つづき

Examples
(google訳)
コレクション内の個々の空でない集合の性質により、特定の無限コレクションに対しても選択公理を回避できる場合があります。たとえば、コレクションXの各メンバーが自然数の空でない部分集合であるとします。このような部分集合にはそれぞれ最小の要素があるため、選択関数を指定するには、各集合をその集合の最小の要素にマッピングすると言うだけで済みます。これにより、各集合から要素を明確に選択できるため、集合論の公理に選択公理を追加する必要がなくなります。

困難が生じるのは、各集合から自然に要素を選択できない場合です。明示的に選択できない場合、選択が正当な集合 (集合論の他の ZF 公理で定義されているように) を形成することをどうやって知るのでしょうか。たとえば、X が実数のすべての空でない部分集合の集合であるとします。まず、 X が有限であるかのように進めてみるかもしれません。各集合から要素を選択しようとすると、X は無限であるため、選択手順は決して終了せず、結果として、X全体に対する選択関数を生成することはできません。次に、各集合から最小の要素を指定してみるかもしれません。しかし、実数の部分集合の中には最小の要素がないものもあります。たとえば、開区間(0,1) には最小の要素がありません。つまり、 xが (0,1) 内にある場合、 x /2 も内にあり、x /2 は常にxよりも厳密に小さくなります。したがって、この試みも失敗します


ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
例と反例
整数の全体 Z
次のような二項関係 R を考えれば、Z を整列集合にすることができる。
ふたつの整数 x, y に対して、xRy となるための必要十分条件は
略す
この関係 R は要するに
0, 1, 2, 3, 4, …, −1, −2, −3, …
となる順序として表すことができる。この整列順序 R に関する整列集合 Z の順序型は順序数 ω + ω に順序同型である。

実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。
参考文献
1^ S. Feferman: "Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets", Fundamenta Mathematicae, 56 (1964) 325-345
(引用終り)
以上