ ∈S
>とする。可算無限長である
>同値関係を入れる
>s0〜s1〜s2〜・・〜sn〜・・
>同値関係の可算無限長鎖が出来た

はい駄目
相変わらず、中卒レベルの馬鹿発言してるね（呆）

どのsiを持ってきても
s0からsiまでの長さは有限
したがって、無限長でもなんでもない

ついでにいうと最初の非可算順序数aleph1の要素は
すべて可算順序数か有限順序数

より一般にすべての始順序数において、
その任意の要素は始順序数の濃度より小さい

>>314
>>s0〜s1〜s2〜・・〜sn〜・・
>同値関係の可算無限長鎖が出来た
>はい駄目
>どのsiを持ってきても
>s0からsiまでの長さは有限
>したがって、無限長でもなんでもない

スレ主です
意味分からんｗ
下記の数列 wikipediaを、百回音読してね
”「すべての自然数」を表す数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列（英: infinite sequence）と呼ばれ”

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97
数列
数学において数列（英: numerical sequence）とは、数が列になったもの を言う
例えば正の奇数を小さい順に並べた
1, 3, 5, 7, …
のような数の“並び”が数列である。並べる数に制限を加えて、たとえば自然数のみを並べるならば、これを自然数列と略称する。整数、有理数、実数などのほかの数体系を用いる場合も同様の略称を用いる。各々の数の“置かれるべき場所”は数列の項 (こう、英: term) と呼ばれる。数の並びが数列と呼ばれるためには、数列の各項を“順番に並べる”こと、つまりそれぞれの数が何番目の項に配置されているのかを一意に示すように番号付けができなければならない。したがって、“最も簡単”な数列は自然数を小さい順に並べた数列
1, 2, 3, 4, …
ということになる（これは自然数が順序数であることによる）
考える数列に端が存在する場合がある。数列の端に存在する項は、その数列の最初の項、または最後の項であると考えることができる。数列の最初の項をその数列の初項（しょこう、英: first term）といい、最後の項を数列の末項（まっこう、英: last term）と呼ぶ。 数列に対して必ずしも初項と末項を定めることはできない。
たとえば「すべての自然数」を表す数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列（英: infinite sequence）と呼ばれ、末項を持つ数列は有限数列（英: finite sequence）と呼ばれる。
特別な数列には、項の並びに規則性のあるものがある。代表的なものは、等差数列や等比数列あるいはフィボナッチ数列のように漸化式で定義される数列である

>>315
同値関係は二項関係なんだから、x〜yのように〜の左右に項が必要。
同値関係の無限列はこの要件を満たさない。

>>315
>同値関係は二項関係なんだから、x〜yのように〜の左右に項が必要。
>同値関係の無限列はこの要件を満たさない

なんだかな、そんな基本的なところで躓いているのか？
”二項関係”が、有限集合に限定される？ 初耳です！
”二項関係”で、下記の不等号 『「大なり」">" 』があり、自然数Nに全順序が入るよ
自然数Nの『「大なり」">" 』による二項関係の列が、無限列ではない？ 初耳です！ｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82
二項関係（英: binary relation）
集合 A の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 A^2 = A × A の部分集合を、集合 A 上の二項関係と呼ぶ[1]。あるいはもっと一般に、二つの集合 A, B に対して、A と B との間の二項関係とは、直積 A × B の部分集合のことをいう[2]。

集合上の関係
反射的、対称的かつ推移的な関係は同値関係（あるいは等値関係）と呼ばれる。反射的、反対称的かつ推移的な関係は半順序である。半順序が完全ならば全順序、単純順序、線型順序あるいは鎖などと呼ばれる[5]。整礎的な線型順序は整列順序と呼ばれる

反射的 (reflexive)
X の各元 x について x R x が満たされる関係 R は反射的であるという。
例えば「大なりイコール」">=" は反射関係だが、「大なり」">" は反射的ではない

非対称 (asymmetric)
X の各元 x, y について、x R y なるときは常に y R x が成立しないような関係 R は非対称であるという。
「大なり」">" は x > y ならば y > x は成立しないから非対称である

https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation
Binary relation
(引用終り)
以上

