数学基礎論・数理論理学　その19

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その18
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1474357543/

>>458
さすがにそれはないやろ

述語論理は完全だと言いたいんじゃないの？

>>460
意味わからん
2階だろうが3階だろうが完全ってどうやって証明するつもりなん？

ヘンキンの方法って知りませんか？

>>462
それがこれの答えになってるとは思えないのだが…

458 １３２人目の素数さん 2024/09/29(日) 00:28:52.77 ID:lqIWNgoG
トンデモさん？二階だろうが三階だろうが述語論理は完全だよ。

やはり自演じゃないんですか？よくわからない古い本読むよりも現代的な本読んだ方がいいんじゃないですか。
どちらにせよ述語論理は完全であることに変わりないですよ。

>>464
高階のときは成り立たないだろ
成り立つというなら証明してみろよ

自説を否定されて逆ギレですか。やめましょうよ。現代的な教科書持ってますか？
そこに高階の述語論理には完全性はなりたたないとか書いてありますか？ちゃんと読めてますか？

>>466
完全性の定義がお互いに違うだけじゃねーの？
どういう定義してるのよ？
こっちは|=ならば|-の話なんだけど、そこは一致してる？

>>466
高階の述語論理では完全性定理は成り立たない
コンパクト性定理が成立しないから

今日のこいつ ID:lqIWNgoG が ID:bVRl+o2W 本人だったんじゃねーかって気がして来た

>>469
それは完全に正しい

どちらの意味で？

>>457
なんで同定でけるの？

信じたければ勝手に信じればいいと思うよ。ただ、なんでそこまで頑なに信じるの？
根拠はあるの？

2階述語論理 完全性 でググったらこんなのが見つかった
https://www.fos.kuis.kyoto-u.ac.jp/pipermail/logic-ml/2016-September/001081.html

2階述語論理の意味論にはタルスキ意味論とヘンキン意味論があり
ヘンキン意味論では完全性が成り立つがタルスキ意味論では完全性が成り立たないのだそうだ

意味分からんけど

ヘンキンのは役立たんし

役に立たないのが事実上の標準になってるの?

>Henkin流の意味論が2階論理の現在の事実上の標準的な意味論である．

>>476
そうだよ？

基礎論では反証を否定すれば正しいだって（）

反証がないことを断定できる議論は証明

>>472
こいつ過去に色んな数学コミュでおんなじように暴れてきたから

だから二階述語論理は完全じゃないとかよくわからないことを頑なに主張し続けていたのか。
教科書読めばすぐわかることなのに。トンデモさんの相手はもうやめましょう。

>>481
定義書いてごらん
|=をどう定義したの？

>>481
他人を煽って聞きたいことを引き出そうとしてるんだろうな
ID:lqIWNgoG ID:bVRl+o2W

>>474
「二階述語論理の代表的な意味論として
　タルスキ意味論（完全意味論）とヘンキン意味論の二つがある。
　タルスキ意味論を用いると、
　一階述語論理で表現できない様々な性質を記述できるが、
　一階述語論理において成り立つ定理（完全性定理、コンパクト性定理など）がことごとく成り立たず、
　二階述語論理は非常に複雑になる。
　一方、ヘンキン意味論を用いると、
　一階述語論理において成り立つ多くの定理が成り立つが、
　論理の表現力は一階述語論理と全く同じで、一階述語論理と比べて二階述語論理に新しい現象は
見られない。」
　
　これが全て
　だから本来の二階論理は一階論理上の公理系として実現できない

突然ですが、質問です。
nは整数で、かつ、
命題「n^2+1 = 0 ⇒ n^2+2 = 0」
は、真か偽、どっち

ウチュ〰人のワシの怪答
n^2+1 = 0 ⇒ n^2+2 = 0　が真なら
nが虚数となり、整数との前提に矛盾
故に　n^2+1 = 0 ⇒ n^2+2 = 0　は偽

ウチュ〰人の別解
n^2+1 = 0 ⇒ n^2+2 = 0　が真なら
n^2+1 = n^2+2　となり、
1=2 となり、矛盾
故に　n^2+1 = 0 ⇒ n^2+2 = 0　は偽


