>>667

ご説明ありがとうございます。肝心のミソのところなんですが、オイラー類との関連性がわかりませんでした。

私は代数トポロジーが専門だったのですが、その前には微分形式の積分の理論（はっきり言えばストークスの定理の定式化が目的）を勉強したことがあります。が、これは、解析学からのアプローチでした。

多様体上の積分の変数変換の公式は、ざっくり、次のような定式化でした：

M, N は向きづけ可能な C^1 級 n 次元実多様体とし、f: M → N は C^1 級写像, ω は N 上の連続 n次微分形式とします。さらに, N から Z∪{+∞} への写像 ξ を, ξ(y) = card(f^{-1}({y})) (if it is finite), ξ(y) = +∞ で定義します。

すると、ω は N 上の Radon 測度 [ω] を定め、λ = f^*ω は N 上の Radon 測度 [λ] を定め、ξ は [ω] 可測であり, 一定の条件のもとで, Radon 測度として

f([λ]) = ξ・[ω]

が成り立つ、というものです。このとき, N 上の実数値関数 g に対し,
ξ・g が [ω] 可積分なることと g \circ f が [λ] 可積分なることは同値で,
さらに,

∫_N ξ・g d[ω] = ∫_M g \circ f d[λ]

が成り立ちます.

これは >>655 の定式化 と似た感じがしますので, 異なるアプローチであってもゴールは同じなのかもしれませんね.