純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）16

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）16
クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）15
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1691376403/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1687778456/
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋8
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1691974658/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 69
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1688883767/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

つづく

>>947
>例えば5次だろうが何次だろうが、ガロア群が対称群となる一般的な方程式の係数から分かる
>ある数を添加すれば、確実により小さなガロア群を持つ方程式に還元できる

差積と判別式Ｄの話かな？ （下記）
なお、重根を持つための条件を与えるとあるが、2次方程式などで複素数根を持つか否かが分かるとか
一般ｎ次方程式で、ガロア群ＳｎをＡｎに落とすときに使われる

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E7%A9%8D
差積

多項式の根の差積
1つの多項式に対して、その根の差積は、その多項式の（最小）分解体に係数を持つ多項式となる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%A4%E5%88%A5%E5%BC%8F
多項式の判別式（はんべつしき、英: discriminant）とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。
一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。

四次までの代数方程式に対しては、判別式は解の公式に現れるため、
判別式の定義とは、解の公式の一部と誤解されがちである。
しかし五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない（アーベル-ルフィニの定理）が、判別式は常に定義される。

数学の学習はドミノ倒しのドミノを並べるようなもの
並べている間は実に退屈
しかし、並べた後、始まりのドミノを倒すだけで
めくるめく快感が押し寄せるのである

ちなみに、最初と最後のドミノを立てただけで
途中のあまたのドミノを一切立てない怠惰な態度では
最初のドミノを倒しても最後のドミノが倒れない

>>952　
さすがにそれは「覚えていた」か（「理解していた」ではなく）

>一般ｎ次方程式で、ガロア群ＳｎをＡｎに落とすときに使われる
　どうして落ちるか説明できるかい？
　できないんじゃない？

>>952
>>例えば5次だろうが何次だろうが、ガロア群が対称群となる一般的な方程式の係数から分かる
>>ある数を添加すれば、確実により小さなガロア群を持つ方程式に還元できる

例外があるな
2 項方程式（下記）で素数p次で、ガロア群が位数pの巡回群なら単純群だから
差積を添加しても、ガロア群は縮小しない

http://www.r.dendai.ac.jp/~ochi/
越智 禎宏 (Ochi, Yoshihiro)
http://www.u.dendai.ac.jp/~ochi/introalg10.pdf
代数入門　第 10 回講義ノート 越智 禎宏
2 項方程式
（今回の目的）Fp-係数の 2 項方程式 x^n = a の解がいつ存在し，解がある
ときの解の記述が原始根と指数を使って解明できることを示す．

>>955
>>一般ｎ次方程式で、ガロア群ＳｎをＡｎに落とすときに使われる
>　どうして落ちるか説明できるかい？

・偶置換と奇置換の話だね（下記）
・いま、一般５次方程式の5根 a,b,c,d,e の置換は、120(＝5*4*3*2*1)個
・その内の偶置換は、1/2（半分）で60個
・ガロア分解式（リゾルベント）から作る120次の方程式は、偶置換に属するものだけを集めて60次にできる
　差積を添加して、60次に落とすのがこれ
・一般ｎ次でも、偶置換と奇置換の話は同じです（対称群Sn→交代群An）

（参考）
https://manabitimes.jp/math/949
高校数学の美しい物語
置換の基礎（互換・偶置換・奇置換・符号の意味） 2022/03/28
レベル:◎大学数学
目次
置換とは
置換の積と対称群
互換とは
奇置換と偶置換

>>955
また、問題文を読みそこなったね
>>952に「ガロア群が対称群となる一般的な方程式」と書いてあるよ

>>956
>ガロア分解式（リゾルベント）から作る120次の方程式は、
>偶置換に属するものだけを集めて60次にできる

具体的な形を示せる？それが説明だけど

>>958
>>ガロア分解式（リゾルベント）から作る120次の方程式は、
>>偶置換に属するものだけを集めて60次にできる
>具体的な形を示せる？それが説明だけど

下記などをば
なお、自分でも120個の置換を、ガロア第一論文式（1行記法。ちなみに、コシー記法は2行）で
エクセルに書き出したことがあります（エクセルだとA4,A3など紙サイズの制約がなく、コピーと縦横合わせが楽）

