まだわかってない
そもそもこの話は
M,NがC^1級多様体、f:M→NがC^1級、ωがN上のC^1級の微分形式、ΔがM上のC^1級単体複体のとき

　∫[f_*Δ]ω = ∫[Δ]f^*ω

が成立する
のちょっと応用ケース
しかし現実には積分値の話なのでfが単なる連続写像でしかない場合でもは一様位相でC^1で近似できるから成立してるという話
ともかくどうでもいいとこに気持ちがいってて肝心要の話が一ミリも頭に入ってない
もう数学やめたほうがいい