大学学部レベル質問スレ 24単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/
大学学部レベル質問スレ 21単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/
大学学部レベル質問スレ 20単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/
大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

スレ立て見たけどこれでいいよな？

質問？
ワイルズが1989年だっけ？時点の数学で谷山志村予想の証明を行けると思った根拠や理由やあるいは直感って語ってたっけ？
単に「フェルマーの最終定理に生命賭ける！」ってなっちゃっただけ？
他にも何名か「全Betして頑張れば行けそう」とあの時点で思ってた数学者は居たみたいだから何かしら根拠はありそうだけど…

位相空間Xが、非空、コンパクト、ハウスドルフ、全不連結、第２可算、孤立点無し、の時、
Xは非連結な証明が知りたい。
孤立点がないことから割とすぐ出てくるっぽいんだが…。

一点とか

前スレ落ちてしまったのでもう一度

[AB]と書かれたカードを①、[B]と書かれたカードを②として左から並べていく
連続で同じカードを並べる確率は2/3で異なるカードを並べる確率は1/3であり、一番左のカードは①である
カードをn枚並べて文字列を作る時、文字列の左からn番目の文字がAである確率をa_nとする
(1)n>1に対してa_{n+1}をa_nとa_{n-1}の式で表せ
(2)lim_{n→∞}a_nを求めよ

これ分かる方いませんかね？

>>５
一点集合は、その一点が孤立点になってしまってる

>>6
高校数学じゃないんか？

正n角形は作図可能⇔n = 2^m * (相異なるFermat素数の積)　(Gauss)

この定理はいつ使うのでしょうか？
ふつうに1の原始n乗根を添加した体のGalois群を求めるほうが早いのでは？

円分体Q(exp(2πi/n))が巡回拡大になるnの特徴づけってある？

>>10
巡回群 Z/nZ の乗法群 (Z/nZ)^× がふたたび巡回群となるための必要十分条件は、n が 1, 2, 4 または奇素数 p に対する p^k, 2p^k (k ≥ 1) の何れかである[9][10][11]。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4

だそうだ

>>11
n=8のとき巡回群じゃなくね？

ああ、

「nが1, 2, 4」または「nがp^k, 2p^k (pは奇素数)」

か。「1, 2, 4または奇素数であるpに対して、n = p^k, 2p^k」かと思ったわ
そもそもそんな言い方する必要ないか。4 = 2^2だし

スレ立て逃げはこの中にいる

解析概論に対抗して解析詳論という本を書こうと思うんだが
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703207136/

P:=コンパクトかつハウスドルフかつ全不連結かつ第2可算かつ孤立点無し
とする。
１　カントール集合は性質Pを持つ
２　位相空間Xが性質Pを持つならば、カントール集合に同相である。

この証明が載ってる文献・サイトを教えてくれ

全不連結ならば非連結の証明教えてくれ

位相空間Xに孤立点がない　って言ったら、
∀x∈X ¬[{x}はxの近傍]
って理解でいいのか？

教えて君にレスしてもスルーｗ

1+sin(x)=2cos(x)の解で、0≦x<2πにあるものをすべて求めよ。

>>１８
キチンと読んでるよ。

前スレにも貼ったけど
https://people.clas.ufl.edu/kees/files/MTG5317CantorSet.pdf
私も昨日は開けなかったが、今確認したらダウンロードできた

ここのカントールセットって[0,1]のとこだけ指してるのか

>>20
教えてもらったら礼を言うのが常識だろ教えて爺さん？

p進数っていつ使うん？
ただの遊びの概念だろ？

993 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2023/12/24(日) 20:47:23.91 ID:dmzO7ei4
p進数っていつ使うの？
ただの遊びの概念だろ

IDコロコロするにはノートパソコンを持って近所をふらつき、フリーワイファイに繋げます

教えて爺さんへのレス
L.E.J. Brouwer, On the structure of perfect sets of points, Proc. Akad. Amsterdam 12 (1910), 785–794.
https://people.clas.ufl.edu/kees/files/MTG5317CantorSet.pdf
https://math.stackexchange.com/questions/431216/show-the-given-space-is-uncountable

CW複体の境界写像の定義がわからん
円盤に3つ穴開いた図形ではどうなんの

S_nの正規部分群じゃない部分群って何

平行移動で面積変わる測度とかあんの？

有界線形作用素っておかしくね？線形写像って有界にならなくね？

Aut(L/K)の固定体がKにならない拡大L/Kってあるの？

Z/mZの乗法群が巡回群にならない例って？

そもそも微分形式って何

SL(n, F_p)の共役類って簡単に求まる？

零因子とべき零元の違いって何ですか

>>8
以前高校数字スレに貼ったのですが誰も分からず流れてしまったので

代数閉包は同型を除いて一意だけど、より大きな体に埋め込んだら、同型だけど集合として異なるものは出てこないの？

整域と整域のテンソル積は整域ですか？

\mathbb{C}\underset{R}\otimes\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}: 整域でない

>>37
分からないスレに貼れば

カントール爺さんの三ナイ
・数学が分からない
・英語が分からない
・コミュニケーションできない

>>37
でもここでもスレチだから
奇特な人じゃ無いと答え来ないと思うよ

>>38
これ気になる

定義からすぐとかも答えが来ない要因かも

>>44
なんで？当たり前だけど

>>46
なぜ当たり前なの？

(n-1,n,n+1).
(A,B,A)(2/3)a(n-1).
(A,B,B)(1/3)a(n-1).
(B,A,B)a(n).
(B,B,A)(1/3)(1-a(n-1)-a(n)).
(B,B,B)(2/3)(1-a(n-1)-a(n)).

a(n+1)=(2/3)a(n-1)+(1/3)(1-a(n-1)-a(n))=(1+a(n-1)-a(n))/3.

>>47
＞なぜ当たり前なの？
定義から

L, L'がKの代数閉包で、ともにΩに含まれるとする。
x∈ΩでK上代数的なものは、L, L'上代数的であり、L, L'は代数的閉体なので、x∈L∩L'。
L, L'の元はK上代数的なので、上記より、L, L'⊂L∩L。
当然、L, L'⊂L∩L'⊂L, L'なので、L = L'。

>>49
誰でも言えるねそれw

>>006

n 番目の文字が A である確率を a_n とおく。
n 番目の文字が�Aの B である確率を b_n とおく。
n 番目の文字が�@の B である確率を c_n とおく。

a_n + b_n + c_n = 1

c_n = a_{n-1}

a_{n+1} = c_n ✕ 2/3 + b_n ✕ 1/3

これらの3つの式から a_n に関する漸化式を導けばよい。

>>51
まあね
でも当たり前でしょ

>>48
>>52
結構長時間悩んでいたのですがやっとスッキリ出来ました
ありがとうございます

>>34
余接空間は寄せ付けない

>>55
審議中

非可測集合の存在は選択公理と同値、これマメな

>>33
Z/8Z

>>32
ℚ(³√2)/ℚ

>>30
任意のA⊂Rに対して、0∈Aならμ(A) = 1、それ以外ならμ(A) = 0

1+sin(x)=2cos(x)の解で、0≦x<2πにあるものをすべて求めよ。

>>38
外国人から回答来たぞ

math.stackexchange.com/a/4833393

There are lots of examples. Any two algebraically closed fields of the same characteristic and the same uncountable cardinality are isomorphic (see here). Hence, for any uncountable algebraically closed field K there is an isomorphism between K and K(T)¯¯, and of course that contains K.