置換記法の(1 2)(3 4)、(1 2 3) が分からない人は置換の本かPDF見てね
まあ、慣れですよ慣れ

（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14176846184
chiebukuro.yahoo
fie********さん
2017/7/19
5次対称群S5の共役類について代表元を挙げ、各共役類の元の個数を求めよ。また、その分類表を用いて5次交代群A5が単純群であることを示せ。
これの解説をお願いします。

ベストアンサー
おかめいんこさん
2017/7/19
対称群の共役類はサイクルの分離積で表したとき
同じ形のものになるので
代表元とその個数を列挙すれば
e … 1 個 ★,
(1 2) … 5C2 = 10 個,
(1 2)(3 4) … (5C2・3C2)/2 = 15 個 ☆,
(1 2 3) … 5C3・2 = 20 個 ☆,
(1 2 3)(1 2) … 5C3・2C2・2 = 20 個,
(1 2 3 4) … 5C4・6 = 30 個,
(1 2 3 4 5) … 24 個 ☆
となりますね(b^-^)
このうち ★, ☆ のものが偶置換であり
A5 の正規部分群に属する元の共役類は
すべて A5 に属することを考えれば
A5 の正規部分群は ★ の 1 個を必須として
残りの ☆ の和集合の形になります(b^-^)
しかし, どの組み合わせで和集合をとっても
|A5| = 60 の約数になることはないので
A5 は自明でない正規部分群を持つことはなく
単純群であるとわかりますね(＊◕ ◡◕)✿♫♬

>>959
ニホンゴ　ワカリマスカ？

120次のガロアリゾルベントに判別式Dを追加して60次の方程式ができる
と断言するから、その具体形を書き下せるか？という質問であって
偶置換６０個が示せるか、という質問ではありませんが

ニホンゴ　ワカリマスカ？

>>960
・ガロア分解式（リゾルベント）
　V=Aa+Bb+Cc+Dd+Ee で ここにa,b,c,d,e は一般5次方程式f(x)＝0の根とする
（正規かつ分離。また、細かいことはガロア第一論文に従う）
・ガロア群はS5になる
　V1=Aa+Bb+Cc+Dd+Ee と番号を付け直して
　120次の方程式
　(X-V1)(X-V2)・・(X-Vi)・・(X-V120)=0 i=1〜120
　ができる
・V1=Aa+Bb+Cc+Dd+Ee に>>959の偶置換のみ(☆印)を施して60個の偶置換を得る
　60次の方程式
　(X-V1)(X-V'2)・・(X-V'j)・・(X-V'60)=0 j=1〜60
　ができる
　この60次の方程式のガロア群はA5（位数60）である

ほとんど自明だが
分からん人には、分からないだろうね
特に、ガロア第一論文を読んでないとね

>>961
>V1=Aa+Bb+Cc+Dd+Ee に偶置換のみを施して60個の偶置換を得る
>60次の方程式
>(X-V1)(X-V'2)・・(X-V'j)・・(X-V'60)=0 j=1〜60
>ができる
>この60次の方程式のガロア群はA5（位数60）である

それが全て？

じゃ、聞くけど
上記の方程式を
x^60+a_59x^59+…+a_1x+a_0
と表したときの
a_59,…,a_1,a_0
って、元の一般5次方程式f(x)の係数からどう表せる？

根a,b,c,d,eなんて分かってないんだから意味ないよね？

120次の方程式
(X-V1)(X-V2)・・(X-Vi)・・(X-V120)=0 i=1〜120
については
x^120+s_119x^119+…+s_1x+s_0
と表したときの
s_119,…,s_1,s_0
が、元の一般5次方程式f(x)の係数を使って表せる
（なぜ？とかタワケたことは聞くなよ））

で、判別式の平方根を使えば
x^60+a_59x^59+…+a_1x+a_0
が作れるんだろ？どう作るんだい？

もしかして、質問の意味も分からず
ただ因数分解された形だけ示せば終わり
って思ってたの？

>>962
スレ主です
良いツッコミですね by 池上さん

>120次の方程式
>(X-V1)(X-V2)・・(X-Vi)・・(X-V120)=0 i=1〜120
>については
>x^120+s_119x^119+…+s_1x+s_0
>と表したときの
>s_119,…,s_1,s_0
>が、元の一般5次方程式f(x)の係数を使って表せる

