>>649

>g の定義域を A から U へ、 g の終域を R^n から V へ変更した写像 f は
>U から V への全単射である。
>f および f^{-1} は C^1 級である。

と言っている時点で、通常は U , V が R^n の開集合であるという条件が仮定されています。
実際、g が C^1 級で至る所 det(g'(x)) ≠ 0 だから、それは逆関数定理から保証されます。

だから、

V = (f^{-1})^{-1}(U) は f^{-1} が連続であるから開集合である。

という部分は必要ないことはわかりますよね。

また、f ^{-1}: V → U が連続だから、V = f^{-1})^{-1}(U) が R^n の開集合になるという部分は、
論証としておかしいですよ。

これは一般に、位相空間 X と X の開集合 U, X の部分集合 B が与えられて、U と B に
X からの相対位相を与え、位相同型 f : U → B が存在する時、
B は X の開集合になるか？という問題になりますが、これは否定的です。

実際、X = (S^1 × {0}) ∪ (S^2 × {1}) に、自然な inclusion
i : S^1 → X, j : S^2 → X を連続にする最も細かい位相を与え、
S^2 の部分集合 S^1 の j による像 を V 、i(S^1) = U とすれば、
U と V は同相で U は X の開集合ですが、V は X の開集合ではありません。