すまん、代数閉包と代数閉体を間違えた

>>62
なんか頓珍漢なこと書いてネ？

俺が多分>>38の趣旨を間違えて外人に質問したから>>62は答えになってないかも
代数閉体KとLが同型かつK⊂Lとなるかという質問をした

Lが代数的閉体で、L/Kが代数拡大じゃなければ、Lと同型だが集合として異なる代数的閉体L'はたくさんあるわけか

[0, 1]の関数f(x)を、0～1/nで∧を描いて、1/n以降は0

f_n(x) = 2nx (0≦x≦1/2n), 2 - 2nx (1/2n≦x≦1/n), 0 (x≧1/n)

とすると、この関数はf_n(x)→0 (n→∞)なのに、つねに最大値が1となっておかしいです
私はどこかで計算ミスしてますか？

>>67
何がおかしいのか？
どうしておかしいと思うのか？

冬休みか
それにしても程度が低い

1+sin(x)=2cos(x)の解で、0≦x<2πにあるものをすべて求めよ。

>>70
高校数学スレへどうぞ

https://i.imgur.com/nkbkKga.jpg

↑1の分割についてですが、

最後のところで、
Φ = {φ_1, …, φ_n} とすれば十分であるのに、
Φ = {f・φ_1, …, f・φ_n} としているのでしょうか？

f が不要だと思います。

>>72

訂正します：

https://i.imgur.com/nkbkKga.jpg

↑1の分割についてですが、

最後のところで、
Φ = {φ_1, …, φ_n} とすれば十分であるのに、なぜ
Φ = {f・φ_1, …, f・φ_n} としているのでしょうか？

f が不要だと思います。

承認欲求が強いんだろうな、誰か僕言うこと認めて

自己顕示欲と承認欲求の違いとして、「自己顕示欲は能動的、承認欲求は受動的」と言われています。 つまり、自己顕示欲が強いタイプは、己の存在をアピールするため積極的に行動する傾向がある一方、承認欲求が強い人は受け身の姿勢で、ありのままの自分を認めてほしいと考えやすいということです

自己顕示欲が強いに訂正

>>73
fをかけないと(4)が満たされない

>>76

φ_i ∈ Φ = {φ_1, …, φ_n} とします。

ψ_i は D_i 上で正、 U_i に含まれるある閉集合 B_i の外部で 0 です。

B_i は U_i ∈ O に含まれる閉集合です。
φ_i(x) = ψ_i(x) / (ψ_1(x) + … + ψ_n(x)) は B_i の外部で 0 です。

なので、 φ_i に対して、(4)は満たされます。

>>9
どちらにせよnの素因数分解が必要になるので、大きな数では大変

あ、 B_i は Φ の元の定義域の外にありますね。

B_i の外部は Φ の元の定義域の外にありますね。

このことが関係しているんですかね。

B_i の外部は φ_i の定義域の外にありますね。

このことが関係しているんですかね。

確かに、 U で定義された C^∞ 関数 f で A では値 1 をとり、 U 内のある閉集合の外部で値 0 をとるような関数の存在は問題2-26(e)で出題しているので、この f を使って無理やり 0 にしてしまうというのが最も簡単に思いつく方法ですね。

確かに、 U で定義された C^∞ 関数で A では値 1 をとり、 U 内のある閉集合の外部で値 0 をとるようなものの存在は問題2-26(e)で出題しているので、この f を使って無理やり 0 にしてしまうというのが最も簡単に思いつく方法ですね。

正規、パラコンパクトHausdorff、１の分割
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~furuta/partitionofunity.pdf

>>84
ありがとうございます。
後で読めれば読んでみます。

>>83
なんかおかしいですかね。


スピヴァックのステートメント、証明の問題点について書きます。

Φ の元の定義域は U です。
スピヴァックの証明から分かるように U は D_1 ∪ … ∪ D_n の部分集合です。
そして、 D_1 ∪ … ∪ D_n は U_1 ∪ … ∪ U_n の真部分集合です。
ですので、 A の開被覆 o = {U_1, …, U_n} の元の中には U に完全には含まれないものも存在します。

なんか f をかけても(4)が成り立つかどうかは簡単には言えないように思います。

A の開被覆 o = {U_1, …, U_n} の元の中には U に完全には含まれないものも存在するということが、定理の(4)のステートメントで問題になりませんか？

(4)で存在すると書かれている開集合 U は φ_i たちの定義域の U に含まれていなければだめですよね。

わけが分からなくなっている原因は関数の定義域についての記述がいい加減だからですよね。

ψ_i の定義域は U_i ではなく R^n ですよね。
U_i の外では値が 0 とするんですよね。
そうしても C^∞ のままです。

f の定義域も U とされていますが、 C^∞ のまま定義域を R^n に拡張できます。
U の外では 0 をとるとする。

f の定義域も U とされていますが、 C^∞ のまま定義域を R^n に拡張できます。
U の外では 0 をとるとする。

問題は U で定義された関数たち φ_i です。
U の外では 0 をとると定めて、定義域を R^n に拡張しても C^∞ にはなりません。

もしも、 φ_i たちの定義域を U から R^n に C^∞ のまま拡張できれば、
f など使う必要はありません。
十分大きい開集合を φ_i たちの定義域にすればそのまま(1), (2), (3), (4)が満たされます。

そもそも　φ_i たちの定義域が U という小さな開集合になってしまったのは、
分母である ψ_1(x) + … + ψ_n(x) がゼロにならないようにするためでした。

定理のステートメントで A を含むある開集合で定義された関数たちなどとケチくさいことを言わずに、定義域を R^n としてしまえば良かったのではないかと思うんですが。

https://i.imgur.com/nkbkKga.jpg

↑定理の証明のcase 1についてですが、
ψ_i は U_i の中のある部分で正で、その外では 0 であるような滑らかな関数というイメージですよね。
これらを足し合わせたときに 1 になるようにしたいから、 φ_i に換えたんですよね。
やっぱり、 R^n 全体で定義されていて U_i の中にだけ滑らかな山があって、それ以外は標高 0 でフラットというのが自然だと思います。

あ、 f・φ_i は U で C^∞ です。
そして、 U に含まれる閉集合の外で 0 です。
ですので、 f・φ_i の定義域を U から R^n へ C^∞ のまま拡張できます。 U の外では値が 0 になるとする。

これで疑問が解決しました。

日本数学会の会員名簿が邪魔なんですが
ヤフオクに出したら問題になりますか？

微分は積分で表せないのですか
積分はかなり広い対象に対して行えるのに、微分ができる対象は狭いので不便です

微分積分いい気分

そういえば擬微分作用素というのがあるが

>>97
刺客がいくね

>>97
住所の記載はないから実害はないはず

>>102
昔のじゃね？

>>85
スピーヴァクのどの本の何ページですか

>>102
別のデータと突号されたら、お前は犯罪の教唆だぞ

>>102
不明教授また恥をさらしましたねｗｗｗ

>>105
たとえば？

手元にシュレッダーが無いし業者に頼むしか無いのか
家庭用焼却炉も廃棄して久しいし
紙媒体ではいらんだろこれ

週刊誌とかといっしょに縛って
ゴミ袋に入れて出せば
法的責任は追及されずに済むのではないか

住所載せてる会員もいるから、廃棄の際の扱いは慎重になった方がいいかと。

写像f:X→Yについてx∈X、y∈Yとして
定義域A⊂Xに対する値域f(A)⊂Yの定義がよくわかりません
目的はf(A)の補集合Y/f(A)について考えることなのですが定義がよくわからず進めません
今読んでる本ではf(A)={y∈Y|∃x[x∈A],y=f(x)}みたいに書いてるんですが
,ってのが∧とは違うのか？など疑問が出てきます
∧と捉えてこれの否定を取ると
¬(∃x[x∈A]∧y=f(x))
≡∀x[x∉A]∨y≠f(x)
みたいなイマイチ判然としない感じになって訳がわからなくなってます

いちど論理式を日本語で書き直して、それに否定をつけたほうがすっきりわかるんじゃないかな

>俺、論理式で書けば紛れなく&簡潔に書けることを>>みたいに日本語(英語)で書くやつはマジで嫌い

>>113
書き方にルールがあるようでないようであるない

>>111
>今読んでる本ではf(A)={y∈Y|∃x[x∈A],y=f(x)}みたいに書いてるんですが
そうは書かれてないのに
誤解して書いてるね
画像であげてよ

なぜ局所体を考えるの

論理式で書いても初心者には確信をもたらさないと思うよ

Aの元xでy=f(x)になるものがある
の否定は
Aの元xをどう選んでも必ずy≠f(x)になる

だからこれを論理式で書いてみてゴールがはっきりした状態で論理式ガチャガチャする方がいいと思うぞ

日本語で否定を取るより論理式で否定を取ったほうが明瞭だと思う

じゃあなんで質問者には確信がないんだ？

カンマが∧なのか分からないからじゃない？
結論から言うと合ってる
∃x∈Aは∃x x∈A∧の省略だから、∃x[x∈A],y=f(x)⇔∃x x∈A∧y=f(x)で正解
だから何が質問なのかもう少し掘り下げないと分からない

カッコの位置がおかしい。
∃x[P(x)]∧Q(x) とか ∃x[P(x)], Q(x) と書かれた場合、
∃x が有効な範囲は [ ] の中身の P(x) の部分のみであり、
[ ] が外れた Q(x) の部分に登場する x は、
冒頭の ∃x で指定されている x にならなくて、文法として不正。
∃x[P(x)∧Q(x)] とか ∃x[P(x), Q(x)] と書かなければダメ。

