Michael Spivakさんの『Calculus on Manifolds』ですが、この本を他書を参照せずに読破することって不可能に近くないですか？

3-13 Theorem

Let A ⊂ R^n be an open set and g : A → R^n a 1 - 1, continuously differentiable function such that det g'(x) ≠ 0 for all x ∈ A. If f : g(A) → R is integrable, then

∫_{g(A)} f = ∫_A (f・g) * |det g'|.

f・g は積ではなく合成です。

↑の積分はすべて広義積分です。（A も g(A) も非有界であるかもしれない。）
そして、広義積分の積分領域は開集合です。

普通なら g(A) が開集合であることを証明しなければならないのに、証明していません。
それどころか g(A) は開集合であるということにさえ言及していません。

登山で言えば、アイガー北壁を登っていくようなものですね。