Michael Spivakさんの『Calculus Fourth Edition』では、以下のように三角関数を定義しています。

単位円の周の長さが 2 * π であること、面積が π であることを知っているという前提になっているようです。

単位円の孤の長さが x であるような扇形の面積は [x / (2 * π)] * π = x / 2 であると誰もが推測できます。
π は単位円の面積に等しいから、

π := 2 * ∫_{-1}^{1} sqrt(1 - x^2) dx

と定義しています。

次に、中心が (0, 0) で (1, 0) と (x, sqrt(1 - x^2))を結ぶ円弧を孤とする扇形の面積を A(x) とおいています。

A(x) = [x * sqrt(1 - x^2)] / 2 + ∫_{x}^{1} sqrt(1 - t^2) dt

A は [-1, 1] で単調減少関数で、 A(-1) = π / 2 , A(1) = 0 です。

x ∈ [0, π] とします。

A(y) = x / 2 となるような y ∈ [-1, 1] が一意的に存在します。

この y を cos(x) と定義しています。