ID:hMl4hF9N=ID:HZhmngGyさん？
がどうやって発見したのか知らないが
わたしなりに考えてみた。
多分、オイラーの定義式から
初等的な変形のみで導けるのだろう。

C(n)=Σ_{k=1}^n 1/k
L(n)=Σ_{k=1}^n (-1)^{k+1}/k

とおくと
lim_{n→∞}(C(n)-log(n))=γ,
lim_{n→∞}L(n)=log(2)

が成立することに注意する。
（C(n)に比べてL(n)の極限は遥かに簡単な量になることにも注意。）

等式　C(2n)-L(2n)=C(n)　が成立することに注目する。
右辺は左辺にあらわれる「半分のn」になっており
単純になる、このことを計算に利用できないだろうか？