なんだが、地球人が多数と思われる
ヨウツベ(俗称)では、対偶では、
真だから、この命題は真らしい

では、
命題「地球人は頭はバグってる」は
真か偽か教えて下さい。
by 👾

>>485
>nは整数で、かつ、
>命題「n^2+1 = 0 ⇒ n^2+2 = 0」
>は、真か偽、どっち
論理式で書いて

やめたら？

>>487
なんで？
きちんと書けば一発でしょ

つまらないからやめたら？

つまらないからやめたら？

イロイロ、アドバイスありがとう
自己怪決しました。

「偽　➡　偽」　⇒　真　∵
「真　⬅　真」　⇒　真　∵自明

そもそも「全整数⇒全整数」だから
「整数なのに虚数⇒整数なのに虚数」
は真だな🤔　多分

さてと、
真　⇒　「偽　➡　偽」または、「真　⬅　真」　
と言えるか吟味しよっと。暇な時に
by 👾　ぢゃーまたねぇ　(^^)/~~~

↑　コテハン間違えた　486ぢゃなくて485　m(_ _)m

2階の述語論理って危険じゃないかな
任意の述語を考えることでパラドクスは出ない？
型の混同がなければ大丈夫なのかな
それでも2階までで3階はほんとに危険な気がする

1階　↔︎　ZF(C)
2階　↔︎　BG
3階　↔︎　もうダメ
なイメージなんだけど

既存の論理学は、間違いだらけ
ttps://logic2.blog.jp/archives/cat_69088.html

初見
今、高橋正子の計算論のλモデルD_∞とκ^*の同値性のところ読んでる
読みやすいけど、今、山場の所だから、結構しんどい

俺も持ってる（読まないと）。
でも、山場は型無しλ計算のモデルであるD_∞の構成のところじゃないの？

いや、議論の長さや知識の総動員っぷりは、D_∞とκ^*の同値性の所の方が上

それにしても、高橋正子は行間を埋めた議論をしてくれてるから結構助かる。例えるなら、松坂和夫の計算論入門版と言ったところか。

ふーんそうなんだ。k^*公理系とかなんか操作的意味論のフェライゼンの評価文脈みたいだね。
なんか関係あんのかな？

連続体仮説って、わからん、が結論でOK？

最近は巨大基数公理を仮定して、(G)CHは成立しないとする立場が優勢みたい
わからんじゃなくて成立しないことに

>>500
ZFCからは肯定も否定も証明できない命題。
つまり、ZFC|-CHを仮定すると矛盾するし、ZFC|-¬CHを仮定すると矛盾する。
(CH=Continuous Hypothesis=連続体仮説)
この証明は大変
でもACの独立性証明は更にもっと大変

まだ巨大基数公理を勉強するレベルまで知識ついてないんだが、カナモリの巨大基数の集合論は死ぬまでには読めるようになりたい。

型って数学的思考の対象の全体ってことで
a,bが型ならaの対象からbの対象への対応を対象とする全体a→bも型ってこと（だけ）でいいの？
このときa∪bにあたるものを型にしないのはなぜ？

型は式につける制約とその法則だから何かの全体とか思わないほうがいいんじゃね

十で神童 十五で才子 二十過ぎれば只の人

>>505
じゃ
型が指し示すものが対象の全体でもいいや
a,bが型ならa→bという方の指し示すのはaの指し示す対象の全体からbの指し示す対象の全体への対応の全体
a∪bという型をその指し示すものがaの指し示す対象か又はbの指し示す対象であるものとするとかでよくね？

それと
型の一番基礎のところに
ある数学的思考領域を指し示す型（例えばe）を置くようだけど
その数学的思考の領域とは集合？クラス？
でも
クラスじゃないよな
だってeの指し示す領域がクラスなら
e→eという型の指し示す数学的対象って
クラスからクラスへのクラス関数てことになるけど
クラス関数の全体を考えることは矛盾なので
それは数学的思考領域を形成し得ないてことで
e→eというものは型になり得ない
となると
eの指し示す数学的思考の領域Dとは集合ということになって
e→eという型の指し示す数学的思考領域はD^Dという集合
けど
これてつまんないじゃん

>>507
型が指し示すものとか気にする必要ないやろ
集合論で解釈すること前提なら最初から集合論でいいじゃん
この型を持ってる式をこう組み合わせたらこの型の式ができますってルールを集めましたってのをスタート地点にしないとだめだよ

>>508
最初の置くようだけどからすでにきいたことがない

>>509
いえ
何らかの数学的対象の「領域」というものを
硬理論でも常に考えなくてはいけません
そうでなければ
ただの有限文字列なのですから
ますます意味がないのです
数学的な意味というものを集合論と切り離して
考えることは無理です

プログラミングにおけるIntegerとかRealっていう変数の取りうる値の領域が
そもそも硬理論の素朴なイメージ
関数定義が続き
関数に対して関数を対応させる関数がと
さまざまな型が現れるけれど
どれも集合時って話せません
言うなれば
硬理論は集合論の中で思考領域の階層をどう厳密に表すかということを
あれこれ定義しているにすぎないのです
だから
高階論理と言っても結局は一回論理に帰着されるだけで
何ら新しい治験はもたらさない