× ∃x[x∈A], y＝f(x)
× ∃x[x∈A]∧y＝f(x)

〇 ∃x[x∈A, y＝f(x)]
〇 ∃x[x∈A∧y＝f(x)]

これも「出された質問に答えてはいけない」(ハルモス)質問の例だね
問題設定が間違っている

確かに言われてみれば∃x[x∈A]を∃x∈Aだと勝手に思ってたけど、改めて見るとよく分からない表記だ
写し方なのか元の本がそうなってるか分からないけど、書き方からして混乱を招くものになってる

>>123
>∃x[x∈A]を∃x∈Aだと勝手に思ってたけど
あーそういう意図の記号か
紛らわしすぎるなw

ぶんりこうりはろんりしきでどうかくのですか

>>125
スキームだから一つで書けたら大問題や

>>126
ではすきーむをろんりしきでかいてください

>>127
意味わかってないね

ろりしきがーはいいわけがおおいへたれということでいいですか

論理式厨はとっとと死ねよ

X がハウスドルフである ⇔ ∀x, y ∈ X (x ≠ y → ∃U, V ⊆ X (U と V は開集合 ∧ x ∈ U ∧ y ∈ V ∧ U ∩ V = ∅))

>>129
まあ勉強することだね

>>132
べんきょうなんかしないよ

ばかじゃねーの、しょうめいがかんたんになるわけでもないのに

>>134
可哀想な人ね

AとBが正規行列でAB=BAの時，ABが正規行列であることを示せ。

簡単のため２ｘ２のとき
Aを直交行列Pで対角化したとき
P^{-1}BPとP^{-1}B^tPが可換なことから
P^{-1}APが単位行列または0の場合はABと(AB)^tの可換性が従い
そうない場合、P^{-1}BPが対角型でないとAB=BAに矛盾することから
やはりABと(AB)^tの可換性が従う。

正規行列はユニタリ行列で対角化可能、可換な正規行列は同時対角化可能、よって可換正規行列の積は対角化可能。従って正規。

137はIQ120向けの解答

また不名誉の星を増やした不名誉教授

137の方がよい解答だと思う

ねーよ

137のように単刀直入に無手勝でやるのが本当

∃x∈A P(x)とは∃x[x∈A∧P(x)]の略記。
∀x∈A P(x)とは∀x[x∈A⇒P(x)]の略記。

f(A) = { y∈Y }{ ∃x∈A[y=f(x)] }

公務員試験の答案として完璧なのは138
137は0点でも文句は言えない

公務員試験の答案として完璧なのは138
137は0点でも文句は言えない

公務員試験の答案として完璧なのは138
137は0点でも文句は言えない

公務員試験の答案として完璧なのは138
137は0点でも文句は言えない

4回も言わなくても何か言ってるのはわかりますよ

>>141
何処で使ってるんだ？
>簡単のため２ｘ２のとき

>>150
あんまり触らんでええでえ

まあ、チャットGPTには書けない解答であることは
確かだろうね

>>137 >>138
とても助かりました

>>153
本気で？

初年度の学生にとっては
このレベルがクリアできるかどうかは大問題

>>155
あれでクリアできたのかって

なんて教育的で示唆に富む回答なんだ

(1)AとBが同じユニタリ行列で多角化可能，(2)ユニタリ行列とその随伴行列の積は単位行列，(3)対角行列の積は可換
を使って計算すればいいということですよね？

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https://imgur.com/a/HJIQ0lN

↑昨日、旧彌永家別荘を見に行きました。

別荘の所有者名が「小平・橋本」となっていますが、小平邦彦の「小平」ですか？
確か、小平邦彦さんは彌永昌吉さんの妹と結婚したんですよね。

ちなみに、別荘の番号の「2304」は平方数です。（48^2 = 2304）

>>158
それ理解してるなら最初から質問ないわけだけど

2304 = 2^8 * 3^2

なのでかなり特殊な整数ですね。

>>158
（定義）正規行列
（定理）正方行列が対角化可能と行列が正規行列であることは同値
（定理）可換な行列は上三角行列に同時対角化可能
（系）可換な正規行列は同時対角化可能（正規行列と同値）

S=1+2+3+4+…を求める。

x-x²+x³-…=x/(1+x)
両辺をxで微分すると
1-2x+3x²-…=1/(1+x)²
x=1を代入すると
T=1-2+3-4+…=1/4
4S=4+8+12-…
∴4S+T=1+2+3+4+5+6+…=S
∴3S=-T=-1/4
∴S=-1/12

|x|<1でしか成り立たないよ

不明教授のコメントをいただきましょう

S=1-1+1-…を求める。

S=0となる確率=1/2
(n/2n, n/(2n+1))
S=1となる確率=1/2
(n/2n, (n+1)/(2n+1))
∴S=0×1/2+1×1/2=1/2

T=1-x+x²-…=1/(1+x)
x=1を代入すると
S=1/2

>>164
これはオイラー・ラマヌジャン法

>>167
下の解法はアーベル・チェザロ法

オリジナリティ無し

定義域の外の値を代入しちゃダメダメ

>>171
実数の拡張でこの等式が|x|>1でも成り立てばいいんじゃないの？

>>172
定義を書けよ

>>173
たとえばZpで？

Zの拡張だけどまあよかろ

>>174
でそれのどこが質問なんだ

>>174
ネタとして発散がないので解析接続に劣る

さて、解析概論君とカントール爺さんはどうした

解析概論って実数の公理の所がおかしいと言うのは本当ですか？

「実数の同値な公理を述べるときに、アルキメデスの公理と併せて述べなくてはならないところを書き忘れているところがあること」

↑これですね？

はっきり言ってこんなことに興味を持っている人は稀でしょうからどうでもいい話です。

佐武一郎さんの線型代数学の部分空間の公理として、「部分空間は空集合ではない」というのを書き忘れたのと同程度にどうでもいいことです。

どうでも良くはないだろ
幾つもある同値な実数の公理でアルキメデスの公理を内包する物としない物がある
この差は大きい

>>181
自分で補えば？
あるいは満たさないもので理論構築すれば？

意志の疎通が欠けてるようだな

質問する側がちゃんと書けばいい話

回答する側が質問者に忖度するのが正しいというのは如何なものか

>>185
全く不要

素朴な疑問、命題の文章で
〜に対し、〜である。
〜に対して、〜である。
に違いはありますか。教科書は前者の表記が殆ど。

>>187
意味は同じですね。

>>188
ありがとう

杉浦光夫著『解析入門1』

p.386

Σ_{m >p or n > q} |a_{m, n}|

などという定義されていない正項2重級数が突然現れます。
解析入門シリーズが丁寧といってもJames R. Munkresさんの本ほど丁寧ではないですね。

S := {(m, n) ∈ N ✕ N: m > p or n > q}

S の有限部分集合全体の集合を T とする。

sup ｛Σ_{(m, n) ∈ F} |a_{m, n}| : F ∈ T｝

↑これのことだと思います。

きちんと書くべきでしたね。

丁寧と言われる杉浦光夫さんでさえこのような状態です。

数学者って無神経な人が多いんですかね。

定義していないものを使ってはいけない。

基本中の基本ですよね。

>>190
違うwww

NXNの領域でF(k)-F(p,q)を[p,k]X[q,k]で上から評価してk->∞としてるだけだろ

>>194
訂正
[p+1,k]X[q+1,k]

>>190-192
ことしもいつもの
きちがい

>>190
この人のように正しく理解できない人がいることを前提に
なるべく詳しく書くスタンスもアリとは思うけれど
自分は詳しく書きすぎない方がいいと思っちょる
まあ程度問題ではあるけどね

>>191
>数学者って無神経な人が多いんですかね。
ここでいう無神経は理解できない他者に関してという意味なら
だと思うね

>>194
補足
F(k)-F(p,q)をいきなりNXN-F(p,q)で評価してもOK

馬鹿アスぺは馬鹿である

小平邦彦著『解析入門1』

第2章の三角関数の定義のところですが、ひどい記述を見つけました。

複素平面と複素平面の原点を中心とする任意の円周を表すのに全く同一の記号 C が使われています。

小平邦彦さんは一体何を考えていたのでしょうか？

小平邦彦著『解析入門1』

この本の中でも三角関数をどうやって定義するかを考察している箇所が一番難しくないですか？

小平邦彦著『解析入門1』の第2章の三角関数を定義する前の考察のところで、

(σ_n - i * θ/n) / (1/n) → 0 (n → ∞)