まず、ここから
１）言わずと知れた、根と係数の関係 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E3%81%A8%E4%BF%82%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82
　要点は、n次方程式のn個の根α1, …, αn に関する k 次基本対称式が、n次方程式の係数になること
２）いまの場合、120次の方程式の根と係数の関係成立
　この120次の方程式の係数に注目すれば、5次方程式の5個の根α1, …, α5の全ての置換で不変
　つまり、α1, …, α5の対称式であって、対称式の基本定理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%BC%8F
「任意の対称式 f(x1,x2,…,xn) に対し、基本対称式を変数にとる多項式 g(σ1,σ2,…,σn) が一意に存在して
　f(x1,x2,…,xn) = g(σ1,σ2,…,σn) となる。これを対称式の（第一）基本定理という」
　のがありまして、”120次の方程式の係数は5次方程式の係数の多項式”つまり、有理数係数の5次方程式として
　120次の方程式の係数も有理式です

さて
>x^60+a_59x^59+…+a_1x+a_0
>と表したときの
>a_59,…,a_1,a_0
>って、元の一般5次方程式f(x)の係数からどう表せる？

１）同様に、60次の方程式の根と係数の関係成立
２）60次の方程式の係数で、根の偶置換A5を施しても、60次の方程式の根は偶置換に関するものを集めたのだから
　60次の方程式 (X-V1)(X-V'2)・・(X-V'j)・・(X-V'60)=0 j=1〜60 は、不変（証明略す）
３）一方差積は、>>951より 偶置換で不変（なお奇置換では±の符合が変わる）
　いま差積をDpとして、これを有理数体Qに添加して、1次結合 q+rDp （q,r∈Q）を考える
　q+rDpは、明らかに根の偶置換A5全てで不変
　よって、60次の方程式の係数は、q+rDpの有理式で表わすことができる＊）
　＊）この証明は、倉田令二朗「ガロアを読む第I論文研究」(1987)日本評論社の
　§7 有理量を不変にする群と他の有理量との関係ーラグランジュの定理
　又は
　矢ヶ部巌「数III方式ガロアの理論」第12章 根の有理式を解明する
　をご覧あれ （多分、他の本にもありそうだが）
以上

>>963
もっとマシなことは考えられないの？
ラグランジュ分解式が分かっていれば
答えられる問題なのでは。
60次の方程式そのものにラグランジュ分解式を
適用すると何が起きるか分かる？

60次の*多項式*にラグランジュ分解式を
適用すると何が起きるか分かる？

ヒント:
S_5/A_5≅C_2 （位数2の巡回群）
なので、実に簡単。
使われる1のべき根（指標の値）は±1のみ。

>>965-966
>60次の方程式そのものにラグランジュ分解式を
>適用すると何が起きるか分かる？
>60次の*多項式*にラグランジュ分解式を
>適用すると何が起きるか分かる？

何も起きないのでは？

１）いま、60次の方程式 (X-V1)(X-V'2)・・(X-V'j)・・(X-V'60)=0 >>963
　のガロア群は、交代群A5で、単純群であることは既知
　よって、何か補助方程式の根を添加して、60次から中間の次数に下げることはできない
　それは代数方程式のガロア理論で分かること
２）よって、この60次の方程式を解くには
　例えば、エルミートのように楕円函数を使うとかで
　60次を一気に解くしかない、それが代数方程式のガロア理論で分かる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
五次方程式（英語: quintic equation）とは、次数が5であるような代数方程式のこと
解の公式
五次方程式の解を超越的な手続を許して構成する方法としては、
・レベル5のモジュラー方程式の解を利用する方法
・超幾何級数を利用する方法
の2つが知られている。 前者はエルミートによって、後者はクラインによって証明された[1][2]。

つづく

つづき

限定的な代数的解法
一般式が代数的に解けないということは、上記に示したとおりであるが、特定の五次方程式がどのような場合に解けるかは分かっている。ラグランジュが3次、4次で用いた手法をそのまま持ち込んだ場合、
x=(α1+ζα2+ζ^2α3+ζ^3α4+ζ^4α5)^5 (ただし ζ は1の原始5乗根)
の置換を考察することになるが、この場合5次対称群の位数は120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。つまりその為に解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する。