>>511
有限文字列ではなくて再帰的な構造をもつ有限木ね
それがどういう振る舞いをするのかを数理論理学の連中はこぞって研究してるんだから、有限だからつまらないとか言うなら帰ってくれ

>>513
研究対象なのはその意味についてです
しかしその意味が無価値ではどうしようもない

>>514
違います
君が勝手にそう思ってるだけ

>>515
違いました
意味のある研究対象は
その意味論だけです
しかしその意味が無価値ではどうしようもない

>>516
集合論で解釈するなら最初から集合を使えばいいだろ
和集合だろうが直積だろうがなんでも最初から用意されてるんだから

集合で解釈することでなんか素晴らしい定理が完成したら教えてね

>>517
そもそも意味のないことをしているという自覚がないから
研究だと言い張っているわけですね

>>518
じゃあお前は集合論に意味を与えるようななんらかの体系をもってるわけ？
それがないと集合論は無意味だよ？

集合なんかよりよっぽど具体的で有限なものを扱ってるんだから、それが無意味なわけがないじゃん
集合なんかよりはるかに足場が固まってるだろ

>>518
はやく集合論が意味のないことをしていないことを示せよ
意味を定めないと無意味なんでしょ
さっさとしろよ

各種のナントカ基数を定義し、そのナントカ基数の存在を仮定するならば定理◯◯が証明できる
っていう議論をひたすら色んなナントカ基数を定義しながら繰り返す(？)のって、一体集合論って何なんやろって思わさせられる。

>>522
その必要性を理解できないんですね

>>523
こんな多すぎてやる気が起きひんやろ
https://i.imgur.com/uHZmzbv.png

>>524
研究の宿命というかありがちな流れだと理解できてませんね
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties

数理論理学の教科書ってなんか
思いが勝って？意味不明瞭てか
定義して論証するスタイルから
逸脱してしまってる本もあるな
何を言おうとしているか曖昧で

具体的に書名と該当する文章を記せ
ここに書けないならブログに書いてリンクを張れ
できないなら黙って●ね

定義して定理を証明するの繰り返しになってない数理論理学の本などあるわけがない

>>528
その前に曖昧な「思い」を語って
定義が明確でなく証明も曖昧な本

>>529
じゃあその本を引用してくれよ
お前が言ってること解析入門君以下だよ

>>529
まだ？
結局いつもの妄想だったの？

>>529
「思い」の部分はいいから、試しに曖昧な定義ってのを貼ってごらんよ
なんでできないの？解析入門君でもできるのに

>>529
まだ？
これ自己紹介だったってオチ？＞思いが勝って？意味不明瞭

甘ちゃんね

>>529
まだ？
君のqiitaに書いてくれてもいいんだよ
リンクは上のほうに貼ってあったし

さっさと出て来て、なぜ集合のことを集合ではなくクラスと呼ぶのか定義に基づいて説明しろよ

74 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/12/23(月) 10:25:49.39 ID:xuo45Noy
「なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？」スレの989
>『{}∈{{{}}}』について、個別に真だの偽だのを論じたことはない
この期に及んで言い逃れかい？
じゃあ以下の何がなぜ間違いか言ってごらん

（引用開始）
また正則性公理と関係無く推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない
実際 {}∈{{}} ∧ {{}}∈{{{}}} は真だが、{}∈{{{}}} は偽。
（引用終了）

>おサルさんたちが、自分たちの言い逃れのため、ヤクザのインネンを付けてきているだけのことよ
>めんどう臭いから、スルーしていますｗ （＾＾
間違いだとインネン付けてきたのは君。インネンである証拠に君は何がなぜ間違いかを言ってない。

75 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/12/23(月) 11:22:56.67 ID:DXqGPbwQ
集合{{{}}}の要素とは
最外の{}を外した項の列の中のそれぞれの項
したがって{{}}しかない

これ豆な　知らん奴は大学１年落第

主観・感情・読者解釈の形式化可能性
任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば
– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1）
– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L⌝,t)」
これらを含む理論 T は
再帰的可算（Henkin 1950）、
任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、
T ⊬ Con(T) かつ決定不能文 θ を必ず抱える（Gödel 1931／Rosser 1936）
→ どんな背景定義を用いようと、現実世界への言及には弱算術 Q が不可欠であり、第一不完全性の射程外には出られない

純ナンセンスの例
g0d!#? ωω++ …
識別不能・順序不能・参照不能で再帰的列挙すらできず、意味が蒸発する

オントロジー層とテキスト層
テキスト層 書かれた文字列のみを扱い意味づけ不能
オントロジー層 背景定義・公理群でテキストをモデル化し初めて意味を獲得

反例と現実性
反例は「テキストに乗法記号がないから形式体系に Q が含まれない」という誤解を打ち破る。
– なんでも計算できるコンピューター：テキストに×がなくとも「チューリング完全」と定義すれば Q を内包
– 源氏物語の物理社会：面積＝縦×横、速度×時間、単価×数量を想定すれば必ず Q を前提
– Presburger 算術：加法のみでは現実世界を一切表現できず、意味ある主張にはなり得ない