が成り立つと考えているのはなぜですか？

σ_n - i * θ/n が 1/n よりも速く 0 に収束すると考えているのはなぜですか？

小平を持っていて暇な方は論破をお願いします。

単に σ_n - i * θ/n → 0 (n → ∞)が成り立つはずだというのなら誰でも同意すると思います。

ですが、その収束のスピードまで直感で分かるようなものでしょうか？

おまえの頭がヒドイ

あ、分かりました。

p.98の図で、 1 から 1+σ_n への円弧の長さや、 1 から 1+i*θ/n への線分の長さに比べて、
1+σ_n と 1+i*θ/n の距離は小さいということは図を見れば推測されますね。

ですので、

|(1+σ_n) - (1+i*θ/n)| / |i*θ/n| → 0 (n → ∞)

ということですね。

p.98の「いま十分大きな自然数 n に対して微小な回転 R_{e(θ/n)}の回転量 θ/n を‘円弧 1 e(θ/n) の長さ‘で計ることにすれば、‘円弧の長さ‘は未だ定義されていないが、 σ_n はほぼ i*θ/n に等しい、すなわち」

のところが意味不明です。

関数 θ → e(θ) は既に定まっているものとして議論していますよね。

やっぱり意味不明でおかしいです。

ひとりごちる馬鹿アスペ、いとあわれなり

なんか数学に徹底して向いていない人がいつまでもいつまでも微分積分のあたりをうろうろしているね。

小平さんはp.97で「さて、このような関数 e(θ) が存在したとして、 e(θ) がどんな形の関数になると想像されるか考えて見よう。」

などと書いていますが、もちろん、そこに挙げられている条件だけでは関数 e は一意的に決まりません。

それにもかかわらず、「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計るなどと書いています。
そして、この円弧の長さは θ/n であると図に掛かれています。
この円弧の長さは函数 e に依存するにもかかわらず、です。

明らかに議論が破綻しています。

小平さんが想定している関数 e は θ → cos θ + i * sin θ ですが、
e は例えば、 θ → cos(π*(θ/180)) + i * sin(π*(θ/180)) でも言いはずです。

勝手に、関数 e は θ → cos θ + i * sin θ であるなどと決め込んでいます。

小平邦彦さんは何歳のときに解析入門シリーズを執筆したのでしょうか？

数学に向いてない人でも読める本を誰か書いてあげてください

>>215
高校の数三の教科書でいいんじゃね？

馬鹿アスぺ一号は和書、洋書で本棚1つずつ持ってるんやで、しかも全部微積分と線型代数（）

e はp.97に挙げた条件だけでは一意的に決まらない。
e を θ に、複素平面上の点 1 から中心 0 半径 1 の円周上を反時計回りに距離 θ だけ進んだ点を対応させる関数とする。

とでも書けばよかったはずです。

dy/dx = x + y
ってどう解くの？
超単純なはずなのにわからん

小平さんは「「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る」などと書いています。

e が一意的に定まらない以上「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」も決まりません。

全く意味不明です。

「まえがき」が1990年12月に書かれています。
亡くなったのが1997年です。
岩波講座基礎数学から出版されたのが1970年代後半です。
1970年代後半に小平さんは60代前半だったということになります。
岩波講座基礎数学から出版された後に1990年12月の直前に三角関数の部分だけ書き加えたということはないですか？

なぜ、そう思うかと言うと、その他の部分の完成度は他の著者らと比べて高いからです。
三角関数の定義の前のところ以外は６０代前半の頃に書かれ、三角関数の定義の前のところは亡くなる10年前くらいに書き加えられた。
もしそうだとすると納得できます。

>>219
1階線形の公式とかu=y+xと変数変換とか色々解き方ある

p.99の e(θ) := lim (1 + i*θ/n)^n と定義をした後は普通の数学の話なので、話は簡単です。

近所の図書館で検索してみたところ、岩波講座基礎数学の解析入門1がありました。
借りてみて、どうなっているのか確かめてみようと思います。

e を θ に、複素平面上の点 1 から中心 0 半径 1 の円周上を反時計回りに距離 θ だけ進んだ点を対応させる関数とする。

と書いて、

e(θ) = lim_{n → ∞} (1 + i*θ/n)^n

が成り立つのではないかという推理を書けば良かったと思います。

>>226
俺が勧めた関数解析（藤田、伊藤、黒田）読んでるか？

これだけ数学の本漁ってexp(z)のEulerの定義がわからないカス

思い込みって怖いですね。
小平邦彦さんは、 1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さが θ/n になると思い込んでいたわけですね。
e(θ) = cos(θ) + i * sin(θ) であるという先入観が影響していますね。
例えば、 e(θ) = cos((π/180) * θ) + i * sin((π/180) * θ) も a を任意の実数として e(θ) = cos(a * θ) + i * sin(a * θ) も関数 e の候補であるにもかかわらずです。

小平邦彦さんは、

「回転の量がその角とよばれる実数で表わされ、任意の実数 θ に対応して角 θ の回転 R_{e(θ)}: z → z' = e(θ) * z が定まっているためには、…」

と書いています。

「角」は「radian」で測られると思い込んでいたんですね。
別に「度」でも何でも良いにもかかわらずです。
習慣的に「radian」で測られるのは、数学的に自然であるからであって、別に必然性は何もありません。

実際、日常生活では「角」は「度」で測られているわけです。

>>230

小平邦彦さんは、

「回転の量がその角とよばれる実数で表わされ、任意の実数 θ に対応して角 θ の回転 R_{e(θ)}: z → z' = e(θ) * z が定まっているためには、…」

と書いています。

上の文の「角 θ」は「radian」で測られると思い込んでいたんですね。
別に「度」でも何でも良いにもかかわらずです。
習慣的に「radian」で測られるのは、数学的に自然であるからであって、別に必然性は何もありません。

誰もこのことを指摘する人がいないのは驚くべきことですね。

俺も角度の単位系の任意性には疑義を持ってる

>>232

角についてのその指摘はあながち的外れでもなくて、Bourbaki 数学原論では、『角の定義』の問題と『角の測り方（角の単位）』の問題は、別個に切り分けて扱っています。

角の概念はもっぱら代数的に定義され、その段階で、sin と cos が定義されます。

角の測り方の問題には、数直線上の自然な位相を介在させています。

小平先生の本は確認していませんが、角や三角関数について、あの小平先生の本でも満足いかないならば、Bourbaki をお読みになるといいです。

揚げ足取りの人生か

人格が崩壊してる
それでゴミみたいな自分の無能さに気づかない
結果引きニートから逃れられずますます人格異常を進行させる
人生の泥沼に沈んでる

三角関数を微分するときに疑問を持たなかったのか？馬鹿アスぺ

>>233
お前が10年前に読んでいた解析入門（松坂）には書いてなかったのか？

>>235

ありがとうございました。

https://i.imgur.com/XgtO9v8.jpg

↑去年、ブルバキの英訳本の一部は買いました。
ブルバキの集合論は一般的な評判が悪い上に、一番最初のロジックのところが既に分かりにくくて、読むのを断念しました。
一般位相は評判が非常に良いということなので読みたいのですが、読むのなら集合論を読んでからと考えています。

>>240
結局挫折してまた微積の本に戻ってきて死ぬまで微積か

>>233
お前が読んだ微積分の本で角度について定義してあるのはどれだ？

>>242

角度とは何かということを定義している本を読んだことはありません。

佐武一郎著『現代数学の源流上』

「特に、高木貞治の『概論』と『史談』は本書の読者には是非座右において（もしまだ読まれていなければ）、並行して読み進んでもらいたいと思う。（これらの名著を原文で読めることは、日本の学生諸君の一つの特権なのである。）」

などと書いています。『概論』とは『解析概論』のことで、『史談』とは『近世数学史談』のことです。

『解析概論』は確かに色々なことが書いてありますが、多変数の理論がひどすぎますよね。
まるで国宝級の本ででもあるかのように持ち上げていますが、なぜですか？
佐武一郎さんはおそらく高木貞治に会ったことがあると思います。
当時の学生には神様のような存在で、高木貞治のファンであるから、客観的に評価する気がないのではないでしょうか？
高木貞治という名前が『解析概論』の表紙に書いていなかったとすれば、どうであったかと思ってしまいます。

