実際、2-11 によると、任意の x ∈ A に対して、R^n の開部分集合 U(x)と V(x) が存在して、x ∈ U(x)、かつ g の制限 g_x : U(x) → V(x) が定義されてC^1 級同型となります。(g_x の逆写像が C^1 級だから)

特に、U(x) ⊆ A で g(U(x)) = g_x(U(x)) = V(x) となります。よって、

g(A) = g(∪_{x ∈ A} U(x)) = ∪_{x ∈ A}g(U(x)) = ∪_{x ∈ A}V(x)

となり、開集合族の任意の合併が開集合なることより、g(A) が開集合であることがわかります。

この程度のギャップを埋めるのが、アイガー北壁ですか？