まとめ
1. 意味ある文章とは「現実世界への言及そのもの」であり、その参照自体が意味である
2. 現実世界への言及ならば必ず弱算術 Q を含み、Q を含まないなら現実世界への言及とはならず意味を持たない
3. Q を含まない理論は純粋ノイズにすぎず、現実世界に対する意味ある主張として成立しない
4. 唯一の非自明な正しさを担保できるのは経験的検証による科学のみである
5. 経験的情報を取り入れれば自然科学・社会科学・芸術科学・倫理科学・理論物理学へと回収され、取り入れなければ純粋形而上学にとどまり無意味な妄想となる

つまり生き残れる哲学は存在せず、唯一の可能な学問は科学のみである

数学はもちろん形式科学だから学問

出来るはずのない論理のタブーを犯しているため哲学や形而上学は学問ではない

>>542
「哲学や形而上学は学問ではない」という意見だけど、それは一般的な見方とは違うね。

多くの大学で哲学や形而上学はちゃんとした研究分野として扱われているし、歴史的にも重要な学問として認識されている。例えば、古代ギリシャのプラトンやアリストテレスから近代のデカルトやカント、現代の分析哲学まで、多くの思想家たちが論理に基づいた思考を展開してきた。彼らの議論は、論理的な整合性を重んじ、緻密な思考によって構築されている。

「出来るはずのない論理のタブーを犯している」という点が具体的に何を指しているのか不明だけど、もしそれが哲学的な問いの性質、つまり経験的な検証が難しい領域を扱っていることだとしたら、それは哲学の特性であって、学問としての価値を否定するものではない。むしろ、科学では扱えない根源的な問い、例えば「存在とは何か」「知識はどのようにして得られるのか」「道徳の基礎は何か」といった事柄を探求するのが哲学の役割だ。

これらの問いは、論理的な思考や概念分析を通して深く掘り下げられ、人文科学や社会科学だけでなく、自然科学の基礎にも影響を与えている。学問の定義は多様だけど、一般的には体系的な知識の探求、批判的な思考、そして議論の構築が含まれる。哲学や形而上学は、まさにこれらの要素を満たしていると言えるだろう。

>>545
論理的思考は不可能で権威主義と
大学でホメオパシー教えてたら学問と
知能0
タブーが何が書かれている
ゲーデルの第二不完全性定理違反
ウィトゲンシュタインによる形而上学の無意味性証明すら知らんアホが吠えんなや

殺害予告常習犯フクロナガサ晒しage

カントールのパラドックスを考えていた。
素朴集合論では
集合の集合の濃度は最大でも可算無限ではないだろうか。
そうなると、パラドックスにはならない。
素朴なので無制限な内包公理も無く、実数直線の意味での連続性を持つ連続な集合は無いだろう。
素朴集合論にはZFCの分出公理に相当するものが最初から入っていると考えられる。
どうだろうか？

Frápolli1991によれば、
数学への実在論的アプローチによる、ということである。
分出公理に相当するものは、この実在論的アプローチであった。
なんにせよ、集合の集合の要素は集合であり、要素としての集合の内部には立ち入らない。
これは非可算無限な集合を可算無限な集合にマッピングできる可能性があるということだろう。
実数を集合論によって可算無限にマッピングできる！　（ただし、実数の解釈は一般的なものと異なることになるが。数学におけるひも理論か？）

（数学における）ひも理論ではなく超ひも理論でもよいのだが、
超の場合、超対称性も必要になる。集合論そのものが超対称性を持っていると思う。
すっごく簡単にいえば、数学（数学的対象）も「波」だ。

実在論的アプローチや、分出公理の意味などを考えるとき、
集合は、アクセス可能なものでしか構成できないのだろうと思った。
アクセス可能性。
Ｎ次元もしくは無次元において線でつなげられるかどうか。無矛盾性の再定義。

>>554
意味の通る文章を書いてほしい

>>543
単に哲学をそれ以外の言葉で呼び変えることで哲学を名義上消去しただけにしか見えんが（笑）

論理学は形而上学であり認識論でありしたがって哲学である
といいだしたらどう反論するつもりなのか？

存在を消去した論理は可能か？
認識を消去した論理は可能か？

無理じゃね？

そもそも
認識抜きの存在はない
存在なしの認識もない

要するに存在と認識は表裏一体