>>243
じゃ、全部だめだと報告しなきゃだめだろ

これは荒らし

こう書けばいいか

解析入門（小平）では角度の定義がありません。
実は今まで読んだ微積分の本に角度の定義がないことに気付きませんでした。
赤恥晒し。

>>234
>角度の単位系の任意性
とは？

角度の定義なんてどこで使うんだよ

突っ込みとしては

どういうこと

が適切

説明しよう！

度数法でx°は弧度法で(π/180)xラジアン、sin(x°)の微分は

sin(x°)'=sin((π/180)x)'=(π/180)cos(((π/180)x)=(π/180)cos((x°)

三角関数を微分するときは角度が弧度法になっているのさ

ちなみに、解析入門�T（杉浦）には�V章§3、p.185、に角の大きさは弧度法、単位はラジアン、と書いてある。

単位球面で立体角を定義したらその単位は何になるの？
平面角だと三角法三角関数が自然と定義できるけど
立体角で自然に定義されるものって何かあるの？

>>254

ちょっと Google 先生に聞いてみたら、立体角の単位はステラジアンというそうだ。

杉ちゃんの解析入門を愛読してるけど
z→0の時、sinz/z→1
を幾何学的にやるのではなく整級数を用いてexpz、sinz、coszを定義してるね。そこから(sinz)'=coszとかsinz/z→1 (z→0)を導いている。

オイラーの公式、ド・モアブルの公式を導いてそこからcos²z+sin²z=1を導く。これは整級数表示では難しい。

三角関数の重要な基本定理である加法公式は指数法則と同じである。

ここから複素変数zを実変数xに変えて考える。

cos(α/2)=0となるαが円周率πの定義である。これが杉ちゃん流。

三角関数の重要な性質である周期性も簡単に分かる。
正弦関数sin、余弦関数cosともに周期関数である。

>>256
cos²z+sin²z=1はzについて微分したらしまいでしょ？

幾何学的な角は2πの整数倍だけずれても同じ角である
商空間 R/2πZ の元を偏角argzとする。大文字のZと小文字のzの違いに注意。

平面における回転を簡単に幾何学的に定義し、直角をπ/2すなわち平角をπとする杉ちゃん流の定義と矛盾しないことを見る。単位はラヂアンである。

ここからR^nにおけるベクトルの内積を定義する。結局R^2に帰着するので(x|y)=|x| |y| cosθとする。θはラヂアン。

最後に他の三角関数4つ、tanx、cotx、secx、cosecxを定義しそれらの導関数を求める。終わり。

特に0≤x≤πでsin写像とcos写像を考える。全射や単射など。

三角比と言うのか、平面における三角形と円の重要性みたいなのを感じる。幾何学的なことはあまり書いてないが。

微分のことは(幾何ではなく)ビブンでせよ(by 高木貞治)
と授業で杉浦光夫先生が仰った遠い昔を思い出した。

>>260
>ビブンでせよ
自分に掛けてるんじゃないの？

ビブンビブン！

>>256
>整級数表示では難しい
(cos^2z+sin^2z)'=2cosz(-sinz)+2sinzcosz=0
cos^2z+sin^2z=cos^20+sin^20=1

>>258
あすでにあったかクヤシイ

その辺は鶏が先か卵が先かだろ、指数関数exp(x)のテーラー展開があるんだから

馬鹿アスぺ一号（旧姓松坂君）は馬鹿であることにガッテンしていただけでしょうか？

図書館から岩波講座基礎数学の解析入門1を借りてきました。
現在、出版されている『解析入門1』の記述と全く同じでした。

1970年代に最初に出版されてから何度も訂正する機会はあったのに、訂正されていないということは、読み返して反省したりしなかったということですね。

『解析入門1』を持っている人は第2章の三角関数の節を読んでください。
記述がおかしいことが分かるはずです。
何の断りもなく角の大きさをradianで測ることにしています。

Michael Spivakさんの『Calculus Fourth Edition』では、以下のように三角関数を定義しています。

単位円の周の長さが 2 * π であること、面積が π であることを知っているという前提になっているようです。

単位円の孤の長さが x であるような扇形の面積は [x / (2 * π)] * π = x / 2 であると誰もが推測できます。
π は単位円の面積に等しいから、

π := 2 * ∫_{-1}^{1} sqrt(1 - x^2) dx

と定義しています。

次に、中心が (0, 0) で (1, 0) と (x, sqrt(1 - x^2))を結ぶ円弧を孤とする扇形の面積を A(x) とおいています。

A(x) = [x * sqrt(1 - x^2)] / 2 + ∫_{x}^{1} sqrt(1 - t^2) dt

A は [-1, 1] で単調減少関数で、 A(-1) = π / 2 , A(1) = 0 です。

x ∈ [0, π] とします。

A(y) = x / 2 となるような y ∈ [-1, 1] が一意的に存在します。

この y を cos(x) と定義しています。

単位円の面積を π と定義したとき、単位円の円周の長さが 2 * π であることって簡単に示せますか？
これをSpivakさんは知っているものとしているように思います。

>>270

証明ではなくて成り立ちそうだと納得できるような説明はありますか？

単位円の面積を π と定義したとき、単位円の円周の長さが 2 * π であることが直感的に納得できさえしたら、あとは上のSpivakさんの定義から三角関数の色々な性質が導けます。

>>269
円周の長さをどうやって求めるんだ？

小学6年生のときに担任の女性の先生が授業参観のときに張り切って？、円の面積がなぜ π * r^2 であるかを説明していたのを思い出しました。

1つの円を非常に細い扇形に切ってバラバラにして、孤のほうを上にして左から右に並べます。
もう1つの円を同様に非常に細い扇形に切ってバラバラにして、孤のほうを下にして左から右に並べます。
そして、上下を合体させると長方形が出来上がります。
この長方形の面積は縦が r で横が 2 * π * r なので、その面積は 2 * π * r^2 です。
この面積は円2つ分の面積なので、円1つの面積は π * r^2 です。

とかいう話だったと思います。

半径 r の円の(円周の長さ ÷ 半径)の半分を π と定義すると面積が π * r^2 になるという話ですね。

>>274

この説明で納得する人っているんですかね？
長方形に近いかもしれないけれど、結局長方形ではないわけです。

>>274

の説明に納得するのは結局、既に微分積分を知っている人だけだと思います。

循環論法だよ、馬鹿アスペ

>>268
お前以前も旧版の誤植を偉そうにかいてたよな、新版買えよ、屑

>>268
>何の断りもなく角の大きさをradianで測ることにしています。
普通は断るかもしれないけど
まあ常識だから省略したんだろうかな

>>275
つまり微分積分の考え方の根幹は直感的にわかりやすいということを意味しているんじゃないかな

>>278

いや、常識だからとかそういうことではないと思います。

小平邦彦さんは、

「”θ が回転 R_{e(θ)} の量を表わしている”というならば、二つの実数 θ, φ の和 θ + φ に対応する回転 R_{e(θ + φ)} は R_{e(θ)} と R_{e(φ)} の合成： R_{e(θ)} ・ R_{e(φ)} でなければならない、」

とかそういうレベルの考察をしています。

>>278

小平さんの一歩一歩進んでいくような考察を読んで見れば分かると思います。

SpivakはNG推奨

>>280
思いますwww

お前の考えを押し付けるなよ

>>269
馬鹿、証明すんだよ
>誰もが推測できます。

粗探しする為に本を読んでるからこうなる

>>269
円の面積は極座標を使えば簡単、極座標は三関数使いまくり、面積を積分で書いても三角関数で置換すれば同じこと
循環論法だ、バカ

>>280
R_{e(θ)}が何か知りませんが
角θの回転を表す線型写像なら
角の単位によらず当然成り立つべきことですよ

>>287

そうです。
そういう当然成り立つべきことを色々と挙げていきます。
ですが、角の単位については最後まで触れられません。

そして、突然、

「「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る」

などと言い出します。

e(θ/n) は正の実軸となす角が θ/n であるような絶対値が 1 の複素数を結局のところ表わしているのですが、角の単位が定まっていないため、この複素数も複素平面上でどこに位置するのが不明なままです。
単位円周上にあることしか分かりません。

訂正します。

>>287

そうです。
そういう当然成り立つべきことを色々と挙げていきます。
ですが、角の単位については最後まで触れられません。

そして、突然、

「「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る」

などと言い出します。

e(θ/n) は正の実軸となす角が θ/n であるような絶対値が 1 の複素数を結局のところ表わしているのですが、角の単位が定まっていないため、この複素数も複素平面上でどこに位置するのか不明なままです。
単位円周上にあることしか分かりません。

