数学基礎論・数理論理学　その19

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その18
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1474357543/

a=(α,a)
のαは後続順序数だからあらためてα-1をαと書いて
a:VBα→B
と書くのが良さそう（αはこのように書ける最小の順序数）

x:VBξ→B（x∈VBξ+1）
a:VBα→B
b:VBβ→B
に対して
a⊂b
は
∀x(x∈a→x∈b)
で定義するから
|a⊂b|=|∀x(x∈a→x∈b)|
=∧[x∈VB]|¬(x∈a)∨(x∈b)|
=∧[x∈VB](|x∈a|c∨|x∈b|)
=∧[x∈VBξ+1,ξ+1<α](|x∈a|c∨|x∈b|)
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1=α](|x∈a|c∨|x∈b|)
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1>α](|x∈a|c∨|x∈b|)
=∧[x∈VBξ+1,ξ+1<α](|x∈a|c∨|x∈b|)
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1=α](|x∈a|c∨|x∈b|)
=∧[x∈VBξ+1,ξ+1<α](a(into(x))c∨|x∈b|)
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1=α](|a(x)c∨|x∈b|)
ここで
α<β
だとすると
|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ+1<α](a(into(x))c∨|x∈b|)
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1=α](|a(x)c∨|x∈b|)
=∧[x∈VBξ+1,ξ+1<α](a(into(x))c∨b(into(x)))
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1=α](|a(x)c∨b(into(x)))
α=β
のときは
|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ+1<α](a(into(x))c∨b(into(x)))
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1=α](|a(x)c∨b(x))
α>β
のときは
|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ+1<α](a(into(x))c∨b(into(x)))
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1=α]|a(x)c
=∧[x∈VBξ+1,ξ+1<β](a(into(x))c∨b(into(x)))
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1=β](a(into(x))c∨b(x))
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1>β]a(into(x))c
∧∧[x∈VBξ+1,ξ+1=α]|a(x)c

書き分けが面倒だから
into:VBα→VBβ:monic
を
α=β
のときに
into=id
とすることにすれば
x:VBξ→B（x∈VBξ+1）
a:VBα→B
について
|x∈a|=a(into(x)) for γ<α, 0 for γ≧α
と簡潔になり
x:VBξ→B（x∈VBξ+1）
a:VBα→B
b:VBβ→B
に対して
|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))c∨|x∈b|)
と簡潔になり
α<β
のときは
|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))c∨b(into(x)))
α=β
のときは
|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))c∨b(into(x)))
α>β
のときは
|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<β](a(into(x))c∨b(into(x)))
∧∧[x∈VBξ+1,α>ξ≧β]a(into(x))c
と簡潔に書ける

>>954
>α<β
>のときは
>|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))c∨b(into(x)))
>α=β
>のときは
>|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))c∨b(into(x)))
同じなのでまとめて
α≦β
のときは
|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))c∨b(into(x)))
α>β
のときは
|a⊂b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<β](a(into(x))c∨b(into(x)))∧∧[x∈VBξ+1,α>ξ≧β]a(into(x))c
と書けるね

|a=b|=|a⊂b|∧|a⊃b|
=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))c∨|x∈b|)
∧∧[x∈VBξ+1,ξ<β](b(into(x))c∨|x∈a|)
なので
α=β
のときは
|a=b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α]((a(into(x)c∨b(into(x))∧(a(into(x))∨b(into(x))c)
=∧[x∈VBξ+1,ξ<α]((a(into(x)∧b(into(x))∨(a(into(x))c∧b(into(x))c)
（もっと簡潔には）
=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x)⇔b(into(x)))
だし
α<β
のときは
|a=b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))c∨b(into(x)))
∧∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))∨b(into(x))c)∧∧[x∈VBξ+1, β>ξ≧α]b(into(x))c
=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x)⇔b(into(x)))
∧∧[x∈VBξ+1, β>ξ≧α]b(into(x))c
α>β
のときは
|a=b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x)⇔b(into(x)))
∧∧[x∈VBξ+1, α>ξ≧β]a(into(x))c
となるな

