この定義
(2↑V,2↑∈)
は
(V,∈)
と本質的に同等なので
(V,∈)|=ZFC
だから
(2↑V,2↑∈)|=ZFC
さて
B:boolean algebra with b.p. 0
で
(B↑V,B↑∈)|=ZFC
になるかな？
たしかブール値モデルでは１を値に持つ集合についての言明を真理値1（すなわち真であること）と定義するのだから
f(B↑∈)g ⇔ top(f)∈top(g)
ここで
top(f)={x|(x,1)∈f}
とするのかな