小平さんは、↓のように考察をすすめますが、

「
”回転の量がその角とよばれる実数で表わされ、任意の実数 θ に対応して角 θ の回転 R_{e(θ)}: z → z' = e(θ) ・ z が定まっている”ためには、まず数直線 R 上で定義された絶対値 1 の複素数値をとる θ の関数 e(θ) が存在しなければならないが、”θ が回転 R_{e(θ)} の量を表わしている”というならば、二つの実数 θ, φ の和 θ + φ に対応する回転 R_{e(θ + φ)} は R_{e(θ)} と R_{e(φ)} の合成： R_{e(θ)} ・ R_{e(φ)} でなければならない、
」

「「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る」

などと突然言い出す前には角の単位については一切書いていません。

小平邦彦さんは、「解析入門」を60代前半に書いたんですよね。
60代前半ってそんな年齢ですかね？

とにかく、小平邦彦さんがおかしなことを書いているのは間違いないと確信しています。

なんで解析に角度の定義がいるんだよ
意味わからん

小平邦彦さんは、p.98に

「
いま十分大きな自然数 n に対して微小な回転 R_{e(θ/n)}の回転量 θ/n を‘円弧 1 e(θ/n) の長さ‘で計ることにすれば、‘円弧の長さ‘は未だ定義されていないが、 σ_n はほぼ i*θ/n に等しい、すなわち
」

と書いています。

「‘円弧の長さ‘は未だ定義されていないが」と書いていますが、円弧の長さは誰でも直感的には分かるものなので、これは全く問題ありません。
問題ないのは、あくまでも、三角関数の定義の前の考察の部分だからです。
問題なのは、角の大きさをどうやって測るかを定めていないことです。

>>294
>問題なのは、角の大きさをどうやって測るかを定めていないことです
↓
>「「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る」

>>290
突然言い出してはいない。
角の単位は定まっていなくても良い。角は回転の量を表す実数、という角の概念さえあれば良い。

問題なし。

>>291
角θ→回転の量R(θ)→円弧ABの長さ
ここでOB=R(θ)(OA)。
A, Bは単位円周上の点。
A(1)、B(e^θ)

角θをどんな単位ではかっても問題なし。

>>292
小学校の話で言えば、分度器で角度をはかるのではなく定規で弧ABの長さをはかる。実際にはどちらも近似値にしかならない。
角の単位を決めてなくて後から決めても問題なし。

z∈C に対して exp(z)：＝Σ[k＝0〜∞] z^k/k！
とテイラー展開表示で定義する。特にexp(0)＝1である。
また、exp(z＋w)＝exp(z)exp(w) (z,w∈C) が成り立つことが、
テイラー展開表示のゴリ押し計算で分かる。
特に 1＝exp(0)＝exp(z−z)＝exp(z)exp(−z) (z∈C) なので、
C の乗法において exp(−z) は exp(z) の逆元になっている。
すなわち exp(−z)＝1/exp(z) である。次に、z∈C に対して

cos(z)：＝(exp(iz)＋exp(−iz))/2＝Σ[k＝0〜∞](−1)^k z^{2k}/(2k)！,
sin(z)：＝(exp(iz)−exp(−iz))/(2i)＝Σ[k＝1〜∞](−1)^k z^{2k＋1}/(2k＋1)！

と定義する。すると、cos^2(z)＋sin^2(z)＝1 が成り立つことが
直接的に計算できる。実際、a＝exp(iz) と置けば、(1/a)＝exp(−iz) であり、

cos^2(z)＝(a＋1/a)^2/4＝(a^2＋1/a^2＋2)/4,
sin^2(z)＝−(a−1/a)^2/4＝−(a^2＋1/a^2−2)/4

なので、cos^2(z)＋sin^2(z)＝(2＋2)/4＝1 である。
・・・この順番なら、cos^2(z)＋sin^2(z) を微分する必要がない。
まあ些細なことだが。

>>289
不明ということはない。角を決めるとそれに応じて回転の量が決まる。原点を中心にその角度だけ点A(1)を回転した点Bの位置が決まる。従って点Bの位置は不明ではない。

問題なし。

>>281
角は回転の量を表すという所が分かってないのか。つまり実際に回転させていないのかまたは回転という考え方が理解できていないのか。

>>301

「
「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る
」

「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」は点 e(θ/n) の位置によって決まります。
例えば、角 θ/n の大きさを「度」で測るならば、点 e(θ/n) は、三角関数を使って表すと、 e(θ/n) = cos((π/180) * (θ/n)) + i * sin((π/180) * (θ/n)) になります。
この場合、実数 θ/n によって表わされる回転量は (π/180) * (θ/n) になります。
例えば、角 θ/n の大きさを「度」で測るならば、点 e(θ/n) は、三角関数を使って表すと、 e(θ/n) = cos(θ/n) + i * sin(θ/n) になります。
この場合、実数 θ/n によって表わされる回転量は θ/n になります。

訂正します：

>>301

「
「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る
」

「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」は点 e(θ/n) の位置によって決まります。
例えば、角 θ/n の大きさを「度」で測るならば、点 e(θ/n) は、三角関数を使って表すと、 e(θ/n) = cos((π/180) * (θ/n)) + i * sin((π/180) * (θ/n)) になります。
この場合、実数 θ/n によって表わされる回転量は (π/180) * (θ/n) になります。
例えば、角 θ/n の大きさを「radian」で測るならば、点 e(θ/n) は、三角関数を使って表すと、 e(θ/n) = cos(θ/n) + i * sin(θ/n) になります。
この場合、実数 θ/n によって表わされる回転量は θ/n になります。

「
”回転の量がその角とよばれる実数で表わされ、任意の実数 θ に対応して角 θ の回転 R_{e(θ)}: z → z' = e(θ) ・ z が定まっている”ためには、まず数直線 R 上で定義された絶対値 1 の複素数値をとる θ の関数 e(θ) が存在しなければならない
」

回転の量は関数 e に依存します。
以下、三角関数について既に知っているものとします。

e(θ) = cos(θ) + i * sin(θ) である場合と、
e(θ) = cos((π/180) * (θ/n)) + i * sin((π/180) * (θ/n)) である場合で
比較すると、前者の回転の量は後者の回転の量の 180/π 倍になります。

「ID:KPFME3YX」のような人がいることを見ると、この話は混乱しやすい話みたいですね。
小平邦彦さんも混乱していたのだと思います。

驚くべきは、1970年代に出版され、名著と言われ多くの読者が読んだはずの小平邦彦著『解析入門』のこの混乱を指摘する人が誰もいないことです。
みなさん、ただ流し読みしているだけなんですかね？

杉浦光夫さんの『解析入門1』のまえがきによって、三角関数を矛盾なく定義するにはベキ級数を使わなければならないと思い込む人が多いとX上で批判していた人がいましたが、小平邦彦さんのこの混乱については何も書いていませんね。

小平邦彦さんが言っていることをまとめると、

回転の量を決めているパラメータ = 実数 θ
回転の量 = 点 1 と点 e(θ) を結ぶ半径 1 の円の円弧の長さ

となります。

平面の回転は回転行列を掛けけること、複素平面の回転はexp（iθ)を掛けること、この二つは同じことだよ、馬鹿アスペ

馬鹿アスぺに循環論法を理解するのは無理か、理解できれば10年間も微積分に拘っていないわなｗｗｗ

>>299
成り立つことがわかっているから計算したらこうなる、というやつね。
センスのない人は数学止めた方がいいよ。

>>288
>ですが、角の単位については最後まで触れられません。
つまり常識として省略してるのでしょう
あるいはe(θ)というものの定義から必然的に出てくるのかも？

>>293
角の大きさを数値で表すためには必要でしょう

>>254
>立体角で自然に定義されるものって何かあるの？
立体角は領域の面積でそれだと形が不定だけど
平面角が弦と弧を定めて三角比が定義できるように
球面を平面で切った切り口の円の面積と切り取られた球面の面積の比だとか
原点からその平面までの距離だとかの定める関数は自然と考えられそう
けれど新しいものは出てこなさそう

>>309
＞成り立つことがわかっているから計算したらこうなる、というやつね。

何が言いたいのか知らんけど、>>299では

exp(z)：＝Σ[k＝0〜∞] z^k/k！
cos(z)：＝(exp(iz)＋exp(−iz))/2
sin(z)：＝(exp(iz)−exp(−iz))/(2i)

