>>962
スレ主です
良いツッコミですね by 池上さん

>120次の方程式
>(X-V1)(X-V2)・・(X-Vi)・・(X-V120)=0 i=1〜120
>については
>x^120+s_119x^119+…+s_1x+s_0
>と表したときの
>s_119,…,s_1,s_0
>が、元の一般5次方程式f(x)の係数を使って表せる

まず、ここから
１）言わずと知れた、根と係数の関係 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E3%81%A8%E4%BF%82%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82
　要点は、n次方程式のn個の根α1, …, αn に関する k 次基本対称式が、n次方程式の係数になること
２）いまの場合、120次の方程式の根と係数の関係成立
　この120次の方程式の係数に注目すれば、5次方程式の5個の根α1, …, α5の全ての置換で不変
　つまり、α1, …, α5の対称式であって、対称式の基本定理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%BC%8F
「任意の対称式 f(x1,x2,…,xn) に対し、基本対称式を変数にとる多項式 g(σ1,σ2,…,σn) が一意に存在して
　f(x1,x2,…,xn) = g(σ1,σ2,…,σn) となる。これを対称式の（第一）基本定理という」
　のがありまして、”120次の方程式の係数は5次方程式の係数の多項式”つまり、有理数係数の5次方程式として
　120次の方程式の係数も有理式です

さて
>x^60+a_59x^59+…+a_1x+a_0
>と表したときの
>a_59,…,a_1,a_0
>って、元の一般5次方程式f(x)の係数からどう表せる？

１）同様に、60次の方程式の根と係数の関係成立
２）60次の方程式の係数で、根の偶置換A5を施しても、60次の方程式の根は偶置換に関するものを集めたのだから
　60次の方程式 (X-V1)(X-V'2)・・(X-V'j)・・(X-V'60)=0 j=1〜60 は、不変（証明略す）
３）一方差積は、>>951より 偶置換で不変（なお奇置換では±の符合が変わる）
　いま差積をDpとして、これを有理数体Qに添加して、1次結合 q+rDp （q,r∈Q）を考える
　q+rDpは、明らかに根の偶置換A5全てで不変
　よって、60次の方程式の係数は、q+rDpの有理式で表わすことができる＊）
　＊）この証明は、倉田令二朗「ガロアを読む第I論文研究」(1987)日本評論社の
　§7 有理量を不変にする群と他の有理量との関係ーラグランジュの定理
　又は
　矢ヶ部巌「数III方式ガロアの理論」第12章 根の有理式を解明する
　をご覧あれ （多分、他の本にもありそうだが）
以上