>>317
>”二項関係”が、有限集合に限定される？ 初耳です！
君、幻聴が聞こえるなら病院行った方がいいよ

>>317
>”二項関係”で、下記の不等号 『「大なり」">" 』があり、自然数Nに全順序が入るよ
>自然数Nの『「大なり」">" 』による二項関係の列が、無限列ではない？ 初耳です！ｗ
Nが全順序であることと＜無限列が存在しないことは矛盾しない
分からない君が馬鹿なだけ

>>319
>>”二項関係”で、下記の不等号 『「大なり」">" 』があり、自然数Nに全順序が入るよ
>>自然数Nの『「大なり」">" 』による二項関係の列が、無限列ではない？ 初耳です！ｗ
>Nが全順序であることと＜無限列が存在しないことは矛盾しない

・あのーｗ >>315の wikipedia 数列より
　『“最も簡単”な数列は自然数を小さい順に並べた数列
　1, 2, 3, 4, …
　（これは自然数が順序数であることによる）』
・自然数を小さい順に並べた数列で
　1, 2, 3, 4, … は、有限にあらず！（当然無限数列）
・1< 2< 3< 4< … もまた、有限にあらず！（当然無限列）
　”< 無限列が存在しない”？ あれれ？ｗｗｗ

あほらしｗ

>>320
数列に末項は必要無い。
一方、＜列に末項が存在しないなら、＜が二項関係の定義を満たさない。
よって、無限列1, 2, 3, 4, … が存在するからといって、＜無限列1< 2< 3< 4< …が存在するとは言えない。

あほらしｗ

ID:7xCRTGx1　が正しい
ID:hXMpQh61　は間違ってる

s0〜s1
s0〜s1〜s2
s0〜s1〜s2〜s3
…
s0〜s1〜s2〜・・〜sn
…
という「有限長列」は無限にある

一方
s0〜s1〜s2〜・・〜sn〜・・
は、最右のsxが存在しないので「無限長鎖」ではない

また、むりやりs∞を追加した
s0〜s1〜s2〜・・〜sn〜・・s∞
は、s∞の左側のsy〜が存在しないので
これまた「無限長鎖」ではない

ざんね〜ん

>>321
>数列に末項は必要無い。
>一方、＜列に末項が存在しないなら、＜が二項関係の定義を満たさない。
>よって、無限列1, 2, 3, 4, … が存在するからといって、＜無限列1< 2< 3< 4< …が存在するとは言えない。

面白い論法だね
確か、あなたは数学科出身だと言っていたね？
よく卒業できましたねｗ
重要なことだから、マジで突っ込むよｗ

・あなたの主張には、一理ある。哲学的にはね
・哲学的には、有限主義とか、構成主義とかね
（下記wikipedia読んでね(「数学者にはさまざまな立場がありました。自然数などの有限の数学的対象については全員が同意しました。しかし、無限の数学的対象に関しては意見の相違がありました」)）
・「無限とは、何か？」 哲学的な議論がありました。多分、いまでもあるだろう
・さて、ZFCでは、∈を使った2項関係で、空集合Φから自然数を構成し、いろんな2項関係を構築する（モストフスキ崩壊補題、ノイマンの自然数の構成もご参照）
・結局、公理的集合論と∈を使った2項関係とは密接に結びついて、「二項関係は有限に限られる」とか、今更言われてもね
・別に、個人の主張だから自由ですけどね。しかし、現代数学の主流じゃない！ｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A7%8B%E6%88%90%E4%B8%BB%E7%BE%A9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
構成主義 (数学)
数学の哲学において、構成主義（こうせいしゅぎ、英: constructivism）とは、「ある数学的対象が存在することを証明するためには、それを実際に見つけたり構成したりしなければならない」という考えのことである。標準的な数学においてはそうではなく、具体的に見つけることなしに背理法によって存在を示す、すなわち存在しないことを仮定して矛盾を導くことがよくある。この背理法というものは構成的に見ると十分ではない。

つづく

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Finitism
Finitism 有限主義

History （google訳）
無限の数学的オブジェクトの導入は、無限オブジェクトの使用が数学者の間ですでに物議を醸していた数世紀前に行われました。1874 年にゲオルク カントールが現在素朴集合論と呼ばれるものを導入し、それを超限数に関する研究の基礎として使用したとき、この問題は新たな段階に入りました。ラッセルのパラドックス、ベリーのパラドックス、ブラリ・フォルティのパラドックスなどのパラドックスがカントールの素朴集合論で発見されたとき、この問題は数学者の間で熱い話題になりました。