と定義してるんだよ。この定義から出発すれば、微分しなくても
cos^2(z)＋sin^2(z)＝1 が直接的に計算できるでしょ、っていう話。

ちなみに、

exp(z)：＝Σ[k＝0〜∞] z^k/k！
cos(z)：＝Σ[k＝0〜∞](−1)^k z^{2k}/(2k)！
sin(z)：＝Σ[k＝1〜∞](−1)^k z^{2k＋1}/(2k＋1)！

と定義しても同じことね。この場合、

(exp(iz)＋exp(−iz))/2＝(1/2)Σ[k＝0〜∞]((iz)^k＋(−iz)^k)/k！
＝Σ[k＝0〜∞](−1)^k z^{2k}/(2k)！,

(exp(iz)−exp(−iz))/(2i)＝(1/(2i))Σ[k＝0〜∞]((iz)^k−(−iz)^k)/k！
＝Σ[k＝1〜∞](−1)^k z^{2k＋1}/(2k＋1)！

と直接計算できるので、どのみち

cos(z)＝(exp(iz)＋exp(−iz))/2
sin(z)＝(exp(iz)−exp(−iz))/(2i)

という等式に到達する。

>>294
>「‘円弧の長さ‘は未だ定義されていないが」と書いていますが、
ならそれを角の値として定義しているのでしょう
>円弧の長さは誰でも直感的には分かるものなので、これは全く問題ありません。
問題ないということですね

微分によって cos^2(z)＋sin^2(z)＝1 を証明する方式だと、

・ sin'＝cos
・ cos'＝−sin
・ sin^2(0)＝0
・ cos^2(1)＝1

という4つの性質が予め分かっていなければならない(>>263)。
>>313または>>314によってcos, sinを定義した場合、
これらの性質は簡単に証明できるので、
別にそれでもお手軽な証明にはなる。
ただし、同じ定義のもとで>>299のように計算すれば、
微分しなくても証明できる。

この2つの証明は、どちらが優れているという話ではなく、ただ単に
「微分してもしなくても証明はできる」という些細な違いがあるだけ。

もしかしてアレか、ID:bYvXftPn は微分する証明しか思いつかなくて、
>>299のような直接計算は ID:bYvXftPn にとって想定外のやり方であって、

「天下り的で邪道な証明」「不自然で何の参考にもならない」
「こういう証明は数学的センスがない」

とか思ってるのか。だとしたら相当アホだぞ。

ID:bYvXftPn は

＞成り立つことがわかっているから計算したらこうなる、というやつね。

と述べているが、それを言ったら

exp(z)：＝Σ[k＝0〜∞] z^k/k！
cos(z)：＝Σ[k＝0〜∞](−1)^k z^{2k}/(2k)！
sin(z)：＝Σ[k＝1〜∞](−1)^k z^{2k＋1}/(2k＋1)！

と定義するだけでも既に天下り的なんだよな。
三角関数がそういうテイラー展開を持つことを予め知っているから、
三角関数をそのように定義するんだろ？そうすると、その定義のもとでは

・ sin'＝cos
・ cos'＝−sin
・ sin^2(0)＝0
・ cos^2(1)＝1

という4つの性質が簡単に導けるわけだ。しかし、それこそまさに

「成り立つことがわかっているから計算したらこうなる」

の具体例だよな。

>>299の証明に問題はない、一から十まで厳密
数学的に正しい

>>303
度ではかった場合でも角と円弧は比例するので円弧で角をはかれる。どんな単位でも、同様。


何も問題なし

>>315

>ならそれを角の値として定義しているのでしょう

小平さんは、そんなことはどこにも書いていません。

>>320

問題点を全く理解していないようですね。

これだけ問題点を説明しても「ID:KPFME3YX」のような人がいるところを見ると、混乱しやすいのかもしれませんね。
ネットを検索しても指摘している人はいません。
小平さんの考察をよく読めばおかしいことが分かるかと思います。

>>303
例えば度ではかると90度、radではかるとπ/2になるというだけのこと。

何も問題なし。

>>323
何もおかしくない。


全く問題なし。

>>321
いや。そう言ってる。

馬鹿スぺ一号は見てきたような幾何学的証明が厳密化されと思い込んでるんだろう

>>322
何か矛盾点がある？

>>323
おかしい所は無いから誰も指摘していない、だけ。

>>323
混乱ってなんだろう。誰が混乱してるのだろう。

>>323
半径1の円の円周の長さは2π
円の中心角は2π(rad)
円の中心角は360(度)
解析においては弧度法が便利なので弧度法を採用する。

何も問題なし。混乱なし。

>>321
常識的なので省略してるのかもしれませんね

>>321
>小平さんは、そんなことはどこにも書いていません。
これでは？
＞回転量 θ/n を‘円弧 1 e(θ/n) の長さ‘で計ることにすれば

ここわざわざθ/nにしてるのは
第1象限の場合に持ち込みたいから？

>>333
このスレ全員(アスペ以外)こう思っている。

小平邦彦著『解析入門』を読む機会があったら、三角関数のところを注意深く見てみてください。

小平邦彦さんの『複素解析』にも極限の定義に関連しておかしなところがあります。（三角関数のところの不具合よりは軽微なことですが。）

杉浦光夫さんも『解析入門1』で最大級のミスを犯していますよね。

定理6.10（逆関数定理I）の証明（p.140）においてです。

>>336
間違ったことばっかり書き込んでるけど真意は？

『解析概論』にも積分の変数変換のところに誤りがありましたね。

>>339
歴史的名著は一切読めないタイプか。

>>336
>>339
この辺は「何とか言い返してやろう」という意地汚さが見えるね
最後はいつもこうなのかな？

>>337
それはお前がわざわざ旧版を読んでるからだと指摘しただろ、馬鹿スぺ一号

>>311
その角って何？解析ではどこで使うの？

そもそも馬鹿スぺ一号は実数全体Rのこと分かっていないだろ

>>343
たとえばcosθ+isinθのθが幾何的に何意味してるかでなくて？
θがラジアンでないと微分が汚いわけだし

>>342

今、確認してみたら、直っていました。

古い本では定理の仮定が(1) - (4)まで4つあって、(4)が f^{-1} が連続であるというものでした。
そして、証明でなぜか仮定していた(4)を証明しようとしていました。
そして、その証明に不備がありました。

それが定理の仮定(4)を消して、それをちゃんと証明するように修正していました。

情報ありがとうございました。

あ、なんかおかしいですね。
古い本でどこがどう間違っていたのか忘れてしまいましたので今から確認します。

今、古い本を見ていますが、

定理の仮定が(1) - (4)まで4つあって、(4)が f^{-1} が連続であるというものです。
そして、証明でなぜか仮定していた(4)を証明しています。
どこが間違っていたのか思い出せません。
一見すると仮定(4)を消せばOKのように見えます。

もしかして杉浦光夫さんの『解析入門1』の定理6.10は少なくとも2回は修正しているということでしょうか？

一番古い本では本当に不備があって、その証明をなぜか見てしまって、定理6.10の証明には不備があると思っていたようです。

それにしても、一番古いバージョンの『解析入門1』など家にありませんし、いつどこで何年出版の『解析入門1』で定理6.10の証明を確認したのか不明です。

非常に気持ちが悪いです。

もしかしたら、絶版の何か貴重な本と抱き合わせ販売でついてきた古い『解析入門1』に誤った証明が書かれていたのかもしれません。
今度、明倫館とか古本屋に行ったときに古い出版年月の本を探して確認してみようと思います。

記憶では、非常に大雑把な議論で f^{-1} が y_0 で連続であると結論づけていたと思います。
非常に大雑把な議論でとても連続であることなど言えないにも関わらずです。

予想ですが、

一番古い本：
非常に大雑把な議論で f^{-1} が y_0 で連続であると結論づけていた不備があった。

今、家にある本：
f^{-1} が連続であることを定理の仮定に加えた。
それにもかかわらず、 f^{-1} が連続であることを証明の中で証明していた。

最新版：
(4)を証明の中で証明しているにもかかわらず、定理の仮定に加えていたことに気づいて、定理の仮定から削除した。

>>337
間違ってないけど？

最新版の『解析入門1』と『解析入門2』を今度買おうと思います。

『解析入門1』に一つ不満があります。
極限の定義が非常に分かりにくい他では見たことがないものを採用していることです。

>>345
それって解析だけの世界で厳密さを求めて行うことは無理だと思うし、解析の教科書のスコープ外ではなかろうか

>>353
0745１３２人目の素数さん
2018/07/04(水) 20:54:55.57ID:1w66loLI
杉浦光夫著『解析入門I』での微分可能の定義は以下です：
lim_{h → 0, h ≠ 0} [f(t + h) - f(t)] / h = c
h ≠ 0 と書いてありますが、これは余計ですよね。
h の関数 [f(t + h) - f(t)] / h の定義域に当然 h = 0 は含まれていないからです。

