大学学部レベル質問スレ 24単位目

3-13 Theorem

Let A ⊂ R^n be an open set and g : A → R^n a continuously differentiable function such that det g'(x) ≠ 0 for all x ∈ A.

b ∈ g(A) とする。
g(a) = b となる a ∈ A が存在する。
det g'(a) ≠ 0 だから逆関数定理により、 a を含む開集合 U ⊂ A と b を含む開集合 V ⊂ R^n で、以下の条件をみたすものが存在する。

(g | U)(U) = V
g | U の終域を R^n から V へ変更した写像 f は U から V への全単射である。
f および f^{-1} は C^1 級である。


V = (f^{-1})^{-1}(U) は f^{-1} が連続であるから開集合である。