>>921
>必ず(p-1)/2になる、といってるなら誤り
>もっと小さくなる場合もある
>生半可な知識に安易に頼らない
>高校生の範囲の用語で答えられるよ

ありがとう
高校生の範囲外だが、
オイラー式 （数学オリンピック対策）
e^(2πi/n) =cos 2π/n +isin 2π/n
は使った方が良いだろう

その上で、幾何図形の正ｎ多角形を考えて、その知識を使えば
e^iθ＝cos θ +isin θ
1/e^iθ ＝ e^-iθ＝cos θ -isin θ(共役複素数)
で、ζnと1/ζn をペアに考えれば
ζn + 1/ζn を使って、相反方程式と同様の筋が使えて、次数は(p-1)/2に落とせる
ここまでは、普遍的な式変形

その後は、p-1がどう素因数分解できるかによるのだろう
高木先生の「近世数学史談」の冒頭のガウスの逸話がこれだった気がする

（参考）
https://manabitimes.jp/math/1345
高校数学の美しい物語
円分多項式とその性質 2021/03/07
レベル:
★
数学オリンピック対策
ζn =e^(2πi/n) =cos 2π/n +isin 2π/n
（n 乗して1 になる数のうちの一つ）とおく
多項式
Fn(x)= ∏ k∈An (x−{ζ_n}^k）
を円分多項式（円周等分多項式）と言う。
ただし，An は1 以上n 以下の整数で，
n と互いに素なもの全体の集合です。
目次
具体例
素数に対する円分多項式
性質
既約性