そこでより位数の低い置換を与えるような式を考察する必要があるが、これは1861年にアーサー・ケイリーが与えたものが最良となる。
x=(α1α2+α2α3+α3α4+α4α5+α5α1-α1α3-α2α4-α3α5-α4α1-α5α2)^2
この場合出現する式は6通りであり、6次方程式を解くことに帰着する。もちろんこれを代数的に解くことは一般的状況では不可能であるが、根の平方が有理数になる場合に限り、実質的な次数が下がり、代数的に解ける。以下は3次、4次のラグランジュの解法同様にして元の方程式の根を得る。これが五次方程式が代数的に解ける必要十分条件である。
(引用終り)
以上

>>967
>何も起きないのでは？

60次の多項式の係数をどう計算するかについて言ってます。
あなたの
>>963
>よって、60次の方程式の係数は、q+rDpの有理式で表わすことができる＊）
以下の文章は、どうやって計算するかを「本を読めば分かる」と言ってるだけで
本に丸投げしており、その計算はブラックボックスになってる。
あなた自身が理解していないのだから当然ではある。
ラグランジュ分解式を理解していれば、計算法が示せるということ。

理解すれば感動すら覚えるほど美しく単純な計算式
または「計算の理屈」になる。
ただし、対称式（つまりS_5の作用で不変な量）
を基本対称式の有理式であらわす方法は既知とする。
（つまりこの部分の計算の複雑さは無視している。）

ちなみに「おっちゃん」というひとは
計算好きらしいが、バカとみなされているのは
バカ計算しかできないから。「美しい計算」とか
「計算の理屈」を見た験しがない。
「計算の理屈」を考えるのが数学科なのであって
「走り込み」をするようにがむしゃらに計算する
ことが数学なのではない。

>>971
最初から美しい計算があるとは思わない方がいい

現代数学概説�Tの218ページの例題4によると、ガロアは群論の初歩の他に
ガロア対という束論の完備束に関する概念を用いて古典的なガロア理論を構築したようだ
現代数学の系譜のガロア理論に関する論文は持っていないので
ガロアが直接ラグランジュの分解式を用いたかは知らない

>>963
>任意の対称式 f(x1,x2,…,xn) に対し、
>基本対称式を変数にとる多項式 g(σ1,σ2,…,σn) が一意に存在して
>f(x1,x2,…,xn) = g(σ1,σ2,…,σn) となる。
>これを対称式の（第一）基本定理という

>”120次の方程式の係数は5次方程式の係数の多項式”
>つまり、有理数係数の5次方程式として
>120次の方程式の係数も有理式です

それは「覚えてる」んだ

>差積は、偶置換で不変（なお奇置換では±の符合が変わる）
>いま差積をDpとして、これを有理数体Qに添加して、1次結合 q+rDp （q,r∈Q）を考える
>q+rDpは、明らかに根の偶置換A5全てで不変
>よって、60次の方程式の係数は、q+rDpの有理式で表わすことができる

5次方程式の係数とDの多項式ね
それも「覚えてる」んだ

交代式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E5%BC%8F
「対称多項式全体の成す環を Λn とすれば、
　対称多項式および交代多項式全体の成す環は
　Λn に差積 vn を添加した環 Λn[vn]となる。」

君にとって数学って歴史みたいな「暗記科目」なんだ　ふーん

>>965　ID:00PMRUlp
>60次の方程式そのものにラグランジュ分解式を適用すると何が起きるか分かる？
>>967　ID:Uu0Y2Bm/
>何も起きないのでは？
>>969　ID:WaCZ+O3b
>60次の多項式の係数をどう計算するかについて言ってます。
>（963では）どうやって計算するかはブラックボックスになってる。
>あなた自身が理解していないのだから当然ではある。
>ラグランジュ分解式を理解していれば、計算法が示せるということ。
>>970　ID:WaCZ+O3b
>理解すれば感動すら覚えるほど美しく単純な計算式または「計算の理屈」になる。

「彼」は理屈には全く興味ないそうだ
「彼」にとって数学とは歴史と同じ「暗記科目」だそうだから
本当は歴史も事柄を覚える暗記科目ではないんだがね

日本の初等・中等教育は
数学についても歴史についても
間違ってるんじゃないか

>>973
>ガロアは群論の初歩の他に
>ガロア対という束論の完備束に関する概念を用いて
>古典的なガロア理論を構築した

それは逆じゃね？

体とその自己同型群の関係から
束論におけるガロア対応の概念が構築された

ガロア対応は体のガロア理論よりも一般的だよ

暗記君の次は前後関係逆転君か

>>976
ID は変わっているが、チャンと第4章の218ページの例題4の問題文の後に、
括弧を付けて「或る条件の下に」という書き方をしているがその旨が書いてある
多分、218ページの例題4の「或る条件」とはガロア対γ_1、γ_2が両方単調ガロア対になるときだろう