数学者にはさまざまな立場がありました。自然数などの有限の数学的対象については全員が同意しました。しかし、無限の数学的対象に関しては意見の相違がありました。1 つの立場は、LEJ Brouwerによって提唱された直観主義数学であり、無限のオブジェクトが構築されるまでその存在を拒否しました。

David Hilbertは別の立場を支持しました。つまり、有限の数学的オブジェクトは具体的なオブジェクトであり、無限の数学的オブジェクトは理想的なオブジェクトであり、理想的な数学的オブジェクトを受け入れることは有限の数学的オブジェクトに関する問題を引き起こしません。より正式には、ヒルベルトは、理想的な無限のオブジェクトを使用して取得できる有限の数学的オブジェクトに関する定理は、理想的な無限のオブジェクトなしでも取得できることを示すことが可能であると信じていました。したがって、無限の数学的オブジェクトを許容しても、有限オブジェクトに関する問題は発生しません。これは、理想的な数学的オブジェクトの追加が有限論的な部分よりも保守的であることを意味するため、有限論的手段を使用して集合論の一貫性と完全性の両方を証明するというヒルベルトのプログラムにつながりました

つづく

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。
「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。このことから、しばしば哲学、数学、論理学や自然科学などの一部の分野において考察の対象として無限という概念が取り上げられ、そして深い考察が得られている。
本項では、数学などの学問分野において、無限がどのように捉えられ、どのように扱われるのかを記述する。

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinity
Infinity
History
Ancient cultures had various ideas about the nature of infinity. The ancient Indians and the Greeks did not define infinity in precise formalism as does modern mathematics, and instead approached infinity as a philosophical concept.

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinity_(philosophy)
Infinity (philosophy)
In philosophy and theology, infinity is explored in articles under headings such as the Absolute, God, and Zeno's paradoxes.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E5%B4%A9%E5%A3%8A%E8%A3%9C%E9%A1%8C
モストフスキ崩壊補題
モストフスキ崩壊補題はこのようなRに対して、推移的クラス(真のクラスでもよい)M で(M,∈)と(X, R)が同型となるものが一意的に存在し、その同型対応も一意的であるという命題である。
応用
ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である。
ZFのあるモデルの∈-関係が整礎的であるというのは、そのモデル内で正則性公理が成立するという主張よりも強いことに注意。
（注 Rは2項関係）

つづく

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理（英: axiom of regularity）は、別名「基礎の公理」（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
We define a binary relation R on S by
aRb:←→b∈ S∩a

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
集合論的な構成
具体的な自然数は

0:=Φ={}
1:=S(0)={0}={{}}
2:=S(1)={0,1}={{},{{}}}
3:=S(2)={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}
のようになる。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[8]。
自然数の集合が定義されたとき、その構成と自然数上での帰納法から、自然数上の算術や順序を定めることができる
(引用終り)
以上

>>322
ご苦労さまです
スレ主です

ID:q5DQtMj4 は、サイコパスのおサル>>5 だね
　>>323見てね
特に、ノイマンの自然数の構成で、∈を使った2項関係で自然数Nを構築します
（∈を使った2項関係が、有限で終わったらZFCは成り立たないぞ）

あなた方二人は、生まれる時代が遅かったんだ
時代に取り残されている！（ビズリーチ！）
古代ギリシャか、カントールの時代なら、楽しい議論できたかもねｗｗｗ

>>323
反論になってない
「2項間の関係ではない二項関係」の存在を示せ
示せなければ、「末項が存在しない二項関係列はwell-defined」とは言えない

>>323
まーた、支離滅裂なこと喚いてるな　ぬっしーはｗ

いっとくけど
0∈1,1∈2,2∈3,…
という無限個の命題だけでは
0,1,2,…∈ω
となるωの存在は導けないよ

これ豆な

>>324-326
いくらコピペしても、全然無関係だから意味ないよ
中卒素人エテ公はこれだから困るね

>>327
＞ノイマンの自然数の構成で、∈を使った2項関係で自然数Nを構築します
　個々のｎは、０からの有限∈列しか持たんけどな
　さらにいえば、ωも、０からの無限∈列は持たない
　それは超限帰納法の否定となるからね

ぬっしーは大学１年の集合の教科書読んでな
みんな書いてあるから