杉ちゃんの解析入門を愛読してるけど
z→0の時、sinz/z→1
を幾何学的にやるのではなく整級数を用いてexpz、sinz、coszを定義してるね。そこから(sinz)'=coszとかsinz/z→1 (z→0)を導いている。

オイラーの公式、ド・モアブルの公式を導いてそこからcos²z+sin²z=1を導く。これは整級数表示では難しい。

三角関数の重要な基本定理である加法公式は指数法則と同じである。

ここから複素変数zを実変数xに変えて考える。