杉浦光夫さんの『解析入門I』ですが、完成度の高い本かと思っていましたが、
少し読んでみると全然そうではないですね。穴だらけです。

30過ぎのおっさんは5年経っても進歩無しｗｗｗ

>>354
君にはそうなんだろうな

>>357
じゃあどうやって解析の教科書で厳密に幾何学的な角とは何かの議論をするつもりなんだよ

>>358
それがないと極座標の理解ができまい？

>>359
なんで？

解析の教科書では円描いてなんか感覚的には角っぽいものに角度をつけられたなって理解でいいやん。角とは何かみたいなこれ以上厳密さを求める必要なんてないやろ

>>360
めんどくさいからいいや

解析の教科書に角全体の集合とは、直線のペア全体を合同という同値関係で割ったものであるとか書いてあったりしたらめんどくさいだけやろ

単位円周上に2点A、Bをとる
OAをOを中心に回転させるとOBに重なる
回転の量は円弧ABの長さで決まる
左回りを正とする。右回りは負
この回転の量を表す実数を角と呼ぶ
角θ→回転量R(θ)→弧ABの長さ

何も難しくない。問題なし。

平面上の2直線または2つのベクトルのなす角をこの流儀で定義することは容易。

問題なし。

>>364
君が特別な実数のことを角というと定義するのは勝手だが、私の直観では角は全く実数とは異なる概念なのだがどうすればいい？

そもそも実数Rが体、全順序、完備であるように構成されてることが分かってないんだろう。

多次元は内積数ベクトル空間として定義する

>>366
どうするもこうするも

今のまま、即ちまともな数学を身につけることを諦める
でいいんじゃないか。そのままでいい。


何も問題なし

ユークリッド幾何の平面の定義は意味不明

ラノベだと、多様体は局所ユークリッド空間、ユークリッド空間は数ベクトル空間

>>369
普通に考えて解析の入門書で幾何的な概念に深入りする必要ないと思うのだが、それがまともじゃないといいたいの？
君が言ってる回転とか左回りとか未定義語が増えてるだけで、それでよしとするようなのを君はまともな数学だと言うのかい？

>>372
>普通に考えて解析の入門書で幾何的な概念に深入りする必要ないと思うのだが
君がそう思うってだけだよ

平面はただの2次元ベクトル空間ではなく
角と距離の概念を最初から含む内積空間として
自然に認識されているからね

>>372
まともな大学でまともな教官から教わるのがまともな数学。
そのようなものから逸脱して「数学ではないもの」に入って行ってしまったんだな。

右回り、左回りの定義なんか簡単だから。空間の向き付けを復習しろ。

>>375
だから、解析の入門書に空間の向き付けなんか書いてたらキリがないだろ
数学でないものがどうとか何言ってんだお前は

>>372
角も内積もわからないのか？
ベクトルは分かるか？

解析と平行して幾何も勉強しとけよ。

>>376
解析の教科書に書けとは言ってないぞ。

書かなくても直感的に分かるし厳密化も出来る、と俺は言っている。

>>378
うむ
自然なものを厳密に書くまでする必要はないが
幾何的な把握は自然だからどんどん使われている

少なくともラジアンの定義は書くべきよな
角の定義まで書かなくていい

>>366
これ。
これがまともな数学から逸脱している態度。まともじゃない。

>>377
だから分かる分からないの話をしてるんじゃなくて、最初から解析の教科書に何を書くべきかの話をしてるんだよ
なんでそれがまともな数学じゃないとか言い出すんだよ
なにかの病気なら病院行けよ

>>381
これはお前の角の定義のほうが明らかにおかしいだろ
角が実数なわけないじゃん

>>383
角って聞いて、実数だなって思うやつがどこにいるんだよ

>>383
角は普通に実数だろう。

>>384
何こいつ‥頭おかしいのか

>>367
もちろん、同型であるものは同一視する

>>384
度数は小学校レベル。実数。
radは高校レベル。実数。

解析入門を読む前段階で角=実数というのはまともな人間にとって常識。

馬鹿スぺ一号はスピバックの見てきたような証明が好きなだけ、中退おっさんが望む答えはないｗｗｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6

角：angle
角度：measure of angle

「角度は実数であるが、角そのものは実数ではない」
とする流儀の方が一般的であろう。

では、角そのものの定義とは何か？

https://www.nichibun-g.co.jp/data/case-study/cs_sansu/cs_sansu013/
＞角とは、1つの点から伸びた2つの異なる半直線によってできる
＞図形のことであり、そこにできる広がり具合のことを角度という。


https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6
＞1つの定まった値の角度を伴う角とは、平面 α 上の 1 点 O と
＞それから出る2つの半直線とそれらにより平面 α が分割されて生じる
＞2つの領域の一方 α1 からなる図形と定義できる。
＞ただし後述のように、この定義は数学における主要な定義とは微妙に異なる。
＞中略
＞ダフィット・ヒルベルトがその著書の『幾何学基礎論』において示した
＞公理系（英語版）[5]では、「端点を共有する 2つの半直線の組」（引用文献のままの表現ではない）
＞として角を定義しており、日本でもこの主旨の定義を採用している
＞数学辞典[9][6]や国語辞典[11][7][14]が多く、最も受け入れられた数学的定義と見なせる。

>>388
お前の実数には頂点があるの？？？
病院行ったほうがいいぞ

単に角という場合、多くは平面上の図形に対して定義された平面角（へいめんかく、英: plane angle）を指し、さらに狭義にはある点から伸びる2つの半直線（はんちょくせん、英: ray）によりできる図形を指す。平面角の角度は、同じ端点を持つ2つの半直線の間の隔たりを表す量といえる。2つの半直線が共有する端点は角の頂点（かくのちょうてん、英: vertex of angle）と呼ばれ、頂点を挟む半直線は角の辺（かくのへん、英: side of angle）と呼ばれる[5][6][7]。

>>390
こういうのを「数学ではない」と言うんだよ。

>>392
線型代数入門(東大出版会)の付録にあるユークリッド幾何学の公理はお手軽でよい。見とけよ。

角と角度は同じものである。

・ measure of angle が角度なのであって、角そのものは「angle」である。

・ それぞれの angle に対して、何らかの意味で measure を定義することができて、
　 当然それは実数値であり、その値のことを measure of angle すなわち角度と呼ぶ。

・ 従って、measure を測る前の単なる「angle」すなわち「角」は実数ではないナニカである、
　 とする流儀の方が一般的であろう。

というコンテキストで、解析の教科書で角がどーのまで突っ込む必要ないだろって主張なのだが、なんで通じないんだ

>>394
ユークリッド原論では平面図形と面積を区別してないから、四角形も実数だな

>>397
ユークリッドの原論は関係ない。

>>397
ちなみにユークリッド空間もユークリッドの原論とは関係ない。

>>395
この区別は全然駄目。無意味。

・ 四角形に対する標準的な measure は2次元的な量であり、それは面積と呼ばれる。

・ 角に対する標準的な measure は1次元的な量(ある種の弧長)であり、それは角度と呼ばれる。

角と角度を同一視する流儀の場合、
同じノリで四角形と面積を同一視する流儀があってもいいことになり、
その流儀のもとでは「四角形は実数」ということになる。

うーん、やはり「角」と「角度」は概念的に区別するべきだな。

>>400
区別しないことで何かいいことがあるの？
実数には頂点はないよ？

平面において

角と角度の区別は要らない。
四角形とその面積は同一視出来ない。区別が必要。

「四角形」という概念には「4つの頂点と、それらで囲まれる領域」という図形的な情報が
埋め込まれているが、「四角形の面積」だと、それらの情報が抜け落ちる。

「角」という概念には「1つの頂点と、そこから伸びる2つの半直線」という図形的な情報が
埋め込まれているが、「角度」だと、それらの情報が抜け落ちる。

やっぱり「角」と「角度」は区別しとくべきだな。