z∈C に対して exp(z)：＝Σ[k＝0〜∞] z^k/k！
とテイラー展開表示で定義する。特にexp(0)＝1である。
また、exp(z＋w)＝exp(z)exp(w) (z,w∈C) が成り立つことが、
テイラー展開表示のゴリ押し計算で分かる。
特に 1＝exp(0)＝exp(z−z)＝exp(z)exp(−z) (z∈C) なので、
C の乗法において exp(−z) は exp(z) の逆元になっている。
すなわち exp(−z)＝1/exp(z) である。次に、z∈C に対して

cos(z)：＝(exp(iz)＋exp(−iz))/2＝Σ[k＝0〜∞](−1)^k z^{2k}/(2k)！,
sin(z)：＝(exp(iz)−exp(−iz))/(2i)＝Σ[k＝1〜∞](−1)^k z^{2k＋1}/(2k＋1)！

と定義する。すると、cos^2(z)＋sin^2(z)＝1 が成り立つことが
直接的に計算できる。実際、a＝exp(iz) と置けば、(1/a)＝exp(−iz) であり、

cos^2(z)＝(a＋1/a)^2/4＝(a^2＋1/a^2＋2)/4,
sin^2(z)＝−(a−1/a)^2/4＝−(a^2＋1/a^2−2)/4

なので、cos^2(z)＋sin^2(z)＝(2＋2)/4＝1 である。
・・・この順番なら、cos^2(z)＋sin^2(z) を微分する必要がない。
まあ些細なことだが。