>>956
>α=β
>のときは
|a=b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))⇔b(into(x)))
>α<β
>のときは
|a=b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x)⇔b(into(x)))∧∧[x∈VBξ+1, α≦ξ<β]b(into(x))c
の後半
∧[x∈VBξ+1, α≦ξ<β]b(into(x))c
って
a=(α,a),a:VBα→B
にあんまり関係してないね
何か変だな

α<β
のとき
a:VBα→B
は
into:VBα+1→VBβ+1
によって
into(a):VBβ→B
と同値になるわけだが
into(a)(y)=a(x) for y=into(x), 0 for otherwise
なので
x:VBξ→B for α≦ξ<β
について
into(a)(into(x))=a(x) for ξ=α, 0 for α<ξ<β
なので
∧[x∈VBξ+1, α≦ξ<β]b(into(x))c=∧[x∈VBξ+1, α≦ξ<β](into(a)(into(x))⇔b(into(x)))
だから
|a=b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<β](into(a)(into(x))⇔b(into(x)))=|into(a)=b|
てことか
結局
α=β
のときの
|a=b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))⇔b(into(x)))
が本質で
α<βまたはα>βのときは
大きい方にintoで持ち込んで同じ順序数で上記の定義を使うということか
納得
さらに大きな
α<β<γ
のγまで持ち込むと
β<ξ<γ
の
x:VBξ→B
は
into(b)(into(x))=0
なのでそのcomplementは1だから定義に不用ということね

なんかスッキリした感じ

>>958
>α=β
>のときの
>|a=b|=∧[x∈VBξ+1,ξ<α](a(into(x))⇔b(into(x)))
=∧[x∈VBα](a(x)⇔b(x))
これに尽きますね
また
>>948
>x=(ξ,x),a=(α,a)
>が
>x∈a
>であるB真理値を
>|x∈a|=a(into(x)) for γ<α-1,a(x) for γ=α-1, 0 for γ≧α
γじゃなくてξの間違い
intoはidも含むことにしたし
そのあとの考察で1つズラしてるから
|x∈a|=a(into(x)) for ξ≦α, 0 for ξ>α
となるのだけど
ξ>αのときは
into(a)(x)
の方が適当に見えるかも知れないけど
ξ>α
のときは
x=(ξ,x)
のξが最小である（xが（idでない）intoの像にならない）ことから
into(a)(x)=0
なので
|x∈a|=a(into(x)) for ξ≦α, 0 for ξ>α
（ここのintoはidも含む）

>>960
>|x∈a|=a(into(x)) for ξ≦α, 0 for ξ>α
|x∈a|=a(into(x)) for ξ<α, 0 for ξ≧α

結局これも
a:VBα→B
x∈VBξ
として
ξ=α
のときの
|x∈a|=a(x)
が本質で
ξ<αならxをintoでVBαに入れ
ξ>αならaをintoでVBξ+1に入れるが結局into(a)(x)=0
てことか

>>954
これも
a:VBα→B
b:VBβ→B
に対して
α=β
のときの
|a⊂b|=∧[x∈VBα](a(x)→b(x))=∧[x∈VBα](a(x)c∨b(x))
が本質で
α<β
のときは
|a⊂b|=|into(a)⊂b|=∧[x∈VBα](a(x)c∨b(into(x)))
α>β
のときは
|a⊂b|=|a⊂into(b)|=∧[x∈VBβ](a(into(x))c∨b(x))∧∧[x∈VBα]a(x)c
となる

a:VBα→B
x:VBβ→B
(x∈VBβ+1)
β<α
について
a(x)=a(into(x))∈B
を
aの中にxが存在する度合い（Bの元で示す）を表すと考えたが
x¥∈dom(a)
であっても
a(x)≠0
とすべきなのかも

