つづき

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正則性公理（英: axiom of regularity）は、別名「基礎の公理」（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
We define a binary relation R on S by
aRb:←→b∈ S∩a

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ペアノの公理
集合論的な構成
具体的な自然数は

0:=Φ={}
1:=S(0)={0}={{}}
2:=S(1)={0,1}={{},{{}}}
3:=S(2)={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}
のようになる。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[8]。
自然数の集合が定義されたとき、その構成と自然数上での帰納法から、自然数上の算術や順序を定めることができる
(引用終り)
以上