ちなみに、

exp(z)：＝Σ[k＝0〜∞] z^k/k！
cos(z)：＝Σ[k＝0〜∞](−1)^k z^{2k}/(2k)！
sin(z)：＝Σ[k＝1〜∞](−1)^k z^{2k＋1}/(2k＋1)！

と定義しても同じことね。この場合、

(exp(iz)＋exp(−iz))/2＝(1/2)Σ[k＝0〜∞]((iz)^k＋(−iz)^k)/k！
＝Σ[k＝0〜∞](−1)^k z^{2k}/(2k)！,

(exp(iz)−exp(−iz))/(2i)＝(1/(2i))Σ[k＝0〜∞]((iz)^k−(−iz)^k)/k！
＝Σ[k＝1〜∞](−1)^k z^{2k＋1}/(2k＋1)！

と直接計算できるので、どのみち

cos(z)＝(exp(iz)＋exp(−iz))/2
sin(z)＝(exp(iz)−exp(−iz))/(2i)

という等式に到達する。