ごめん
C^1であることは必要ないかもしれない、細かくチェックしてない
しかし置換積分公式つかうときにヤコビアンが連続でないと気持ち悪いからC^1したほうが無難だろうと
すくなくとも一般の多様体上の置換積分公式の仮定ではC^1とかそれくらいの滑らかさは仮定しとくもんやろ
引用してる教科書の練習問題のHypothesisには入ってなさそうだけど、それがはいってなくても大丈夫であることの説明は必要だと思って指摘したまで、でもそこはミソではない
ミソはf^*ωがωとJ(f)の合成なのはいいとして“積分領域”のpush outの方
仮定det J(f)≠0から元の開集合の定める単体複体(内部のオイラー類)のpush outがfの像(内部のオイラー類)に一致することがいえるかがミソ、こちらのほうが少し難しい
微分幾何の本格的な教科書ではないからそんな方針で示す必要はないんだが、もちろん将来的にはそういう議論についてこれるような基礎的な土台をじっくり準備しないといけない人たちが読むような教科書なんやろ
まぁ松坂君はそういう議論は一生できそうもないけど