x¥∈dom(a)
は
¬x∈supp(a)
に訂正

¬x∈supp(a)
であっても
a(x)≠0
というのは
VB0=φ=0=V0
VB1={φ}=1=V1
VB2=Map(VB1,B)≡B
で
VB2の元は0の存在度合いでBの元を使うわけで
VB3=Map(VB2,B)≡Map(B,B)
において
たとえば
B=P(2)=P({0,1})={φ,{0},{1},{0,1}}={0,1,{1},2}
のとき
a∈VB3
が
a(0)=1
a(1)={1}
a({1})=1
a(2)=2
だったとき
|0∈a|=1
|1∈a|={1}
|{1}∈a|=1
|2∈a|=2
はいいだろうが
b∈VB3
が
b(0)=0
b(1)=0
b({1})=1
b(2)=2
のとき
dom(b)の0,1,{1},2はどれも0=φの存在の程度を区別しているだけなので
|0=0|=(0⇔0)=2
|0=1|=(0⇔1)={1}
|0={1}|=1
|0=2|=0
|1=1|=2
|1={1}|=0
|1=2|=1
|{1}={1}|=2
|{1}=2|={1}
|2=2|=2
であるから
¬0,1∈supp(b)
であるからといって
|0∈b|=|1∈b|=0
と断じていいものだろうか
同じ（=）とみなす程度をBで表しているわけだから
|1∈b|=b({1})=1
|2∈b|=b(2)=2
とも関係させるべきではないか

たとえば
|x∈a|=sup(|x=y|∧a(y))
とかはどうだろう
|0∈b|=1
|1∈b|=1
|{1}∈b|=1
|2∈b|=2
になる

supp(a)の元についてはこう変更しても変わらないが
supp(a)に入らない元xについてもsupp(a)の元との
一致の度合いに鑑みてx∈aの真理値が定まると

ppap()

２６℃
晴れ

いやいや
B=P(2)={φ,{0},{1},{0,1}}={0,p,q,1}
と表して
VB1={φ}
は元としての
φ=0
を定義していて
この段階では
|0=0|=(0⇔0)=1
|0⊂0|=(0→0)=1
は定義されるが
|0∈0|
は定義されないものの
0∈VB1
を
into:VB1→VB2=Map(VB1,B)
で写すと
0(0)=0
という写像になるから
|0∈0|=0(0)=0
つまり
0の中に0は存在しない（程度が０∈B）
VB2=Map(VB1,B)=Map({0},B)
とは
0を元として含む程度が
0,p,q,1∈B
の4種類の集合
VB2={{(0,0)},{(0,p)},{(0,q)},{(0,1)}}={0,p,q,1}
を定義していて
0∈VB1
に対して
|0∈0|=0
|0∈p|=p
|0∈q|=q
|0∈1|=1
という存在程度である集合ということになる
この段階では
|0⊂0|=∩(|x∈0|→|x∈0|)=|0∈0|→|0∈0|=0→0=1
|0⊂p|=0→p=1
|0⊂q|=0→q=1
|0⊂1|=0→1=1
|p⊂0|=p→0=q
|p⊂p|=1
|p⊂q|=q
|p⊂1|=1
|q⊂0|=q→0=p
|q⊂p|=p
|q⊂q|=1
|q⊂1|=1
|1⊂0|=0
|1⊂p|=p
|1⊂q|=q
|1⊂1|=1
から

x⊂ｙ| 0pq1
---------------
0 　 | 1111
p 　 | q1q1
q 　 | pp11
1 　 | 0pq1
---------------
ということになり
|x=y|=|x⊂y|∧|y⊂x|
より
x=y | 0pq1
---------------
0 　 | 1qp0
p 　 | q10p
q 　 | p01q
1 　 | 0pq1
---------------
となる

さてここで
x∈y | 0pq1
---------------
0 　 | 0pq1
は言えているものの
into:VB2=Map(VB1,B)→VB3=Map(VB2,B)
で
into(0)={(0,0),(p,0),(q,0),(1,0)}∈VB3=Map(VB2,B)
into(p)={(0,p),(p,0),(q,0),(1,0)}
into(q)={(0,q),(p,0),(q,0),(1,0)}
into(1)={(0,1),(p,0),(q,0),(1,0)}
だからといって機械的に
|p∈q|=0
でいいのか
|p=0|=q
なので
q(0)=q
と考え合わせて
q∧q=q
だから
|p∈q|=∪|p=y|∧q(y)=q
でどうだろう
そうならば
|p∈p|=∪|p=y|∧p(y)=0
|p∈1|=∪|p=y|∧1(y)=q
となる

x∈y | 0pq1
---------------
0 　 | 0pq1
p 　 | 00qq
q 　 | 0p0p
1 　 | 0000
---------------
てことになって
y(x) | 0pq1
---------------
0 　 | 0pq1
p 　 | 0000
q 　 | 0000
1 　 | 0000
---------------
とはかなり異なる

