>>517
＞fは唯一ではない（つまり一意的でない）が、
＞少なくとも一つ存在するなら一つとれる（つまり一意化できる）

一意的でない vs 一意化できる
矛盾してないか？

そのうえで、>>492 (en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice)より
”a subset of the real numbers that is not Lebesgue measurable can be proved to exist using the axiom of choice, it is consistent that no such set is definable.[8]”
（Axiom of choice Criticism and acceptance）

で
8^ Fraenkel, Abraham A.; Bar-Hillel, Yehoshua; Lévy, Azriel (1973), Foundations of set theory (2nd ed.), Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., pp. 69–70, ISBN 9780080887050, MR 0345816.
とあって、google book へのリンク
books.google.com/books?id=ah2bwOwc06MC&pg=PA69
があるよ

”it is consistent that no such set is definable.[8]”
この it は、ヴィタリ集合だね
”definable.[8]”の定義が、不明だが

さて
検索： Vitali set no "definable"
で下記がヒットする 最後に Quora の Samuel Gomes da Silva Ph.D.
の回答を貼付けておいた

一意的でない vs 一意化できる
矛盾してないか？

＜検索結果＞
1）
Canonical Vitali set
Mathematics Stack Exchange
math.stackexchange.com › ...
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2013/11/23 — But it cannot have a definable Vitali set because the forcing is homogeneous, so every subset of the ground model that is definable in the ...
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ベストアンサー:
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math.stackexchange.com からの検索結果
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つづく