ガロア接続
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8E%A5%E7%B6%9A

>>977
脊髄反射で言い返すのは野獣
利口な人は感情的に怒る野獣の精神を捨てて考える
君も野獣から人間になったら？

>>978
英語版のほうが内容豊富だったか
https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection

>>979
第4章の218ページの例題4の問題文は全部で7行を要している
まさか、ここの括弧の中の解説が誤植だったなんてことはないだろう

>>981
一応確認したが、ただのガロア対応の一般化だった
大げさなんだよ　素人は

>>982
一般化されたものからラグランジュの分解式などの特殊な概念に行くことも出来る
結局、ガロア理論の理解にはテキストを読むのが一番いい

>>977
>218ページの例題4の「或る条件」とはガロア対γ_1、γ_2が両方単調ガロア対になるときだろう
　トンチンカンなこといってるな
　「体の有限次拡大」だろ
　無限次拡大の場合、より条件が厳しくなるが、それはガロアが証明したことではない
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
「無限次拡大の場合
　ガロア理論の基本定理には、正規拡大であり分離拡大である無限次代数拡大へ適用できるバージョンも存在する。
　これには、ガロア群にクルル位相というある位相構造を定義することが必要で、
　閉集合である部分群だけが上記の対応と関連している。」

>>983　支離滅裂

＞ガロア理論の理解にはテキストを読むのが一番いい
　そうだとしても、テキスト読んで理解できなかった人が言っても説得力ゼロ
　むしろ素人は「テキストのここが理解できなかった」と正直に書くのが一番いい
　どこがつまづきやすいのかが分かる

　分かってないのに分かったとウソついても何の得にもならない
　素人はそれすら分からんから困るんだが

>>984
ここに書く暇があったら、理解するのに時間かかるけど、
永田本か藤崎本のガロア理論、または岩波講座現代数学の基礎の体論
のテキストでも読んだ方がいい
この3冊しかガロア理論の本は持っていない

>>986
>…のテキストでも読んだ方がいい
>…しかガロア理論の本は持っていない
　それ　古本屋に売りなよ
　どれ一つとして理解できなかったんでしょ？無駄じゃん
　売れば金になるよ
　読んでも得られない知識より売って得られる現金が大事だね

>>987
ガロア理論の知識を要することがなかったから、まだどれも読んでいない

>>988　正直でいいね　あと本は著者の名前だけで全く読まずに選ぶようなもんじゃないよ

>>975
>「彼」は理屈には全く興味ないそうだ
>「彼」にとって数学とは歴史と同じ「暗記科目」だそうだから

スレ主です
・統合失調症の薬を飲んでいる人にいうのも酷だが
　幻聴幻視ですね。そんなことは、一言も言っていないよ

>>976-981
>ガロア接続
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8E%A5%E7%B6%9A

・ID:OYIacEC3 は、おっちゃんかな
・おっちゃん、ありがとう

>>973
>現代数学概説�Tの218ページの例題4によると、ガロアは群論の初歩の他に

はるほど、下記ね
書店にならんでいるのは見たが、中身は記憶に残っていない（多分見ていない）
分厚い本でしたね

https://www.アマゾン
現代数学概説〈1〉 (現代数学 1) 単行本 – 1961/7/31
彌永 昌吉 (著), 小平 邦彦 (著) 岩波書店

上位レビュー
sugi1
5つ星のうち5.0 数学者としての(トリヴィアルかもしれない？)常識がしっかり書かれている本
2008年

個人的思い出から，．．．この本との出合いは，私が19歳の時でした．大学受験に失敗したくせに，受験勉
強はほとんどやらず，この本を読みはじめました．結局第１章集合の§７ぐらいまでで，挫折しました．
今読んでも，非常にわかりにくい本です．当時，挫折したのももっともだと思います．

「はじめに」に「なるべく読みやすい形に書きまとめ，わが国の学徒にとって現代数学を学びやすいものとす
るにある」と書かれているんですが，これは嘘ですね．(*^_^*)

