x, y∈M(X) を相異なる２点とする。Z∈x をとる。任意の W∈y について Z∩W ≠ ∅ とすると { Z∩W ; W∈y } で生成されるフィルターは y を含むから y の極大性より y に一致する。 とくに Z∈y である。とくにこれが任意の Z について成立するなら x⊂y であり、x の極大性より x=y となって矛盾する。よってある Z∈x とある W∈y で Z∩W = ∅ である。Z, W 各々が R への連続関数のゼロの集合だからある f : X → R を Z = f⁻¹(-1)、W = f⁻¹(1) と選べる。Z’ = f⁻¹((-∞,1/2])、W’ = f⁻¹([-1/2,∞)) とする。Z∩W’ = ∅ により W’∉x であり x∈U_W’ であり、同様に y∈U_Z’ である。z∈U_W’ とすると W’∉z である。すべての F∈z に対して F∩W’ ≠ ∅ であるなら z の極大性から W’∈z となり矛盾するからある F∈z に対して F∩W’ = ∅ である。同様に考察すれば z∈U_W’∩U_Z’ ならある F,G ∈z をとって F∩W’ = ∅ 、G∩Z’ = ∅ であるから F∩G∩ (Z’∪W’) = ∅ となるが、z がフィルターだから F∩G ≠ ∅ であり、定義から Z’∪W’ = X であるから矛盾する。