>>303-305
>「いくらでも長い有限連鎖が存在する」からといって
>「無限連鎖が存在する」ということにはならんけど
>・自然数の全体Nは可算無限集合である
>・任意の自然数ｎ∈Nは、0に有限回、+1の操作を実行することで実現できる
>　要するに０に＋１を無限回実行して出来る自然数ｎは存在しない
>・したがって「可算無限集合である」から「無限連鎖が存在する」は言えない
>　それどころか有限連鎖の全体だけで可算無限集合は実現できる
>有限長の連鎖が無限に存在することと
>無限長の連鎖が１つでも存在することは
>まったく違う

１）”「いくらでも長い有限連鎖が存在する」からといって
　「無限連鎖が存在する」ということにはならん”
　は正しい。だから、ZFに無限公理が存在する（下記）
２）無限公理を認めると
　下記の通り、ペアノの公理で自然数全体の集合Nが存在する
３）そして、ZF中では”無限”という言葉は用いられていないことに注意
　上記のような議論は、重要だが、下手をすると言葉遊びの上滑りになる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃A(φ(空集合)∈A ∧ ∀x∈A(x∪{x}∈ A))
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていない
A は以下の性質を満たすことを確認できる
略
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、B は有限集合であり、A≠B である
なぜならば定義により B∪{B}∈ A であるが、B∪{B} not∈ B となるからである
一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である
ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである
(引用終り)
以上