＞現代数学において自然数の定義はひとつだよ

ただそれを満たす自然数のモデルは一つではない

算術の超準モデル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E8%B6%85%E6%BA%96%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB

算術の標準モデルを
「いかなる算術モデルにも含まれる元しか含まない」
とする

まあ、標準モデルは存在するだろうけど、
標準モデルのみがモデルであるような自然数論を
一階述語論理上の帰納的に公理化可能な理論として
構築することはできない

もし標準モデルのみがモデルとなるような理論を考えた場合
その理論の公理を具体的に人間が判定できる形で示すことはできないだろう