>>972
ただこれで
x∈y∈…∈x
が起こりえる程度が0でないなんてことがあると困るのと
x=y ⇔ ∀z(z∈x⇔z∈y)
が成り立たなくなると困る

>>975
x=y ⇔ (x⊂y)∧(y⊂x)
x⊂y ⇔ ∀z(z∈x→z∈y)
で
ぜんぶ
x∈y
に帰着すなわち
|x=y|=|x⊂y|∧|y⊂x|
|x⊂y|=∩(|z∈x|→|z∈y|)
とすれば
|x∈y|
の定義変更だけで何とかなるか

>>974
さすがにx∈xは成立しない（真偽値0∈B）だけど
|p∈q|=p
|q∈p|=q
なのは気味悪いな
|p∈q∈p|=p∧q=0
だから問題ないということになるんだろうが

|p∈q|=q
|q∈p|=p
なのは気味悪いな
|p∈q∈p|=q∧p=0

>>974
>x∈y | 0pq1
>---------------
>0 　 | 0pq1
>p 　 | 00qq
>q 　 | 0p0p
>1 　 | 0000
>---------------
ここからあらためて
|x⊂y|=∩(|z∈x|→|z∈y|)
で
z=p,q,1
についても考えても
x⊂ｙ| 0pq1
---------------
0 　 | 1111
p 　 | q1q1
q 　 | pp11
1 　 | 0pq1
---------------
で変わらないので
x=y | 0pq1
---------------
0 　 | 1qp0
p 　 | q10p
q 　 | p01q
1 　 | 0pq1
---------------
も変わらない
つまり
x∈y
の定義を変更してもその変更の基礎である
x=y
に整合性があるので問題は無いということ

さて次の
VB3=Map(VB2,B)
には（B={0,p,q,1}のブール代数の場合）
4^4=256通りの元がある
そのうち
into:VB2={0,p,q,1}→VB3
で送られてきたものは
into(0)={(0,0),(p,0),(q,0),(1,0)}=(0,0,0,0)
into(p)={(0,p),(p,0),(q,0),(1,0)}=(p,0,0,0)
into(q)={(0,q),(p,0),(q,0),(1,0)}=(q,0,0,0)
into(1)={(0,1),(p,0),(q,0),(1,0)}=(1,0,0,0)
（ベクトル表示の成分はそれぞれ0,p,q,1の像）
VB3∋(a,b,c,d),(e,f,g,h)
について
|(a,b,c,d)∈(e,f,g,h)|
を決めて
|(a,b,c,d)⊂(e,f,g,h)|
が決まって
|(a,b,c,d)=(e,f,g,h)|
が定まるが
これが整合性を持つだろうか
また矛盾に0以外の真理値を与えてしまわないだろうか

２４℃
くもり

もう来んな

いらっしゃーい

も来んな

知らんがな

２１℃
くもりのち晴れ

来んな

いらっしゃ～い

きも

キモチイイ

イーヒッヒ

狂ってる

ゲスですからw

やっと自覚したか

ただのゲスじゃないよ、ヤバ夫ですからw

ゲスが

簡単にキモいとか言える人にゲスって言われてもねぇw
じゃあ貴方は何なのかという…。
げしゅう？

御大にやりこめられた人なんかね。
まあ、興味ないけどw

ゲスにゲスと言うだけのこと
誰に何をされたって？
人に自分の主義主張を押しつけるだけで無く
クダラン評価をして悦に入るようにもなったか

ゲスの極み

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