わかりにくい点は不必要に一般化した概念から出発して，その特殊なものとして重要な概念を説明するという
場合が多く見られることです．例えば，関数(または写像)を説明するのに，わざわざそりより”一般的な”対
応という概念からはじめます．対応の合成なんかも考えたりします．その特別の場合が関数の合成だと説明さ
れても，ピンと気ませんよ．

この本のわかりにくさの根本的原因はカテゴリー論的に思考しようとしているにも関わらず，カテゴリー論が
前面に出るのを避けているところにあると思います．1961年出版の本で，まだマックレーンのCWMが出てい
ない状況ではしかたなかったとも言えます．

購入者
5つ星のうち5.0 何冊かの本のホモロジー代数の証明で参照されていたので購入しました
2021年4月17日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
何冊かの本のホモロジー代数の証明で、詳細はこの本でとあったので気になって購入しました。
高度な内容はありませんが、丁寧な面白い本だと思います。

束と二次形式について詳しく書かれているのが時代を感じさせます。
1人のお客様がこれが役に立ったと考えています

>>991 追加

https://www.iwanami.co.jp/book/b259026.html
現代数学概説 I 岩波
彌永　昌吉 著 , 小平　邦彦 著
1961/07/31
この本の内容
わが国の代表的な数学者である両教授が，数年にわたる準備の末に書かれた現代数学に対する最高の入門書．
群・環などの代数学上の諸概念，ファンクターなどの新しい観点を現代的意義に基づいて再構成する．

https://www.iwanami.co.jp/book/b259032.html
現代数学概説 II 岩波
河田　敬義 著 , 三村　征雄 著
1965/
この本の内容
「概説I」で扱った集合・代数系を受けて，位相・測度の理論を中心に解説する．
「概説I」と併せて読めば，現代数学の基本的な柱がもれなく理解できる．
内容・執筆共に初学者を配慮した格調高い教科書．

おっちゃんと1が理解できもしない本について
語り合う、掛け合い漫才復活か？！ｗ

ラグランジュ分解式という超基本さえ押さえてないのに
まったく意味なし。お経を有難がってるようなもの。

解答分からなかったみたいなんで書きますね。
初歩の初歩から書きますね。

まず、「数体のガロア群」の多項式への作用は
係数のみに作用し、不定元xには作用しないものと定義する。
つまり、f(x)=Σ_{k=1}^n a_k*x^kのとき
σ∈Gのf(x)への作用はσ(f(x))=Σ_{k=1}^n σ(a_k)*x^k
となる。もしあるガロア群の作用が、多項式f(x)
の係数を変えないならば、その根たちへの作用は
置換しか引き起こさない。つまり、絶対に別の多項式の
根に移るということはない。

さて、>>963の60次の多項式をφ(x)とおいて、S_5の作用を考える。
S_5=A_5∪σA_5　と左剰余類分解するとき
φ(x)はA_5の作用で不変であり、σの作用でσ(φ(x))に移る。
φ(x)の根は、ガロア分解式Vの値に偶置換を作用させたものの
全体であり、σ(φ(x))の根は奇置換を作用させたものの全体である。
今、σをS_5/A_5≅C_2 の生成元とみなして
φ(x)のC_2に関するラグランジュ分解式を考える。

>>965
>60次の方程式そのものにラグランジュ分解式を適用すると何が起きるか分かる？
もしかして↓？

60次の多項式をF(x)とし、差積をDとする
(F(x)-D)(F(X)+D)=F(X)^2-D^2

※D^2は対称式

それらは
φ(x)+σ(φ(x))
φ(x)-σ(φ(x))
の2式となる。前者はσの作用で不変であり
S_5の作用でも不変だから係数は対称式
後者はσの作用で符号が変わり、A_5の
作用で不変だから、係数は交代式である。
後者の2乗はS_5で不変だから、平方根に
なっており、このようにべき根
が計算されるのがラグランジュ分解式の特徴。
しかし今の場合、差積D_5というよい元が
あるので商を取ると、(φ(x)-σ(φ(x)))/D_5
はS_5の作用で不変であり、したがって係数は対称式。
このように、最初のラグランジュ分解式2式
が計算されるので、和を取って2で割れば
φ(x)が得られる。

>>997
F(X)^2は対称式ではないので、その式から
計算できるとは言えないと思う。

>>995-998　おお、すげぇ
>>999 そうか　残念！！！

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