確率論の質問です

確率変数X_nが母数λ_nのポアソン分布に従うとき、確率変数
Y_n:=(X_n-λ_n)/√λ_n
はn→∞で標準正規分布に法則収束することを示せ
（ただしλ_n→∞（n→∞））

という問題で、特性関数の変数変換を用いてY_nの特性関数が
φ(t)=exp(λ_n(exp(it/√λ_n)-1)-it√λ_n)
となったのですが、n→∞としてexp(-t^2/2)に収束することが示せません、、、
示し方もしくは他のやり方等ありましたら教えていただきたいです
よろしくお願いします